第十章 圆锥曲线与方程第二讲 双曲线练好题·考点自测1.给出以下关于双曲线的命题:①双曲线y29-x24=1的渐近线方程是y=±23x;②若点(2,3)在焦距为4的双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)上,则此双曲线的离心率e=2;③若点F,B分别是双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一个焦点和虚轴的一个端点,则线段FB的中点一定不在此双曲线的渐近线上;④等轴双曲线的渐近线互相垂直,离心率等于2;⑤若双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)与y2b2-x2a2=1(a>0,b>0)的离心率分别是e1,e2,则1e12+1e22=1(称这两条双曲线互为共轭双曲线).以上说法正确的个数是( )A.1B.2C.3D.42.[2016全国卷Ⅰ,5,5分][理]已知方程x2m2+n-y23m2-n=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是( )A.(-1,3)B.(-1,3)C.(0,3)D.(0,3)3.[2019全国卷Ⅲ,10,5分][理]双曲线C:x24-y22=1的右焦点为F,点P在C的一条渐近线上,O为坐标原点.若|PO|=|PF|,则△PFO的面积为( )A.324B.322C.22D.324.[2020全国卷Ⅱ,8,5分][理]设O为坐标原点,直线x=a与双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于D,E两点.若△ODE的面积为8,则C的焦距的最小值为( )A.4B.8C.16D.325.[2021大同市调研测试]如图10-2-1,双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2作线段F2P与C交于点Q,且Q为PF2的中点.若等腰三角形PF1F2的底边PF2的长等于C的半焦距,则C的离心率为( )第4页共4页\n图10-2-1A.-2+2157B.43C.2+2157D.326.[2018天津,7,5分][理]已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1+d2=6,则双曲线的方程为( )A.x24-y212=1B.x212-y24=1C.x23-y29=1D.x29-y23=17.[2020北京,14,5分]已知双曲线C:x26-y23=1,则C的右焦点的坐标为 ;C的焦点到其渐近线的距离是 . 8.[2020全国卷Ⅰ,15,5分][理]已知F为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点,A为C的右顶点,B为C上的点,且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3,则C的离心率为 . 拓展变式1.(1)[2020广东七校第一次联考]P是双曲线C:x22-y2=1右支上一点,直线l是双曲线C的一条渐近线.P在l上的射影为Q,F1是双曲线C的左焦点,则|PF1|+|PQ|的最小值为( )A.1B.2+155C.4+155D.22+1(2)[2020全国卷Ⅲ,11,5分][理]设双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为5.P是C上一点,且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面积为4,则a=( )A.1B.2C.4D.82.[2017天津,5,5分][理]已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为F,离心率为2.若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为( )A.x24-y24=1B.x28-y28=1C.x24-y28=1D.x28-y24=13.[2020成都三诊]已知F1,F2是双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,经过点F2且与x轴垂直的直线与双曲线的一条渐近线相交于点A,且π6≤∠F1AF2≤π4,则该双曲线离心率的取值范围是( )第4页共4页\nA.[5,13]B.[5,3]C.[3,13]D.[7,3]答案第二讲 双曲线1.D 对于①,双曲线y29-x24=1的渐近线方程应是y=±32x,故①不正确;对于②,双曲线的焦点为(-2,0),(2,0),2a=|(2+2)2+(3-0)2-(2-2)2+(3-0)2|=2,a=1,从而离心率e=2,所以②正确;对于③,F(±c,0),B(0,±b),FB的中点坐标(±c2,±b2)不满足双曲线的渐近线方程y=±bax,所以③正确;对于④,由等轴双曲线的性质可得④正确;对于⑤,由共轭双曲线的性质可知⑤正确.