各地解析分类汇编:导数21【山东省烟台市2013届高三上学期期中考试理】（本小题满分13分）已知函数.（1）求的极值；（2）若函数的图象与函数的图象在区间上有公共点，求实数a的取值范围.【答案】（1）的定义域为,，……2分令得，当时，是增函数；当时，是减函数，∴在处取得极大值，，无极小值.………………5分（2）①当时，即时，由（1）知在上是增函数，在上是减函数，,又当时，，当时，；当时，；与图象的图象在上有公共点，，解得，又，所以.………9分②当时，即时，在上是增函数，∴在上的最大值为，所以原问题等价于，解得.又,∴无解.综上，实数a的取值范围是.……13分-17-\n2.【山东省实验中学2013届高三第三次诊断性测试理】（本小题满分14分）已知函数的导数为实数，.（Ⅰ）若在区间［-1，1］上的最小值、最大值分别为-2、1，求a、b的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求经过点且与曲线相切的直线的方程；（Ⅲ）设函数，试判断函数的极值点个数。【答案】解：（Ⅰ）由已知得，，……………………1分由得.，当时，递增；当时，，递减.在区间［-1，1］上的最大值为.………………3分又.由题意得，即，得为所求。………………5分（Ⅱ）解：由（1）得，点P（2，1）在曲线上。（1）当切点为P（2，1）时，切线的斜率，的方程为.………………6分（2）当切点P不是切点时，设切点为切线的余率，的方程为。又点P（2，1）在上，，，.切线的方程为.故所求切线的方程为或.……………………………………8分-17-\n（Ⅲ）解：...……………………10分二次函数的判别式为得：.令，得，或。，时，，函数为单调递增，极值点个数0；………………12分当时，此时方程有两个不相等的实数根，根据极值点的定义，可知函数有两个极值点.……………………………………14分3.【山东省师大附中2013届高三12月第三次模拟检测理】本题满分12分)已知是函数的一个极值点．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）当，时，证明：【答案】（Ⅰ）解：，--------------------2分由已知得，解得．当时，，在处取得极小值．所以.----------------4分（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，，.当时，，在区间单调递减；-17-\n当时，，在区间单调递增.所以在区间上，的最小值为.------8分又，，所以在区间上，的最大值为.----------10分对于，有．所以.-------------------12分4.【山东省师大附中2013届高三12月第三次模拟检测理】(本题满分14分)已知函数（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）如果当且时，恒成立，求实数的范围.【答案】（1）定义域为-----------2分设①当时，对称轴，，所以在上是增函数-----------------------------4分②当时，，所以在上是增函数----------------------------------------6分③当时，令得令解得；令解得所以的单调递增区间和；的单调递减区间------------------------------------8分（2）可化为（※）-17-\n设，由（1）知：①当时，在上是增函数若时，；所以若时，。所以所以，当时，※式成立--------------------------------------12分②当时，在是减函数，所以※式不成立综上，实数的取值范围是．----------------------------14分解法二：可化为设令,所以在由洛必达法则所以5.【山东省师大附中2013届高三上学期期中考试数学理】（本题满分12分）设函数为奇函数，且在时取得极大值.（I）求b，c；-17-\n（II）求函数的单调区间；（III）解不等式.【答案】6.【山东省师大附中2013届高三上学期期中考试数学理】（本题满分12分）设函数.（I）求证：；（II）记曲线处的切线为，若与轴、轴所围成的三角形面积为S，求S的最大值.【答案】-17-\n7.【山东省师大附中2013届高三上学期期中考试数学理】（本题满分14分）已知函数（I）讨论的单调性；（II）若有两个极值点，证明：【答案】-17-\n8.【山东省青岛市2013届高三上学期期中考试理】（本小题满分13分）已知函数，当时，函数有极大值.（Ⅰ）求实数、的值；（Ⅱ）若存在，使得成立，求实数的取值范围.【答案】-17-\n①当时，，令得当变化时，的变化情况如下表：-+-单调递减极小值单调递增极大值单调递减根据表格，又，，9.【北京市东城区普通校2013届高三12月联考数学（理）】（本小题满分14分）已知：函数，其中．（Ⅰ）若是的极值点，求的值；（Ⅱ）求的单调区间；（Ⅲ）若在上的最大值是，求的取值范围．【答案】（Ⅰ）解：．依题意，令，解得．经检验，时，符合题意．……4分（Ⅱ）解：①当时，．故的单调增区间是；单调减区间是．…………………5分-17-\n②当时，令，得，或．当时，与的情况如下：↘↗↘所以，的单调增区间是；单调减区间是和．当时，的单调减区间是．当时，，与的情况如下：↘↗↘所以，的单调增区间是；单调减区间是和．