课时作业5 函数的单调性与最值一、选择题1．(2014·北京卷)下列函数中，定义域是R且为增函数的是( )A．y＝e－xB．y＝x3C．y＝lnxD．y＝|x|解析：A项，函数y＝e－x为R上的减函数；B项，函数y＝x3为R上的增函数；C项，函数y＝lnx为(0，＋∞)上的增函数；D项，函数y＝|x|在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上为增函数．故只有B项符合题意，应选B.答案：B2．下列函数f(x)中，满足“对任意的x1，x2∈(0，＋∞)时，均有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0”的是( )A．f(x)＝B．f(x)＝x2－4x＋4C．f(x)＝2xD．f(x)＝logx解析：由于(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0等价于x1－x2与f(x1)－f(x2)正负号相同，故函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．显然只有函数f(x)＝2x符合，故选C.答案：C3．函数y＝x2＋bx＋c(x∈[0，＋∞))是单调函数的充要条件是( )A．b≥0B．b≤0C．b<0D．b>0解析：函数y＝x2＋bx＋c在[0，＋∞)上是单调函数的充要条件是－≤0得b≥0.答案：A4．已知函数y＝f(x)在R上是减函数，则y＝f(|x－3|)的单调递减区间是( )A．(－∞，＋∞)B．[3，＋∞)C．[－3，＋∞)D．(－∞，3]解析：因为函数y＝f(|x－3|)是由y＝f(μ)，μ＝|x－3|复合而成的，而函数y＝f(x)在R上是减函数，y＝f(|x－3|)的单调递减区间，即μ＝|x－3|的单调递增区间，结合函数6\nμ＝|x－3|的图象可得，应有x－3≥0，解得x≥3，所以函数y＝f(|x－3|)的单调递减区间是[3，＋∞)，故选B.答案：B5．定义新运算⊕：当a≥b时，a⊕b＝a；当a<b时，a⊕b＝b2，则函数f(x)＝(1⊕x)x－(2⊕x)，x∈[－2,2]的最大值等于( )A．－1B．1C．6D．12解析：由已知得当－2≤x≤1时，f(x)＝x－2，当1<x≤2时，f(x)＝x3－2.∵f(x)＝x－2，f(x)＝x3－2在定义域内都为增函数．∴f(x)的最大值为f(2)＝23－2＝6.答案：C6．已知函数f(x)＝则“c＝－1”是“函数f(x)在R上递增”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：若函数f(x)在R上递增，则需log21≥c＋1，即c≤－1.由于c＝－1⇒c≤－1，但c≤－1⇒/c＝－1，所以“c＝－1”是“f(x)在R上递增”的充分不必要条件．故选A.答案：A二、填空题7．f(x)在(0，＋∞)上为减函数，则A＝f(a2－a＋1)，B＝f的大小关系为________．解析：因为a2－a＋1＝2＋≥，又f(x)在(0，＋∞)上为减函数，所以f(a2－a＋1)≤f，即A≤B.答案：A≤B8．设函数f(x)＝g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的递减区间是________．解析：6\ng(x)＝如图所示，其递减区间是[0,1)．答案：[0,1)9．使函数y＝与y＝log3(x－2)在(3，＋∞)上具有相同的单调性，则实数k的取值范围是________．解析：由y＝log3(x－2)的定义域为(2，＋∞)，且为增函数，故在(3，＋∞)上是增函数．又函数y＝＝＝2＋，使其在(3，＋∞)上是增函数，故4＋k<0，得k<－4.答案：(－∞，－4)三、解答题10．已知f(x)＝(x≠a)．(1)若a＝－2，试证明f(x)在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求a的取值范围．解：(1)证明：任设x1<x2<－2，则f(x1)－f(x2)＝－＝.∵(x1＋2)(x2＋2)>0，x1－x2<0，∴f(x1)<f(x2)，∴f(x)在(－∞，－2)内单调递增．