课后限时集训(七) 基本不等式建议用时：40分钟一、选择题1．(多选)(2020·山东淄博期中)下列表达式的最小值为2的有( )A．当ab＝1时，a＋bB．当ab＝1时，＋C．a2－2a＋3D．＋BC [对于A，当a，b均为负值时，a＋b＜0，故当ab＝1时，a＋b的最小值不为2，A错误；对于B，因为ab＝1，所以a，b同号，所以＞0，＞0，所以＋≥2＝2，当且仅当＝，且ab＝1，即a＝b＝±1时取等号，故当ab＝1时，＋的最小值为2，B正确；对于C，因为a2－2a＋3＝(a－1)2＋2，所以当a＝1时，a2－2a＋3取最小值2，C正确；对于D，＋≥2＝2，当且仅当＝，即a2＋2＝1时取等号，但等号显然不成立，故＋的最小值不为2，D错误．故选BC.]2．(多选)(2020·山东菏泽期中)设a，b∈R，则下列不等式一定成立的是( )A．a2＋b2≥2abB．a＋≥2C．b2＋1≥2bD．＋≥2ACD [对于A，当a，b∈R时，a2＋b2≥2ab成立，故A正确；对于B，当a＞0时，a＋≥2，等号成立的条件是a＝1，当a＜0时，a＋≤－2，等号成立的条件是a＝－1，故B不正确；对于C，当b∈R时，b2＋1－2b＝(b－1)2≥0，所以b2＋1≥2b，故C正确；对于D，＞0，＞0，所以＋≥2＝2，当且仅当＝，即a2＝b2时等号成立，故D正确．故选ACD.]3．设0＜x＜2，则函数y＝的最大值为( )\nA．2B．C．D．D [∵0＜x＜2，∴4－2x＞0，∴x(4－2x)＝×2x(4－2x)≤×2＝×4＝2.当且仅当2x＝4－2x，即x＝1时等号成立．即函数y＝的最大值为.]4．已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是( )A.B．4C.D．5C [由a＞0，b＞0，a＋b＝2知＋＝(a＋b)＝≥，当且仅当＝，即b＝2a＝时等号成立，故选C.]5．若a＞b＞1，P＝，Q＝(lga＋lgb)，R＝lg，则( )A．R＜P＜QB．Q＜P＜RC．P＜Q＜RD．P＜R＜QC [∵a＞b＞1，∴lga＞lgb＞0，(lga＋lgb)＞，即Q＞P.∵＞，∴lg＞lg＝(lga＋lgb)＝Q，即R＞Q，∴P＜Q＜R.]6．(2020·福州模拟)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A．60件B．80件C．100件D．120件B [若每批生产x件产品，则每件产品的生产准备费用是元，仓储费用是元，总的费用是＋≥2＝20，当且仅当＝，即x＝80时取等号．]\n二、填空题7．已知函数y＝x＋(x＞2)的最小值为6，则正数m的值为________．4 [∵x＞2，∴x－2＞0，∴y＝x＋＝x－2＋＋2≥2＋2＝2＋2，当且仅当x－2＝，即x＝2＋时等号成立．由题意知2＋2＝6，解得m＝4.]8．(2018·天津高考)已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，则2a＋的最小值为________． [由题知a－3b＝－6，因为2a＞0,8b＞0，所以2a＋≥2×＝2×＝，当且仅当2a＝，即a＝－3b，a＝－3，b＝1时取等号．]9．(2020·扬州模拟)已知正数a，b满足a＋b＝1，则的最小值为________．2＋2 [∵a＞0，b＞0，且a＋b＝1，∴＝＋＝＋＝＋＋2≥2＋2＝2＋2.当且仅当即a＝－1，b＝2－时等号成立．因此的最小值为2＋2.]三、解答题10．已知正实数x，y满足等式＋＝2.(1)求xy的最小值；(2)若3x＋y≥m2－m恒成立，求实数m的取值范围．[解] (1)2＝＋≥2，即xy≥3，当且仅当x＝1，y＝3时等号成立，所以xy的最小值为3.(2)3x＋y＝(3x＋y)＝≥＝6，当且仅当x＝1，y\n＝3时等号成立，即(3x＋y)min＝6，所以m2－m≤6，所以－2≤m≤3.11．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求：(1)xy的最小值；(2)x＋y的最小值．[解] (1)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，又x>0，y>0，则1＝＋≥2＝，得xy≥64，当且仅当x＝16，y＝4时，等号成立．所以xy的最小值为64.(2)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，则x＋y＝·(x＋y)＝10＋＋≥10＋2＝18.