课后限时集训(七) 基本不等式建议用时：40分钟一、选择题1．下列不等式证明过程正确的是( )①若a，b∈R，则＋≥2＝2；②若x＞1，y＞1，则lgx＋lgy≥2；③若x＜0，则x＋≥2＝－4；④若x＜0，则2x＋2－x＞2＝2.A．①④B．②③C．①②④D．②④D [①错误，∵a，b不满足同号，故不能用基本不等式；②正确，∵lgx和lgy一定是正实数，故可用基本不等式；③错误，∵x和不是正实数，故不能直接利用基本不等式；④正确，∵2x和2－x都是正实数，故2x＋2－x＞2＝2成立，当且仅当2x＝2－x相等时(即x＝0时)，等号成立，故选D．]2．若a，b都是正数，则·的最小值为( )A．7B．8C．9D．10C [∵a，b都是正数，∴＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当b＝2a＞0时取等号．故·的最小值为9.]3．设0＜x＜2，则函数y＝的最大值为( )A．2B．C．D．D [∵0＜x＜2，∴4－2x＞0，∴x(4－2x)＝×2x(4－2x)≤×＝×4＝2.当且仅当2x＝4－2x，即x＝1时等号成立．即函数y＝的最大值为.]4．已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是( )\nA．B．4C．D．5C [由a＞0，b＞0，a＋b＝2知＋＝(a＋b)＝≥，当且仅当＝，即b＝2a＝时等号成立，故选C．]5．若a＞b＞1，P＝，Q＝(lga＋lgb)，R＝lg，则( )A．R＜P＜QB．Q＜P＜RC．P＜Q＜RD．P＜R＜QC [∵a＞b＞1，∴lga＞lgb＞0，(lga＋lgb)＞，即Q＞P.∵＞，∴lg＞lg＝(lga＋lgb)＝Q，即R＞Q，∴P＜Q＜R.]6．(2020·福州模拟)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A．60件B．80件C．100件D．120件B [若每批生产x件产品，则每件产品的生产准备费用是元，仓储费用是元，总的费用是＋≥2＝20，当且仅当＝，即x＝80时取等号．]二、填空题7．已知函数y＝x＋(x＞2)的最小值为6，则正数m的值为________．4 [∵x＞2，∴x－2＞0，∴y＝x＋＝x－2＋＋2≥2＋2＝2＋2，当且仅当x－2＝，即x＝2＋时等号成立．由题意知2＋2＝6，解得m＝4.]8．(2018·天津高考)已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，则2a＋的最小值为________．\n [由题知a－3b＝－6，因为2a＞0,8b＞0，所以2a＋≥2×＝2×＝，当且仅当2a＝，即a＝－3b，a＝－3，b＝1时取等号．]9．(2020·扬州模拟)已知正数a，b满足a＋b＝1，则的最小值为________．2＋2 [∵a＞0，b＞0，且a＋b＝1，∴＝＋＝＋＝＋＋2≥2＋2＝2＋2.当且仅当即a＝－1，b＝2－时等号成立．因此的最小值为2＋2.]三、解答题10．(2020·贵阳模拟)已知正实数x，y满足等式＋＝2.(1)求xy的最小值；(2)若3x＋y≥m2－m恒成立，求实数m的取值范围．[解] (1)2＝＋≥2，即xy≥3，当且仅当x＝1，y＝3时等号成立，所以xy的最小值为3.(2)3x＋y＝(3x＋y)＝≥＝6，当且仅当x＝1，y＝3时等号成立，即(3x＋y)min＝6，所以m2－m≤6，所以－2≤m≤3.11．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求：(1)xy的最小值；(2)x＋y的最小值．[解] (1)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，又x>0，y>0，则1＝＋≥2＝，得xy≥64，当且仅当x＝16，y＝4时，等号成立．所以xy的最小值为64.\n(2)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，则x＋y＝·(x＋y)＝10＋＋≥10＋2＝18.当且仅当x＝12且y＝6时等号成立，所以x＋y的最小值为18.1．若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为( )A．B．2C．2D．4C [由题意知a＞0，b＞0，则＋≥2＝，当且仅当＝，即b＝2a时等号成立．∴≥，即ab≥2，故选C．]2．(2020·北京朝阳区模拟)已知x＞1，且x－y＝1，则x＋的最小值是________．3 [∵x＞1且x－y＝1，∴y＝x－1＞0.∴x＋＝x＋＝(x－1)＋＋1≥2＋1＝3(当且仅当x＝2时取等号，此时y＝1)．∴x＋的最小值为3.]3．经测算，某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量y(L)与速度x(km/h)(50≤x≤120)的关系可近似表示为y＝(1)该型号汽车的速度为多少时，可使得每小时耗油量最少？(2)已知A，B两地相距120km，假定该型号汽车匀速从A地驶向B地，则汽车速度为多少时总耗油量最少？[解] (1)当x∈[50,80)时，y＝(x2－130x＋4900)＝[(x－65)2＋675]，所以当x＝65时，y取得最小值，最小值为×675＝9.当x∈[80,120]时，函数y＝12－单调递减，\n故当x＝120时，y取得最小值，最小值为12－＝10.因为9<10，所以当x＝65，即该型号汽车的速度为65km/h时，可使得每小时耗油量最少．(2)设总耗油量为lL，由题意可知l＝y·.①当x∈[50,80)时，l＝y·＝≥＝16，当且仅当x＝，即x＝70时，l取得最小值，最小值为16.②当x∈[80,120]时，l＝y·＝－2为减函数，所以当x＝120时，l取得最小值，最小值为10.因为10<16，所以当速度为120km/h时，总耗油量最少．1．(2020·江苏高考)已知5x2y2＋y4＝1(x，y∈R)，则x2＋y2的最小值是________． [法一：由5x2y2＋y4＝1，得x2＝.由x2≥0，得y2∈(0,1]，则x2＋y2＝＋y2＝＝≥×2＝，当且仅当4y2＝，即y2＝，x2＝时等号成立，因此x2＋y2的最小值为.法二：4＝(5x2＋y2)·4y2≤2＝(x2＋y2)2，即(x2＋y2)2≥4，即(x2＋y2)2≥，所以x2＋y2≥，当且仅当5x2＋y2＝4y2＝2，即y2＝，x2＝时等号成立．因此x2＋y2的最小值为.]2．为了加强“平安校园”建设，有效遏制涉校案件的发生，保障师生安全，\n某校决定在学校门口利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园警务室．由于此警务室的后背靠墙，无需建造费用，甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计14400元．设屋子的左右两面墙的长度均为x米(3≤x≤6)．(1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？并求出最低报价；(2)现有乙工程队也要参与此警务室的建造竞标，其给出的整体报价为元(a＞0)，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围．[解] (1)设甲工程队的总造价为y元，则y＝3＋14400＝1800＋14400(3≤x≤6)，1800＋14400≥1800×2×＋14400＝28800.当且仅当x＝，即x＝4时等号成立．即当左右两侧墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低，最低为28800元．(2)由题意可得，1800＋14400＞，对任意的x∈[3,6]恒成立．即＞，从而＞a恒成立，令x＋1＝t，＝＝t＋＋6，t∈[4,7]，又y＝t＋＋6在t∈[4,7]为单调增函数，故ymin＝12.25.所以0＜a＜12.25.
