第十章 圆锥曲线与方程第二讲 双曲线1.[2020浙江,8,4分]已知点O(0,0),A(-2,0),B(2,0).设点P满足|PA|-|PB|=2,且P为函数y=34-x2图象上的点,则|OP|=( )A.222B.4105C.7D.102.[2021大同市调研测试]已知双曲线C与抛物线x2=8y有共同的焦点F,且点F到双曲线C的渐近线的距离等于1,则双曲线C的方程为( )A.y23-x2=1B.x23-y2=1C.y25-x2=1D.y2-x25=13.[2021郑州名校联考第一次调研]已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线与圆(x-1)2+y2=sin2130°相切,则该双曲线的离心率e等于( )A.1sin50°B.1cos50°C.2sin50°D.2cos50°4.[2021四省八校联考]若P是双曲线x2-y2=1上一点,以线段PO(O为坐标原点)为直径的圆与该双曲线的两条渐近线分别交于不同于原点的A,B两点,则四边形PAOB的面积为( )A.13B.12C.1D.25.[2020天津,7,5分]设双曲线C的方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),过抛物线y2=4x的焦点和点(0,b)的直线为l.若C的一条渐近线与l平行,另一条渐近线与l垂直,则双曲线C的方程为( )A.x24-y24=1B.x2-y24=1C.x24-y2=1D.x2-y2=16.[2020陕西省部分学校摸底检测]设双曲线x24-y23=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线l交双曲线左支于A,B两点,则|AF2|+|BF2|的最小值为( )A.13B.12C.11D.107.[2020南昌市测试]圆C:x2+y2-10y+16=0上有且仅有两点到双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线的距离为1,则该双曲线的离心率的取值范围是( )A.(2,5) B.(53,52) C.(54,52) D.(5,2+1)第6页共6页\n8.[2020江西红色七校第一次联考]双曲线C:x2-y23=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在C上且tan∠F1PF2=43,O为坐标原点,则|OP|= . 9.[2021安徽省示范高中联考]已知点F为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点,直线y=kx,k∈[33,3]与双曲线C交于A,B两点,若AF⊥BF,则该双曲线的离心率的取值范围是( )A.[2,3+1]B.[2,2+6]C.[2,3+1]D.[2,2+6]10.[2021江西九江三校联考]已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2,F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,M(-a,0),N(0,b),点P为线段MN上的动点,当PF1·PF2取得最小值和最大值时,△PF1F2的面积分别为S1,S2,则S2S1=( )A.4B.8C.23D.4311.[2021河南省名校第一次联考]已知F1,F2分别为双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过F1(-c,0)作x轴的垂线交双曲线于A,B两点,若∠F1AF2的平分线过点M(-13c,0),则双曲线的离心率为( )A.2B.2C.3D.312.[2020福州适应性测试]已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为x-2y=0,A,B是C上关于原点对称的两点,M是C上异于A,B的动点,直线MA,MB的斜率分别为k1,k2,若1≤k1≤2,则k2的取值范围为( )A.[18,14]B.[14,12]C.[-14,-18]D.[-12,-14]13.[2020洛阳市第一次联考]已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),A,B是圆(x+c)2+y2=4c2与双曲线C位于x轴上方的两个交点,且F1A∥F2B,则双曲线C的离心率为( )A.2+73B.4+73C.3+174D.5+17414.[2020惠州市二调][新定义题]我们把焦点相同、离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”.已知F1,F2是一对相关曲线的焦点,P是椭圆和双曲线在第一象限的交点,当∠F1PF2=60°时,这一对相关曲线中双曲线的离心率是( )A.3B.2C.233D.2第6页共6页\n15.[递进型]在平面直角坐标系中,若双曲线的渐近线方程为2x±y=0,且该双曲线经过点(54,32),则该双曲线的标准方程为 ,焦点坐标为 . 