课时作业14 导数与函数单调性一、选择题1．下面为函数y＝xsinx＋cosx的递增区间的是( )A．(，)B．(π，2π)C．(，)D．(2π，3π)解析：y′＝(xsinx＋cosx)′＝sinx＋xcosx－sinx＝xcosx，当x∈(，)时，恒有xcosx>0.故选C.答案：C2．已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是( )A．f(b)>f(c)>f(d)B．f(b)>f(a)>f(e)C．f(c)>f(b)>f(a)D．f(c)>f(e)>f(d)解析：依题意得，当x∈(－∞，c)时，f′(x)>0；当x∈(c，e)时，f′(x)<0；当x∈(e，＋∞)时，f′(x)>0.因此，函数f(x)在(－∞，c)上是增函数，在(c，e)上是减函数，在(e，＋∞)上是增函数，又a<b<c，所以f(c)>f(b)>f(a)．答案：C3．∀x1，x2∈(0，)，x2>x1，y1＝，y2＝，则( )A．y1＝y27\nB．y1>y2C．y1<y2D．y1，y2的大小关系不能确定解析：设y＝，则y′＝＝，因为在(0，)上x<tanx，所以xcosx－sinx<0，所以y′<0，所以y＝在(0，)上单调递减，所以y1>y2.答案：B4．设函数f(x)＝x2－9lnx在区间[a－1，a＋1]上单调递减，则实数a的取值范围是( )A．1<a≤2B．a≥4C．a≤2D．0<a≤3解析：∵f(x)＝x2－9lnx，∴f′(x)＝x－(x>0)，当x－≤0时，有0<x≤3，即在(0,3]上原函数是减函数，∴a－1>0且a＋1≤3，解得1<a≤2.答案：A5．(2014·新课标全国卷Ⅱ)若函数f(x)＝kx－lnx在区间(1，＋∞)单调递增，则k的取值范围是( )A．(－∞，－2]B．(－∞，－1]C．[2，＋∞)D．[1，＋∞)解析：由f′(x)＝k－，又f(x)在(1，＋∞)上单调递增，则f′(x)≥0在x∈(1，＋∞)上恒成立，即k≥在x∈(1，＋∞)上恒成立．又当x∈(1，＋∞)时，0<<1，故k≥1.故选D.答案：D6．若f(x)＝，e<a<b，则( )A．f(a)>f(b)B．f(a)＝f(b)C．f(a)<f(b)D．f(a)f(b)>17\n解析：f′(x)＝，当x>e时，f′(x)<0，则f(x)在(e，＋∞)上为减函数，f(a)>f(b)．答案：A二、填空题7．函数f(x)＝1＋x－sinx在(0,2π)上的单调情况是________．解析：在(0,2π)上有f′(x)＝1－cosx>0，所以f(x)在(0,2π)上单调递增．答案：单调递增8．若函数f(x)＝x3－x2＋ax＋4恰在[－1,4]上单调递减，则实数a的值为________．解析：∵f(x)＝x3－x2＋ax＋4，∴f′(x)＝x2－3x＋a，又函数f(x)恰在[－1,4]上单调递减，∴－1,4是f′(x)＝0的两根，∴a＝(－1)×4＝－4.答案：－49．若函数f(x)＝(a>0)为R上的单调函数，则a的取值范围为________．解析：若f(x)为R上的单调函数，则f′(x)在R上不变号，结合f′(x)＝ex与条件a>0，知ax2－2ax＋1≥0在R上恒成立，因此Δ＝4a2－4a＝4a(a－1)≤0，由此并结合a>0，知0<a≤1.答案：(0,1]三、解答题10．已知函数f(x)＝(k为常数，e是自然对数的底数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行．(1)求k的值；(2)求f(x)的单调区间．解：(1)由题意得f′(x)＝.又f′(1)＝＝0，故k＝1.(2)由(1)知，f′(x)＝.7\n设h(x)＝－lnx－1(x>0)，则h′(x)＝－－<0，即h(x)在(0，＋∞)上是减函数．由h(1)＝0知，当0<x<1时，h(x)>0，从而f′(x)>0；当x>1时，h(x)<0，从而f′(x)<0.综上可知，f(x)的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，＋∞)．11．已知函数f(x)＝x3－ax2－3x.(1)若f(x)在[1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围；(2)若x＝3是f(x)的极值点，求f(x)的单调区间．解：(1)对f(x)求导，得f′(x)＝3x2－2ax－3.由f′(x)≥0，得a≤.记t(x)＝，当x≥1时，t(x)是增函数，∴t(x)min＝(1－1)＝0.∴a≤0.(2)由题意，得f′(3)＝0，即27－6a－3＝0，∴a＝4.∴f(x)＝x3－4x2－3x，f′(x)＝3x2－8x－3.令f′(x)＝0，得x1＝－，x2＝3.当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：x－3(3，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值∴f(x)的单调递增区间为，[3，＋∞)，f(x)的单调递减区间为.1．函数f(x)＝x2－2ax＋a在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g(x)＝在区间(1，＋∞)上一定( )A．有最小值B．有最大值C．是减函数D．是增函数7\n解析：由函数f(x)＝x2－2ax＋a在区间(－∞，1)上有最小值，可得a<1，又g(x)＝＝x＋－2a，则g′(x)＝1－，易知在x∈(1，＋∞)上g′(x)>0，所以g(x)在(1，＋∞)上为增函数．答案：D2．已知f(x)为R上的可导函数，且∀x∈R，均有f(x)>f′(x)，则以下判断正确的是( )A．f(2013)>e2013f(0)B．f(2013)<e2013f(0)C．f(2013)＝e2013f(0)D．f(2013)与e2013f(0)大小无法确定解析：令函数g(x)＝，则g′(x)＝.∵f(x)>f′(x)，∴g′(x)<0，即函数g(x)在R上递减，∴g(2013)<g(0)，∴<，∴f(2013)<e2013f(0)．答案：B3．已知f(x)＝ax－cosx，x∈，若∀x1∈，∀x2∈，x1≠x2，<0，则实数a的取值范围为________．解析：f′(x)＝a＋sinx.依题意可知f(x)在上为减函数，所以f′(x)≤0对x∈恒成立，可得a≤－sinx对x∈恒成立．设g(x)＝－sinx，x∈.易知g(x)为减函数，故g(x)min＝－，所以a≤－.答案：4．(2014·山东卷)设函数f(x)＝alnx＋，其中a为常数．(1)若a＝0，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；7\n(2)讨论函数f(x)的单调性．解：(1)由题意知a＝0时，f(x)＝，x∈(0，＋∞)，此时f′(x)＝.可得f′(1)＝，又f(1)＝0，所以曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为x－2y－1＝0.(2)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝＋＝.当a≥0时，f′(x)>0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，当a<0时，令g(x)＝ax2＋(2a＋2)x＋a，由于Δ＝(2a＋2)2－4a2＝4(2a＋1)．①当a＝－时，Δ＝0，f′(x)＝≤0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减．②当a<－时，Δ<0，g(x)<0，f′(x)<0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减．③当－<a<0时，Δ>0，设x1，x2(x1<x2)是函数g(x)的两个零点，则x1＝，x2＝.由于x1＝＝>0，所以x∈(0，x1)时，g(x)<0，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，x∈(x1，x2)时，g(x)>0，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，x∈(x2，＋∞)时，g(x)<0，f′(x)<0，函数f(x)单调递减．综上可得：当a≥0时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a≤－时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减；7\n当－<a<0时，f(x)在，上单调递减，在上单调递增．7
