第十章 圆锥曲线与方程第四讲 圆锥曲线的综合问题练好题·考点自测1.下列结论正确的是( )A.f(x0,y0)=0是点P(x0,y0)在曲线f(x,y)=0上的充要条件B.方程x2+xy=x表示的是一个点和一条直线C.方程y=x与x=y2表示同一曲线D.到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x2=y22.已知点F(14,0),直线l:x=-14,点B是l上的动点,若过点B且垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M,则点M的轨迹是( )A.双曲线B.椭圆C.圆D.抛物线3.已知A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线y=x2上不同的两点,分别以A,B为切点的两条切线互相垂直,则切线交点的轨迹为( )A.直线B.圆C.抛物线D.双曲线的一支拓展变式1.[2017浙江,21,15分]如图10-4-4,已知抛物线x2=y,点A(-12,14),B(32,94),抛物线上的点P(x,y)(-12<x<32).过点B作直线AP的垂线,垂足为Q.图10-4-4(1)求直线AP斜率的取值范围;(2)求|PA|·|PQ|的最大值.第9页共9页\n2.[2020全国卷Ⅰ,20,12分][理]已知A,B分别为椭圆E:x2a2+y2=1(a>1)的左、右顶点,G为E的上顶点,AG·GB=8.P为直线x=6上的动点,PA与E的另一交点为C,PB与E的另一交点为D.(1)求E的方程;(2)证明:直线CD过定点.3.[2021武汉四地六校高三联考]已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12,以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的圆与直线7x-5y+12=0相切.(1)求椭圆C的方程.(2)已知A(-4,0),过点R(3,0)作与x轴不重合的直线l交椭圆C于P,Q两点,连接AP,AQ,分别交直线x=163于M,N两点,若直线MR,NR的斜率分别为k1,k2,问:k1k2是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.4.[2021湖北省部分重点中学摸底联考]已知点A(1,-32)在椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上,O为坐标原点,直线l:xa2-3y2b2=1的斜率与直线OA的斜率之积为-14.(1)求椭圆C的方程.(2)不经过点A的直线m:y=32x+t(t≠0)与椭圆C交于P,Q两点,P关于原点的对称点为R(与点A不重合),直线AQ,AR与y轴分别交于点M,N,求证:|AM|=|AN|.5.[2020山西大同一联]已知椭圆C的中心在原点,焦点在坐标轴上,直线y=32x与椭圆C在第一象限内的交点是M,点M在x轴上的射影恰好是椭圆C的右焦点F2,椭圆C的另一个焦点是F1,且MF1·MF2=94.第9页共9页\n(1)求椭圆C的方程;(2)若直线l过点(-1,0),且与椭圆C交于P,Q两点,求△F2PQ的内切圆的面积的最大值.6.[2020湖北省宜昌市三校联考]已知F为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点,点P(2,2)在椭圆C上,且PF⊥x轴.(1)求椭圆C的方程;(2)如图10-4-6,过点F的直线l分别交椭圆C于A,B两点,交直线x=4于点M.判断PA,PM,PB的斜率是否构成等差数列,并说明理由.7.[2020天津,18,15分]已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个顶点为A(0,-3),右焦点为F,且|OA|=|OF|,其中O为原点.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)已知点C满足3OC=OF,点B在椭圆上(B异于椭圆的顶点),直线AB与以C为圆心的圆相切于点P,且P为线段AB的中点,求直线AB的方程.答案第四讲 圆锥曲线的综合问题第9页共9页\n1.A 对于选项B,方程x2+xy=x表示的是x=0,x+y=1两条直线,故B错误;对于选项C,方程y=x中,x≥0,y≥0,而方程x=y2中,x≥0,y∈R,这两个方程表示的不是同一条曲线,故C错误;对于选项D,因为两条直线的具体位置不确定,所以所求轨迹方程也无法确定,故D错误.选A.2.D 由已知得|MF|=|MB|,根据抛物线的定义知,点M的轨迹是以点F为焦点,直线l为准线的抛物线.故选D.3.A 因为y'=2x,所以4x1x2=-1,即x1x2=-14,过点A的切线方程为y-y1=2x1(x-x1),即y=2x1x-x12.同理,过点B的切线方程为y=2x2x-x22.由y=2x1x-x12 ①,y=2x2x-x22 ②,①-②得2x(x1-x2)-(x12-x22)=0,2x=x1+x2,x=x1+x22 ③,③代入①解得y=-14.故切线交点的轨迹方程为y=-14,即切线交点的轨迹为直线,故选A.1.(1)设直线AP的斜率为k,则k=x2-14x+12=x-12.