答案第二讲 双曲线1.D 由|PA|-|PB|=2<|AB|=4,知点P的轨迹是双曲线的右支,点P的轨迹方程为x2-y23=1(x≥1),又y=34-x2,所以x2=134,y2=274,所以|OP|=x2+y2=134+274=10,故选D.2.A 抛物线x2=8y的焦点为F(0,2),因为双曲线C与抛物线x2=8y有共同的焦点,所以双曲线的半焦距c=2,设双曲线方程为y2a2-x2b2=1(a>0,b>0),则其渐近线方程为y=±abx,即ax±by=0,点F(0,2)到渐近线的距离为2ba2+b2=2bc=1,所以b=1,所以a2=c2-b2=3,故双曲线的方程为y23-x2=1,故选A.3.B 根据对称性,取双曲线的一条渐近线bx-ay=0.圆(x-1)2+y2=sin2130°的圆心为(1,0),半径r=sin130°=sin50°.因为渐近线与圆(x-1)2+y2=sin2130°相切,所以ba2+b2=sin50°,所以b2a2=sin250°cos250°.所以e=ca=1+b2a2=1+sin250°cos250°=1cos50°.故选B.4.B 解法一 由题意,知该双曲线的渐近线方程为y=±x,所以该双曲线的两条渐近线互相垂直.因为OP为圆的直径,点A,B在圆上,所以∠OAP=∠OBP=90°,所以四边形PAOB为矩形.设点P(x1,y1),则点P到两条渐近线的距离分别为|x1-y1|2,|x1+y1|2,所以四边形PAOB的面积为|x12-y12|2.又点P(x1,y1)在双曲线x2-y2=1上,所以x12-y12=1,所以S四边形PAOB=|x12-y12|2=12,故选B.解法二 如图D10-2-1,由题意,点P为双曲线上任意一点,不妨设点P为双曲线的右顶点,即P(1,0).易知双曲线的渐近线方程为y=±x,所以该双曲线的两条渐近线互相垂直.因为OP为圆的直径,点A,B在圆上,所以∠OAP=∠OBP=90°.又点P(1,0)到两条渐近线的距离均为22,所以四边形PAOB为正方形,所以S四边形PAOB=(22)2=12,故选B.第6页共6页\n图D10-2-15.D 解法一 由题知y2=4x的焦点坐标为(1,0),则过焦点和点(0,b)的直线方程为x+yb=1,而x2a2-y2b2=1的渐近线方程为xa+yb=0和xa-yb=0,由l与一条渐近线平行,与一条渐近线垂直,得a=1,b=1,故选D.解法二 由题知双曲线C的两条渐近线互相垂直,则a=b,即渐近线方程为x±y=0,排除B,C.又知y2=4x的焦点坐标为(1,0),l过点(1,0),(0,b),所以b-00-1=-1,b=1,故选D.6.C 由题意得双曲线的实半轴长a=2,虚半轴长b=3.根据双曲线的定义得|AF2|-|AF1|=2a=4 ①,|BF2|-|BF1|=2a=4 ②,①+②得|AF2|+|BF2|=|AF1|+|BF1|+8=|AB|+8.易得|AB|min=2b2a=3,所以|AF2|+|BF2|的最小值为11,故选C.7.C 不妨设该渐近线经过第二、四象限,则该渐近线的方程为bx+ay=0.因为圆C:x2+(y-5)2=9,所以圆C的圆心为(0,5),半径为3,所以2<|5a|a2+b2<4,结合a2+b2=c2,得54<ca<52,所以该双曲线的离心率的取值范围是(54,52).故选C.8.5 因为tan∠F1PF2=43,所以sin∠F1PF2=437,cos∠F1PF2=17.由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|·cos∠F1PF2,所以|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-27·|PF1|·|PF2|=16,又||PF1|-|PF2||=2,所以|PF1|·|PF2|=7,则△F1PF2的面积为12·|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2=23.设P(x0,y0),因为△F1PF2的面积为12·2c·|y0|=23,所以|y0|=3,代入x2-y23=1得x02=2,所以|OP|=x02+y02=2+3=5.9.A 解法一 设直线y=kx的倾斜角为α,则k=tanα∈[33,3],所以α∈[π6,π3].设点A在第一象限,双曲线的左焦点为F',O为坐标原点,则∠AOF=α,连接F'A,F'B,由AF⊥BF,根据双曲线的对称性可得四边形F'BFA为矩形,所以|FF'|=|AB|=2c,所以|OA|=c,则A(ccosα,csinα),代入双曲线方程可得,c2cos2αa2-c2sin2αb2=1,即c2cos2αa2-c2sin2αc2-a2=1,所以e2cos2α-e2sin2αe2-1=1,所以e4cos2α-2e2+1=0,可得e2=2±4-4cos2α2cos2α=2±2sinα2cos2α=1±sinαcos2α,则e2=11-sinα或e2=11+sinα(舍去),即e2=11-sinα,又α∈[π6,π3],所以2≤e2≤22-3=4+23=(3+1)2,所以2≤e≤3+1.故选A.第6页共6页\n解法二 设直线y=kx的倾斜角为α,则k=tanα∈[33,3],所以α∈[π6,π3].设点A在第一象限,双曲线的左焦点为F',O为坐标原点,则∠AOF=α,连接F'A,F'B,由AF⊥BF,根据双曲线的对称性可得四边形F'BFA为矩形,所以|FF'|=|AB|=2c,则∠ABF=α2,在直角三角形ABF中,|AF|=2csinα2,|BF|=2ccosα2,由对称性可得|AF'|=|BF|=2ccosα2,由双曲线的定义可得,2a=|AF'|-|AF|=2c(cosα2-sinα2),所以e=1cosα2-sinα2=12cos(α2+π4),因为α∈[π6,π3],所以α2+π4∈[π3,5π12],则2cos(α2+π4)∈[3-12,22],所以e∈[2,3+1],故选A.