星期日 (40分附加题部分) 2022年____月____日选做部分请同学从下面所给的四题中选定两题作答1．选修4-1：几何证明选讲在△ABC中，已知CM是∠ACB的平分线，△AMC的外接圆交BC于点N，且BN＝2AM.求证：AB＝2AC.证明 在△ABC中，因为CM是∠ACB的平分线，所以＝，①又因为BA与BC是圆O过同一点B的割线，所以BM·BA＝BN·BC，即＝.又BN＝2AM，所以＝，②由①②得AB＝2AC.2．选修4-2：矩阵与变换设二阶矩阵A，B满足A－1＝，(BA)－1＝，求B－1.解 设B－1＝，因为(BA)－1＝A－1B－1，所以＝，即解得所以B－1＝.3．选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知曲线C：ρ＝2sinθ，过极点O的直线l与曲线C交于A，B两点，且AB＝，求直线l的方程．3\n解 设直线l的方程为θ＝θ0(ρ∈R)，A(0，0)，B(ρ1，θ0)，则AB＝|ρ1－0|＝|2sinθ0|.又AB＝，故sinθ0＝±.解得θ0＝＋2kπ或θ0＝－＋2kπ，k∈Z.所以直线l的方程为θ＝或θ＝(ρ∈R)．4．选修4-5：不等式选讲已知x，y，z均为正数，求证：＋＋≥＋＋.证明 因为x，y，z均为正数，所以＋≥≥.同理可得＋≥，＋≥.当且仅当x＝y＝z时，以上三式等号都成立．将上述三个不等式两边左、右两边分别相加，并除以2，得＋＋≥＋＋.必做部分1．某校高一、高二两个年级进行乒乓球对抗赛，每个年级选出3名学生组成代表队，比赛规则是：①按“单打、双打、单打”顺序进行三盘比赛；②代表队中每名队员至少参加一盘比赛，但不能参加两盘单打比赛．若每盘比赛中高一、高二获胜的概率分别为，.(1)按比赛规则，高一年级代表队可以派出多少种不同的出场阵容？(2)若单打获胜得2分，双打获胜得3分，求高一年级得分ξ的概率分布列和数学期望．解 (1)先安排参加单打的队员有A种方法，再安排参加双打的队员有C种方法，所以，高一年级代表队出场共有AC＝12种不同的阵容．(2)ξ的取值可能是0，2，3，4，5，7.3\nP(ξ＝0)＝，P(ξ＝2)＝，P(ξ＝3)＝，P(ξ＝4)＝，P(ξ＝5)＝，P(ξ＝7)＝.ξ的概率分布列为ξ023457P所以E(ξ)＝0×＋2×＋3×＋4×＋5×＋7×＝3.2．设m是给定的正整数，有序数组(a1，a2，a3，…，a2m)中ai＝2或－2(1≤i≤2m)．(1)求满足“对任意的k(k∈N*，1≤k≤m)，都有＝－1”的有序数组(a1，a2，a3，…，a2m)的个数A；(2)若对任意的k，l(k，l∈N*，1≤k≤l≤m)都有≤4成立，求满足“存在k(k∈N*，1≤k≤m)，使得≠－1”的有序数组(a1，a2，a3，…，a2m)的个数B.解 (1)因为对任意的k满足1≤k≤m，都有＝－1，则(a2k－1，a2k)＝(2，－2)或(a2k－1，a2k)＝(－2，2)共有2种，所以(a1，a2，a3，…，a2m)共有2m种不同的选择，所以A＝2m.(2)当存在一个k时，那么这一组有2C种，其余的由(1)知有2m－1种，所以共有2C2m－1种；当存在两个k时，因为条件对任意的k，l满足1≤k≤l≤m，都有≤4成立，得这两组共有2C种，其余的由(1)知有2m－2种，所以共有2C2m－2种；……，依次类推得B＝2C2m－1＋2C2m－2＋…＋2C＝2(3m－2m)．3