因为-12<x<32,所以直线AP斜率的取值范围是(-1,1).(2)解法一 设直线AP的方程为y-14=k(x+12),即kx-y+12k+14=0,因为BQ⊥AP且B点坐标为(32,94),所以直线BQ的方程为x+ky-94k-32=0.联立直线AP与BQ的方程,得kx-y+12k+14=0,x+ky-94k-32=0,解得xQ=-k2+4k+32(k2+1).因为|PA|=1+k2(x+12)=1+k2(k+1),|PQ|=1+k2(xQ-x)=-(k-1)(k+1)2k2+1,所以|PA|·|PQ|=-(k-1)(k+1)3.令f(k)=-(k-1)(k+1)3,k∈(-1,1),因为f'(k)=-(4k-2)(k+1)2,所以f(k)在区间(-1,12)上单调递增,(12,1)上单调递减,因此当k=12时,|PA|·|PQ|取得最大值2716.解法二 连接BP,则|AP|·|PQ|=|AP|·|PB|·cos∠BPQ=AP·(AB-AP)=AP·AB-AP2.易知P(x,x2)(-12<x<32),AP=(x+12,x2-14),AB=(2,2),则AP·AB=2x+1+2x2-12=2x2+2x+12,AP2=(x+12)2+(x2-14)2=x2+x+14+x4-12x2+116=x4+12x2+x+516.所以|AP|·|PQ|=-x4+32x2+x+316(-12<x<32).第9页共9页\n设f(x)=-x4+32x2+x+316(-12<x<32),则f'(x)=-4x3+3x+1=-(x-1)(2x+1)2,所以f(x)在(-12,1)上单调递增,在(1,32)上单调递减,所以f(x)max=f(1)=2716.故|AP|·|PQ|的最大值为2716.2.(1)由题设得A(-a,0),B(a,0),G(0,1).则AG=(a,1),GB=(a,-1).由AG·GB=8得a2-1=8,因为a>1,所以a=3.所以E的方程为x29+y2=1.(2)设C(x1,y1),D(x2,y2),P(6,t).若t≠0,设直线CD的方程为x=my+n,由题意可知-3<n<3.由于直线PA的方程为y=t9(x+3),所以y1=t9(x1+3).直线PB的方程为y=t3(x-3),所以y2=t3(x2-3).消去t可得3y1(x2-3)=y2(x1+3) ①.由于x229+y22=1,故y22=-(x2+3)(x2-3)9,则x2-3=-9y22x2+3,代入①式,可得27y1y2=-(x1+3)(x2+3),又因为x1=my1+n,x2=my2+n,所以x1+x2=m(y1+y2)+2n,x1·x2=m2y1y2+2mn(y1+y2)+n2,所以(27+m2)y1y2+m(n+3)(y1+y2)+(n+3)2=0 ②.将x=my+n代入x29+y2=1得(m2+9)y2+2mny+n2-9=0.所以y1+y2=-2mnm2+9,y1y2=n2-9m2+9.代入②式得(27+m2)(n2-9)-2m(n+3)mn+(n+3)2(m2+9)=0.解得n=-3(舍去)或n=32.故直线CD的方程为x=my+32,所以直线CD过定点(32,0).若t=0,则直线CD的方程为y=0,过点(32,0).综上,直线CD过定点(32,0).3.(1)由题意得e=ca=12,127+5=b,a2-b2=c2,解得a=4,b=23,c=2.所以椭圆C的方程为x216+y212=1.(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),由题可知PQ斜率不为零,故设直线PQ的方程为x=my+3,第9页共9页\n联立直线PQ与椭圆的方程得x216+y212=1,x=my+3,消去x并整理,得(3m2+4)y2+18my-21=0,Δ>0,则y1+y2=-18m3m2+4,y1y2=-213m2+4.设M(163,yM),N(163,yN).由A,P,M三点共线可知yM163+4=y1x1+4,所以yM=283·y1x1+4.同理可得yN=283·y2x2+4.所以k1k2=yM163-3×yN163-3=9yMyN49=16y1y2(x1+4)(x2+4).因为(x1+4)(x2+4)=(my1+7)(my2+7)=m2y1y2+7m(y1+y2)+49,所以k1k2=16y1y2m2y1y2+7m(y1+y2)+49=16×-213m2+4m2×-213m2+4+7m×-18m3m2+4+49=-127,即k1k2为定值,且定值为-127.4.(1)设直线OA的斜率为kOA,直线l的斜率为kl.由题意知,kOA·kl=-32·2b23a2=-b2a2=-14,即a2=4b2.又点A(1,-32)在椭圆上,则1a2+34b2=1,可得a=2,b=1.所以椭圆C的方程为x24+y2=1.(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),则R(-x1,-y1),由y=32x+t,x24+y2=1,消去y并整理,得x2+3tx+t2-1=0,Δ=3t2-4(t2-1)=-t2+4>0,即-2<t<2.x1+x2=-3t,x1x2=t2-1.解法一 要证|AM|=|AN|,只需证直线AQ的斜率kAQ与直线AR的斜率kAR互为相反数,即证kAQ+kAR=0.