③当时，的单调增区间是；单调减区间是．综上，当时，的增区间是，减区间是；当时，的增区间是，减区间是和；当时，的减区间是；当时，的增区间是；减区间是和．……11分（Ⅲ）由（Ⅱ）知时，在上单调递增，由，知不合题意．当时，在的最大值是，由，知不合题意．当时，在单调递减，-17-\n可得在上的最大值是，符合题意．所以，在上的最大值是时，的取值范围是．…………14分10.【北京四中2013届高三上学期期中测验数学（理）】（本小题满分13分） 已知函数（）. （1）若，试确定函数的单调区间； （2）若函数在其图象上任意一点处切线的斜率都小于，求实数的取值范围. （3）若，求的取值范围.【答案】 （Ⅰ）解：当时，，所以， 由，解得， 由，解得或， 所以函数的单调增区间为，减区间为和. （Ⅱ）解：因为， 由题意得：对任意恒成立， 即对任意恒成立， 设，所以， 所以当时，有最大值为， 因为对任意，恒成立， 所以，解得或， 所以，实数的取值范围为或. （III）.-17-\n11.【山东省滨州市滨城区一中2013届高三11月质检数学理】（本题满分12分）.某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的顶点A,B及CD的中点P处，已知AB=20km,CB=10km，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD的区域上（含边界），且与A,B等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO,BO,OP，设排污管道的总长为km．（Ⅰ）按下列要求写出函数关系式：①设∠BAO=(rad)，将表示成的函数关系式；②设OP(km)，将表示成的函数关系式．（Ⅱ）请你选用（Ⅰ）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短．【答案】（Ⅰ）①由条件知PQ垂直平分AB，若∠BAO=(rad)，则,故，又OP＝所以，所求函数关系式为┅┅┅3分②若OP=(km)，则OQ＝10－，所以OA=OB=所求函数关系式为┅┅┅6分（Ⅱ）选择函数模型①，令0得sin，因为，所以=，┅┅┅9分当时，，是的减函数；当时，，是的增函数，所以当=时，。这时点P位于线段AB的中垂线上，且距离AB边km处。┅┅┅12分-17-\n12.【山东省滨州市滨城区一中2013届高三11月质检数学理】（本题满分14分）定义：若，使得成立，则称为函数的一个不动点(1)下列函数不存在不动点的是（）---（单选）A.（）B.(b>1)C.D.(2)设(),求的极值(3)设().当>0时，讨论函数是否存在不动点，若存在求出的范围，若不存在说明理由。【答案】（1）C┅┅4分（2）①当a=0时，，在上位增函数，无极值；②当a<0时，>0恒成立，在上位增函数，无极值；③当a>0时,=0,得，列表如下：X0_增极大值减当时，有极大值=综上，当时无极值，当a>0时有极大值=.┅┅10分（3）假设存在不动点，则方程有解，即有解。设，（a>0）有（2）可知极大值-17-\n，下面判断极大值是否大于0，设，（a>0）,,列表如下：Ae0—P(a)增极大值减当a=e时，极大值=p(e)=<0,所以恒成立，即极大值小于零，所以无不动点。┅┅14分13.【山东省德州市乐陵一中2013届高三10月月考数学理】本题满分13分）设函数．（Ⅰ）求函数的单调递增区间；（Ⅱ）若关于的方程在区间内恰有两个相异的实根，求实数的取值范围．【答案】方法2：∵，∴．…………………………6分即，令，∵，且，由．∴在区间内单调递增，在区间内单调递减．……………………9分∵，，，又，故在区间内恰有两个相异实根．……………………………………11分即．综上所述，的取值范围是．……………………………13分-17-\n所以…………………………………………………………12分14.【山东省德州市乐陵一中2013届高三10月月考数学理】本小题满分13分）某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交元（）的管理费，预计当每件产品的售价为元（）时，一年的销售量为万件.（1）求分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价（元）的函数关系式；（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大？并求出L的最大值-17-\n【答案】1）分公司一年的利润L（万元）与售价的函数关系式为：……………………………………4分（少定义域去1分）（2）令得或（不合题意，舍去）…………………………6分∵，∴在两侧的值由正变负.......8分所以（1）当即时，………………………………10分（2）当即时，，所以…………………………………………12分15.【山东省济南外国语学校2013届高三上学期期中考试理科】（本小题满分14分）已知函数.(1)求的单调区间；(2)若对，，都有，求的取值范围。【答案】解：(1)，令得…………………………….3分-17-\n当时，在和上递增，在上递减；当时，在和上递减，在上递增…………………8分(2)当时，；所以不可能对，都有；当时有（1）知在上的最大值为，所以对，都有即，故对，都有时，的取值范围为。…………………………………………………………………….14分-17-
