课后限时集训(四十一) 空间几何体的结构及其表面积、体积建议用时：25分钟一、选择题1．下列说法中正确的是( )A．斜三棱柱的侧面展开图一定是平行四边形B．水平放置的正方形的直观图有可能是梯形C．一个直四棱柱的正视图和侧视图都是矩形，则该直四棱柱就是长方体D．用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分形成的几何体就是圆台[答案] D2．一个球的表面积是16π，那么这个球的体积为( )A．πB．πC．16πD．24πB [设球的半径为R，则S＝4πR2＝16π，解得R＝2，则球的体积V＝πR3＝π.]3．《九章算术》是我国古代数学名著，在《九章算术》中将底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”．若某“阳马”的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该“阳马”的表面积为( )A．1＋B．1＋2C．2＋D．2＋2C [由三视图可得该“阳马”的底面是边长为1的正方形，高为1，则表面积为1＋2××1×1＋2×××1＝2＋，故选C．]4．用长为8，宽为4的矩形做侧面围成一个圆柱，则圆柱的轴截面的面积为( )A．32B．C．D．B [若8为底面周长，则圆柱的高为4，此时圆柱的底面直径为，其轴截面的面积为\n；若4为底面周长，则圆柱的高为8，此时圆柱的底面直径为，其轴截面的面积为.]5.如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E为棱DD1上的点，F为AB的中点，则三棱锥B1BFE的体积为( )A．B．C．D．C [由等体积法可知V＝V＝S△BB1F·AD＝×1××1＝.故选C．]6．正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，已知AC1⊥平面α，则关于α截此正方体所得截面有以下4个判断，①截面形状可能为正三角形；②截面形状可能为正方形；③截面形状可能为正六边形；④截面面积最大值为3.其中判断正确的是( )A．①③B．①②③C．①②④D．①③④D [如图，显然①③成立，下面说明④成立，如图截得正六边形时，面积最大，MN＝2，GH＝，OE＝＝，所以S＝2××(＋2)×＝3，故④成立，故选D．]7．(2020·全国卷Ⅱ)已知△ABC是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上．若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为( )\nA．B．C．1D．C [由等边三角形ABC的面积为，得×AB2＝，得AB＝3，则△ABC的外接圆半径r＝×AB＝AB＝.设球的半径为R，则由球的表面积为16π，得4πR2＝16π，得R＝2，则球心O到平面ABC的距离d＝＝1，故选C．]8.如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为( )A．B．C．D．A [(分割法)如图，分别过点A，B作EF的垂线，垂足分别为G，H，连接DG，CH，容易求得EG＝HF＝，AG＝GD＝BH＝HC＝，取AD的中点O，连接GO，易得GO＝，∴S△AGD＝S△BHC＝××1＝，∴多面体的体积V＝V三棱锥EADG＋V三棱锥FBCH＋V三棱柱AGDBHC＝2V三棱锥EADG＋V三棱柱AGDBHC＝×××2＋×1＝.故选A．]二、填空题9.有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，则这块菜地的面积为．\n2＋ [如图①，在直观图中，过点A作AE⊥BC，垂足为E.图① 图②在Rt△ABE中，AB＝1，∠ABE＝45°，∴BE＝.而四边形AECD为矩形，AD＝1，∴EC＝AD＝1，∴BC＝BE＋EC＝＋1.由此可还原原图形如图②.在原图形中，A′D′＝1，A′B′＝2，B′C′＝＋1，且A′D′∥B′C′，A′B′⊥B′C′，∴这块菜地的面积S＝(A′D′＋B′C′)×A′B′＝××2＝2＋.]10．圆台的上、下底面半径分别是10cm和20cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是180°，那么圆台的表面积为cm2(结果中保留π)．1100π [如图所示，设圆台的上底周长为C，因为扇环的圆心角是180°，所以C＝π·SA．又C＝2π×10＝20π，所以SA＝20(cm)．同理SB＝40(cm)．所以AB＝SB－SA＝20(cm)．S表＝S侧＋S上底＋S下底＝π(r1＋r2)·AB＋πr＋πr＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝1100π(cm2)．故圆台的表面积为1100πcm2.]11.根据不同的程序，3D打印既能打印实心的几何体模型，也能打印空心的几何体模型．如图所示的空心模型是体积为πcm3的球挖去一个三棱锥PABC后得到的几何体，其中PA⊥AB，BC⊥平面PAB，BC＝1cm.不考虑打印损耗，当用料最省时，AC＝\ncm.3 [设球的半径为R，由球的体积R3＝π，解得R＝cm.因为BC⊥平面PAB，所以BC⊥PB，BC⊥AB，BC⊥PA．因为PA⊥AB，AB∩BC＝B，所以PA⊥平面ABC，所以PA⊥AC．由BC⊥AB可知，AC为截面圆的直径，故可设AC＝xcm(1＜x＜)，取PC的中点O，连接OA，OB(图略)，则PO＝OC＝OA＝OB，故O为球心，所以PC＝cm.在Rt△PAC中，PA＝cm，在Rt△ABC中，AB＝cm，所以VPABC＝×S△ABC×PA＝×××1×＝≤＝(cm3)，当且仅当x2－1＝17－x2，即x＝3时，等号成立．所以当用料最省时，AC＝3cm.]12．已知某圆锥的母线长为3，底面半径为1，则该圆锥的体积为．设线段AB为该圆锥底面圆的一条直径，一质点从A出发，沿着该圆锥的侧面运动，到达B点后再沿侧面回到A点，则该质点运动路径的最短长度为． 6 [该圆锥的高h＝＝2.所以该圆锥的体积V＝×π×12×2＝π.将圆锥侧面沿母线SA展开，如图所示．因为圆锥底面周长为2π，所以侧面展开后得到的扇形的圆心角∠ASA′＝.由题意知点B是侧面展开后得到的扇形中弧AA′的中点，连接AB，A′B，SB，则∠ASB＝，可得AB＝A′B＝AS＝3.所以该质点运动路径的最短长度为AB＋A′B＝6.]\n1．已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为( )A．B．C．D．A [由于三棱锥SABC与三棱锥OABC底面都是△ABC，O是SC的中点，因此三棱锥SABC的高是三棱锥OABC高的2倍，所以三棱锥SABC的体积也是三棱锥OABC体积的2倍．在三棱锥OABC中，其棱长都是1，如图所示，S△ABC＝×AB2＝，高OD＝＝，∴VSABC＝2VOABC＝2×××＝.]2．(2020·福州质检)如图，以棱长为1的正方体的顶点A为球心，以为半径作一个球面，则该正方体的表面被球面所截得的所有弧长之和为( )A．B．πC．D．C [正方体的表面被该球面所截得的弧长是相等的三部分，如图，上底面被球面截得的弧长是以A1为圆心，1为半径的圆周长的，所以所有弧长之和为3×＝.故选C．]