(2)任设1<x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝.∵a>0，x2－x1>0，∴要使f(x1)－f(x2)>0，只需(x1－a)(x2－a)>0恒成立，∴a≤1.综上所述知0<a≤1.6\n11．已知函数f(x)＝2x＋＋c其中b，c为常数且满足f(1)＝5，f(2)＝6.(1)求b，c的值；(2)证明：函数f(x)在区间(0,1)上是减函数；(3)求函数y＝f(x)，x∈的值域．解：(1)f(x)＝2x＋＋c，⇒，∴.(2)设x1，x2∈(0,1)且x1<x2，f(x)＝2x＋＋1，f(x2)－f(x1)＝－＝2(x2－x1)＋＝2(x2－x1)＝<0，∴f(x2)<f(x1)，∴f(x)在(0,1)上是减函数．(3)由(2)知函数在(0,1)上是减函数，易知在(1，＋∞)上是增函数．当x∈时，f(x)min＝f(1)＝5，又∵f＝6，f(3)＝，f(3)>f()，∴f(x)max＝，∴f(x)的值域是.1．已知函数y＝f(x)满足：f(x)＝f(4－x)(x∈R)，且在[2，＋∞)上为增函数，则( )A．f(4)>f(1)>f(0.5)B．f(1)>f(0.5)>f(4)C．f(4)>f(0.5)>f(1)D．f(0.5)>f(4)>f(1)解析：因为函数y＝f(x)满足：f(x)＝f(4－x)(x∈R)，所以函数f(x)的图象关于x＝2对称，所以f(1)＝f(3)，f(0.5)＝f(3.5)，又因为f(x)在[2，＋∞)上为增函数，6\n所以f(4)>f(3.5)>f(3)，即f(4)>f(0.5)>f(1)，故选C.答案：C2．已知函数f(x)满足f(x)＝f(π－x)，且当x∈(－，)时，f(x)＝ex＋sinx，则( )A．f(1)<f(2)<f(3)B．f(2)<f(3)<f(1)C．f(3)<f(2)<f(1)D．f(3)<f(1)<f(2)解析：由f(x)＝f(π－x)，得函数f(x)的图象关于直线x＝对称，又当x∈(－，)时，f′(x)＝ex＋cosx>0恒成立，所以f(x)在(－，)上为增函数，f(2)＝f(π－2)，f(3)＝f(π－3)，且0<π－3<1<π－2<，所以f(π－3)<f(1)<f(π－2)，即f(3)<f(1)<f(2)．答案：D3．已知函数f(x)＝e|x－a|(a为常数)．若f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是________．解析：∵f(x)＝e|x－a|＝∴f(x)在[a，＋∞)上为增函数，则[1，＋∞)⊆[a，＋∞)，∴a≤1.答案：(－∞，1]4．若a∈R，函数f(x)＝x3＋ax2－(a＋1)x.(1)若a＝0，求函数f(x)的单调递增区间；(2)当x∈[－1,2]时，－1≤f(x)≤恒成立，求实数a的取值范围．解：(1)当a＝0时，f(x)＝x3－x，f′(x)＝(x＋1)(x－1)，所以函数f(x)的单调递增区间是(－∞，－1)，(1，＋∞)．(2)因为f′(x)＝(x－1)[x＋(a＋1)]，又因为－1,1∈[－1,2]，所以f(－1)＝a＋∈[－1，]，f(1)＝－a－∈[－1，]，6\n即－1≤a＋≤且－1≤－a－≤，解之得－≤a≤0.所以－1≤－(a＋1)≤.①当a＝0时，f(x)max＝max{f(－1)，f(2)}＝，f(x)min＝f(1)＝－，满足条件．②当－≤a<0时，－1(－1，－(a＋1))－(a＋1)(－(a＋1)，1)1(1,2)2f′(x)＋0－0＋f(x)a＋单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以f(x)在[－1，－(a＋1)]，[1,2]上单调递增，在[－(a＋1)，1]上单调递减，所以f(x)min＝min{(f－1)，f(1)}≥－1，f(2)＝，所以只要f(－(a＋1))≤恒成立即可．设g(a)＝f(－(a＋1))＝(a＋4)(a＋1)2，因为g′(a)＝(a＋3)(a＋1)，所以g(a)max＝max{g(－)，g(0)}＝g(0)＝，则f(－(a＋1))≤恒成立．故实数a的取值范围是[－，0]．6