而kAR+kAQ=y1-32x1+1+y2+32x2-1=(y1-32)(x2-1)+(y2+32)(x1+1)(x1+1)(x2-1)=(32x1+t-32)(x2-1)+(32x2+t+32)(x1+1)(x1+1)(x2-1)=3x1x2+t(x1+x2)+3(x1+1)(x2-1)=3(t2-1)+t(-3t)+3(x1+1)(x2-1)=0,所以|AM|=|AN|.第9页共9页\n解法二 设M(0,yM),N(0,yN),要证|AM|=|AN|,即证yM+yN2=-32.直线AQ的方程为y+32=y2+32x2-1(x-1),令x=0,得yM=-y2-32x2-1-32,直线AR的方程为y+32=-y1+32-x1-1(x-1),令x=0,得yN=-y1+32x1+1-32.则yM+yN=-y2-32x2-1+-y1+32x1+1-3=0-3=-3,即yM+yN2=-32,所以|AM|=|AN|.5.(1)因为点M在直线y=32x上,且点M在x轴上的射影恰好是椭圆C的右焦点,所以设椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),F2(c,0),所以M(c,32c).易知F1(-c,0),所以MF1·MF2=(-2c,-32c)·(0,-32c)=94c2=94,所以c=1.由1a2+94b2=1,a2=b2+1,解得a2=4,b2=3.所以椭圆C的方程为x24+y23=1.(2)由(1)知,F1(-1,0),由过点F1的直线l与椭圆C交于P,Q两点,得△F2PQ的周长为4a=8.又S△F2PQ=12·4a·r=4r(r为△F2PQ的内切圆半径),所以当△F2PQ的面积最大时,△F2PQ的内切圆面积也最大.设直线l的方程为x=ky-1,P(x1,y1),Q(x2,y2),联立直线l与椭圆C的方程得x=ky-1,x24+y23=1,消去x并整理,得(4+3k2)y2-6ky-9=0,易知Δ>0,则y1+y2=6k3k2+4,y1y2=-93k2+4.S△F2PQ=12·|F1F2|·|y1-y2|=(y1+y2)2-4y1y2=(6k3k2+4)2-4×(-93k2+4)=12k2+13k2+4.令k2+1=t,则t≥1,所以S△F2PQ=12t3t2+1=123t+1t.记f(t)=3t+1t(t≥1),则f'(t)=3-1t2,当t∈[1,+∞)时,f'(t)>0,则f(t)=3t+1t在[1,+∞)上单调递增,所以f(t)min=f(1)=4,所以S△F2PQ=123t+1t≤124=3,即当k=0时,△F2PQ的面积取得最大值3.第9页共9页\n结合S△F2PQ=4r,得r的最大值为34.所以△F2PQ的内切圆的面积的最大值为916π.6.(1)因为点P(2,2)在椭圆C上,且PF⊥x轴,所以c=2.设椭圆C的左焦点为E,则|EF|=2c=4,|PF|=2,连接PE,则在Rt△EFP中,|PE|2=|PF|2+|EF|2=18,所以|PE|=32.所以2a=|PE|+|PF|=42,则a=22,b2=a2-c2=4,所以椭圆C的方程为x28+y24=1.(2)由题意可设直线AB的方程为y=k(x-2),令x=4,得y=2k,则点M的坐标为(4,2k).由y=k(x-2),x28+y24=1消去y并整理,得(2k2+1)x2-8k2x+8(k2-1)=0,Δ>0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=8k22k2+1,x1x2=8(k2-1)2k2+1 ①.设直线PA,PB,PM的斜率分别为k1,k2,k3,从而k1=y1-2x1-2,k2=y2-2x2-2,k3=2k-24-2=k-22.因为直线AB的方程为y=k(x-2),则y1=k(x1-2),y2=k(x2-2),所以k1+k2=y1-2x1-2+y2-2x2-2=y1x1-2+y2x2-2-2(1x1-2+1x2-2)=2k-2·x1+x2-4x1x2-2(x1+x2)+4 ②.将①代入②,得k1+k2=2k-2·8k22k2+1-48(k2-1)2k2+1-16k22k2+1+4=2k-2.又k3=k-22,所以k1+k2=2k3,于是直线PA,PM,PB的斜率成等差数列.7.(Ⅰ)由已知可得b=3.记半焦距为c,由|OF|=|OA|可得c=b=3.又由a2=b2+c2可得a2=18.所以椭圆的方程为x218+y29=1.(Ⅱ)因为直线AB与以C为圆心的圆相切于点P,所以AB⊥CP.依题意,直线AB和直线CP的斜率均存在.设直线AB的方程为y=kx-3.由方程组y=kx-3,x218+y29=1,消去y,可得(2k2+1)x2-12kx=0,解得x=0或x=12k2k2+1.依题意,可得点B的坐标为(12k2k2+1,6k2-32k2+1).因为P为线段AB的中点,点A的坐标为(0,-3),所以点P的坐标为(6k2k2+1,-32k2+1).由3OC=OF,得点C的坐标为(1,0),故直线CP的斜率为-32k2+1-06k2k2+1-1,即32k2-6k+1.又因为AB⊥CP,所以k·32k2-6k+1=-1,整理得2k2-3k+1=0,解得k=12或k=1.第9页共9页\n所以直线AB的方程为y=12x-3或y=x-3.第9页共9页