解法三 设直线y=kx的倾斜角为α,则k=tanα∈[33,3],所以α∈[π6,π3].设点A在第一象限,双曲线的左焦点为F',O为坐标原点,则∠AOF=α,连接F'A,F'B,由AF⊥BF,根据双曲线的对称性可得四边形F'BFA为矩形,所以|FF'|=|AB|=2c,所以|OA|=c.当α=π6时,|AF|=c2+c2-2c2cosπ6=2-3c=3-12c,∠AOF'=5π6,|AF'|=c2+c2-2c2cos5π6=2+3c=3+12c,根据双曲线的定义可得,2a=|AF'|-|AF|=2c,所以e=2.当α=π3时,△AOF为正三角形,所以|AF|=c,∠AOF'=2π3,|AF'|=c2+c2-2c2cos2π3=3c,根据双曲线的定义可得,2a=|AF'|-|AF|=(3-1)c,所以e=3+1.所以2≤e≤3+1,故选A.10.A 由双曲线的离心率为2,可知c=2a,b=3a,则N(0,3a),F1(-2a,0),F2(2a,0),线段MN的方程为y=3x+3a(-a≤x≤0).设P(x0,3x0+3a),-a≤x0≤0,则PF1=(-2a-x0,-3x0-3a),PF2=(2a-x0,-3x0-3a),所以PF1·PF2=(-2a-x0)(2a-x0)+(-3x0-3a)2=4x02+6ax0-a2(-a≤x0≤0).当x0=-34a时,PF1·PF2取得最小值,此时P(-34a,34a),则S1=2a×34a=32a2;当x0=0时,PF1·PF2取得最大值,此时P(0,3a),则S2=2a×3a=23a2.所以S2S1=23a232a2=4.故选A.11.D 由题知,|MF1|=23c,|MF2|=43c,|AF1|=b2a,又|AF2|-|AF1|=2a,则|AF2|=2a+b2a,由角平分线性质得|MF1||MF2|=|AF1||AF2|,即b2a2a+b2a=12,化简得b2=2a2,所以e=ca=1+b2a2=3,故选D.12.A 由双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为x-2y=0,可得ba=12,即a=2b,则双曲线的方程为x24b2-y2b2=1(b>0).设A(x1,y1),M(x0,y0),则B(-x1,-y1),因为A,B,M在双曲线上,所以x124b2-y12b2=1,x024b2-y02b2=1,两式相减得(x1+x0)(x1-x0)4b2=(y1+y0)(y1-y0)b2,所以14=(y1+y0)(y1-y0)(x1+x0)(x1-x0),即k1·k2=14.因为1≤k1≤2,所以k2=14k1∈[18,14].故选A.第6页共6页\n13.C 如图D10-2-2,连接BF1,AF2,由双曲线的定义知,|AF2|-|AF1|=2a,|BF1|-|BF2|=2a,由|BF1|=|AF1|=2c,可得|AF2|=2a+2c,|BF2|=2c-2a,在△AF1F2中,由余弦定理可得cos∠AF1F2=4c2+4c2-(2a+2c)22·2c·2c=c2-2ac-a22c2,在△BF1F2中,由余弦定理可得cos∠BF2F1=4c2+(2c-2a)2-4c22·2c·(2c-2a)=c-a2c,由F1A∥F2B,可得∠BF2F1+∠AF1F2=π,则有cos∠BF2F1+cos∠AF1F2=0,即c2-2ac-a22c2+c-a2c=0,整理得2c2-3ac-a2=0,可化为2e2-3e-1=0,解得e=3+174或e=3-174(舍去),所以双曲线C的离心率为3+174.故选C.图D10-2-214.A 设椭圆、双曲线的离心率分别为e1,e2,椭圆的长半轴长为a1,椭圆的半焦距为c,双曲线的实半轴长为a2,|PF1|=x,|PF2|=y,x>y.由椭圆、双曲线的定义得x+y=2a1,x-y=2a2,∴x=a1+a2,y=a1-a2.在△PF1F2中,由余弦定理得cos∠F1PF2=x2+y2-(2c)22xy=cos60°,∴2(a12+a22)-4c22(a12-a22)=12,∴a12+3a22=4c2.∵e1·e2=ca1·ca2=1,∴c2=a1a2,∴a12+3a22=4a1a2,即(a1-a2)(a1-3a2)=0,∴a1=3a2,∴3a22=c2,∴e2=ca2=3,即双曲线的离心率为3.故选A.15.x2-y24=1 (±5,0) 解法一 因为点(54,32)在渐近线y=2x的下方,所以双曲线的焦点在x轴上,设双曲线的标准方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),由双曲线的渐近线方程为2x±y=0,知b=2a,由b=2a,2516a2-94b2=1,得a2=1,b2=4,所以双曲线的标准方程为x2-y24=1,焦点坐标为(±5,0).解法二 由双曲线的渐近线方程为2x±y=0,设双曲线的方程为4x2-y2=λ,再将(54,32)代入双曲线的方程,得λ=4,所以双曲线的标准方程为x2-y24=1,焦点坐标为(±5,0).第6页共6页