故选D.2.A 解法一 因为双曲线x2m2+n-y23m2-n=1两焦点之间的距离为4,则:①当焦点在x轴上时,22=m2+n+3m2-n,3m2-n>0,m2+n>0,解得m2=1,-1<n<3;②当焦点在y轴上时,22=-m2-n-3m2+n,3m2-n<0,m2+n<0,无解.综上,-1<n<3.故选A.解法二 取n=0,满足题意,排除C,D;取n=2,满足题意,排除B.选A.解法三 不考虑双曲线焦点的位置,根据双曲线的性质可得(m2+n)(3m2-n)>0,|m2+n+3m2-n|=4,化简可得(m2+n)(3m2-n)>0,m2=1,则-1<n<3,故选A.3.A 设点P在第一象限,根据题意可知c2=6,所以|OF|=6.又tan∠POF=ba=22,所以等腰三角形PFO底边OF上的高h=62×22=32,所以S△PFO=12×6×32=324.故选A.4.B 由题意知双曲线的渐近线方程为y=±bax.因为D,E分别为直线x=a与双曲线C的两条渐近线的交点,所以不妨设D(a,b),E(a,-b),所以S△ODE=12×a×|DE|=12×a×2b=ab=8,所以c2=a2+b2≥2ab=16,当且仅当a=b=22时等号成立.所以c≥4,所以2c≥8,所以C的焦距的最小值为8,故选B.5.C 连接F1Q,由△PF1F2是以PF2为底边的等腰三角形,且Q是PF2的中点,知F1Q⊥PF2,又|PF2|=c,所以|QF2|=c2,由双曲线的定义可得|F1Q|=c2+2a,根据F1Q⊥PF2和|F1F2|=2c得,(c2)2+(c2+2a)2=(2c)2,化简整理得7c2-4ac-8a2=0,方程两边同时除以a2得7e2-4e-8=0,又e>1,所以e=2+2157,故选C.第4页共4页\n6.C 解法一 因为直线AB经过双曲线的右焦点,所以不妨取A(c,b2a),B(c,-b2a),取双曲线的一条渐近线为直线bx-ay=0,由点到直线的距离公式可得d1=|bc-b2|a2+b2=bc-b2c,d2=|bc+b2|a2+b2=bc+b2c,因为d1+d2=6,所以bc-b2c+bc+b2c=6,所以2b=6,得b=3.因为双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2,即ca=2,所以a2+b2a2=4,所以a2+9a2=4,解得a2=3,所以双曲线的方程为x23-y29=1,故选C.解法二 由直线AB过双曲线的右焦点且垂直于x轴,d1+d2=6,得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3,所以b=3.因为双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2,所以ca=2,所以a2+b2a2=4,所以a2+9a2=4,解得a2=3,所以双曲线的方程为x23-y29=1,故选C.7.(3,0) 3 双曲线C:x26-y23=1中,c2=6+3=9,∴c=3,则C的右焦点的坐标为(3,0),C的渐近线方程为y=±36x,即x±2y=0,则C的焦点到其渐近线的距离d=33=3.8.2 设B(c,yB),因为B为双曲线C:x2a2-y2b2=1上的点,所以c2a2-yB2b2=1,所以yB2=b4a2.因为AB的斜率为3,所以yB=b2a,b2ac-a=3,所以b2=3ac-3a2,所以c2-a2=3ac-3a2,所以c2-3ac+2a2=0,解得c=a(舍去)或c=2a,所以C的离心率e=ca=2.1.(1)D 设双曲线的右焦点为F2,因为|PF1|-|PF2|=22,所以|PF1|=22+|PF2|,|PF1|+|PQ|=22+|PF2|+|PQ|.当且仅当Q,P,F2三点共线,且P在Q,F2之间时,|PF2|+|PQ|最小,且最小值为点F2到直线l的距离.由题意可得直线l的方程为y=±22x,焦点F2(3,0),点F2到直线l的距离d=1,故|PQ|+|PF1|的最小值为22+1,故选D.(2)A 解法一 设|PF1|=m,|PF2|=n,P为双曲线右支上一点,则由双曲线的定义得m-n=2a.由题意得S△PF1F2=12mn=4,且m2+n2=4c2,又e=ca=5,所以a=1,故选A.解法二(结论解法) 由题意及双曲线焦点三角形的结论(详见主书P207【思维拓展】(4)),得S△PF1F2=b2tan45°=4,得b2=4,又c2a2=5,c2=b2+a2,所以a=1.2.B 由e=2知,双曲线为等轴双曲线,则其渐近线方程为y=±x,由P(0,4)知左焦点F的坐标为(-4,0),所以c=4,则a2=b2=c22=8.故选B.3.A 不妨设A在第一象限,将x=c代入y=bax得A(c,bca),所以tan∠F1AF2=2cbca=2ab∈[tanπ6,tanπ4],即33≤2ab≤1,即13≤4a2b2≤1⇒1≤b24a2≤3⇒1≤c2-a24a2≤3⇒1≤14e2-14≤3⇒5≤e2≤13⇒5≤e≤13.故选A.第4页共4页