当且仅当x＝12且y＝6时等号成立，所以x＋y的最小值为18.1．(多选)(2020·山东烟台期中)下列说法正确的是( )A．若x，y＞0，x＋y＝2，则2x＋2y的最大值为4B．若x＜，则函数y＝2x＋的最大值为－1C．若x，y＞0，x＋y＋xy＝3，则xy的最小值为1D．函数y＝＋的最小值为9BD [对于A，取x＝，y＝，可得2x＋2y＝3＞4，A错误；对于B，y＝2x＋＝－＋1≤－2＋1＝－1，当且仅当x＝0时等号成立，B正确；对于C，易知x＝2，y＝满足等式x＋y＋xy＝3，此时xy＝＜1，C错误；对于D，y＝＋＝(sin2x＋cos2x)＝＋＋5≥2＋5＝9，当且仅当cos2x＝，sin2x＝时等号成立，D正确．故选BD.]\n2．(2020·北京朝阳区模拟)已知x＞1，且x－y＝1，则x＋的最小值是________．3 [∵x＞1且x－y＝1，∴y＝x－1＞0.∴x＋＝x＋＝(x－1)＋＋1≥2＋1＝3(当且仅当x＝2时取等号，此时y＝1)．∴x＋的最小值为3.]3．经测算，某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量y(L)与速度x(km/h)(50≤x≤120)的关系可近似表示为y＝(1)该型号汽车的速度为多少时，可使得每小时耗油量最少？(2)已知A，B两地相距120km，假定该型号汽车匀速从A地驶向B地，则汽车速度为多少时总耗油量最少？[解] (1)当x∈[50,80)时，y＝(x2－130x＋4900)＝[(x－65)2＋675]，所以当x＝65时，y取得最小值，最小值为×675＝9.当x∈[80,120]时，函数y＝12－单调递减，故当x＝120时，y取得最小值，最小值为12－＝10.因为9<10，所以当x＝65，即该型号汽车的速度为65km/h时，可使得每小时耗油量最少．(2)设总耗油量为lL，由题意可知l＝y·.①当x∈[50,80)时，l＝y·＝≥＝16，当且仅当x＝，即x＝70时，l取得最小值，最小值为16.②当x∈[80,120]时，l＝y·＝－2为减函数，所以当x＝120时，l取得最小值，最小值为10.因为10<16，所以当速度为120km/h时，总耗油量最少．1．(多选)一个矩形的周长为l，面积为S，则如下四组数对中，可作为数对(S，l)的是( )A．(1,4)B．(6,8)\nC．(7,12)D．AC [设矩形的边长分别为x，y，则x＋y＝l，S＝xy.对于A，(1,4)，则x＋y＝2，xy＝1，根据基本不等式得xy≤2，符合题意；对于B，(6,8)，则x＋y＝4，xy＝6，根据基本不等式得xy≤2，不符合题意；对于C，(7,12)，则x＋y＝6，xy＝7，根据基本不等式得xy≤2，符合题意；对于D，，则x＋y＝，xy＝3，根据基本不等式得xy≤2，不符合题意．故选AC.]2．为了加强“平安校园”建设，有效遏制涉校案件的发生，保障师生安全，某校决定在学校门口利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园警务室．由于此警务室的后背靠墙，无需建造费用，甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计14400元．设屋子的左右两面墙的长度均为x米(3≤x≤6)．(1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？并求出最低报价；(2)现有乙工程队也要参与此警务室的建造竞标，其给出的整体报价为元(a＞0)，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围．[解] (1)设甲工程队的总造价为y元，则y＝3＋14400＝1800＋14400(3≤x≤6)，1800＋14400≥1800×2×＋14400＝28800.当且仅当x＝，即x＝4时等号成立．即当左右两侧墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低，最低为28800元．(2)由题意可得，1800＋14400＞，对任意的x∈[3,6]恒成立．即＞，从而＞a恒成立，令x＋1＝t，＝＝t＋＋6，t∈[4,7]，又y＝t＋＋6在t∈[4,7]为单调增函数，故ymin＝12.25.\n所以0＜a＜12.25.
