课后限时集训(三十二) 正弦定理、余弦定理的综合应用建议用时：40分钟一、选择题1．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A在点B的( )A．北偏东15°B．北偏西15°C．北偏东10°D．北偏西10°B [如图所示，由AC＝BC得∠CAB＝∠CBA＝45°.利用内错角相等可知，点A位于点B的北偏西15°，故选B．]2．在200m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底俯角分别为30°，60°，则塔高为( )A．mB．mC．mD．mA [如图，由已知可得∠BAC＝30°，∠CAD＝30°，∴∠BCA＝60°，∴∠ACD＝30°，∴∠ADC＝120°，又AB＝200m，∴AC＝m.在△ACD中，由正弦定理，得＝，即DC＝＝(m)．]\n3．(2020·武昌区模拟)一艘海轮从A处出发，以每小时24海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是( )A．6海里B．6海里C．8海里D．8海里A [由题意可知：∠BAC＝70°－40°＝30°，∠ACD＝110°，∴∠ACB＝110°－65°＝45°，∴∠ABC＝180°－30°－45°＝105°.又AB＝24×0.5＝12，在△ABC中，由正弦定理得＝，即＝，∴BC＝6，故选A．]4．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos2A＋cos2B＝2cos2C，则cosC的最小值为( )A．B．C．D．－C [因为cos2A＋cos2B＝2cos2C，所以1－2sin2A＋1－2sin2B＝2－4sin2C，得a2＋b2＝2c2，cosC＝＝≥＝，当且仅当a＝b时等号成立，故选C．]5．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知(a＋b－c)(a＋b＋c)＝3ab，且c＝4，则△ABC面积的最大值为( )A．8B．4C．2D．B [由已知等式得a2＋b2－c2＝ab，则cosC＝＝＝.由C∈(0，π)，所以sinC＝.又16＝c2＝a2＋b2－ab≥2ab－ab＝ab，则ab≤16，所以S△ABC＝absinC≤×16×\n＝4.故Smax＝4.故选B．]6．(2020·贵州模拟)已知△ABC中，BC边上的中线AD＝3，BC＝4，∠BAC＝60°，则△ABC的周长为( )A．＋4B．4＋4C．5＋4D．2＋4A [根据余弦定理：AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos∠ADB＝13－12cos∠ADB，AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cos∠ADC＝13－12cos∠ADC，∴AB2＋AC2＝26，又BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝26－AB·AC＝16，∴AB·AC＝10，∴(AB＋AC)2＝AB2＋AC2＋2AB·AC＝26＋20＝46，所以△ABC的周长为AB＋AC＋BC＝＋4，故选A．]二、填空题7．一船向正北航行，看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时海里．10 [如图所示，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10，在Rt△ABC中，AC＝10，∠CAB＝60°，得AB＝5，于是这艘船的速度是＝10(海里/时)．]8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足asinB＝bcosA．若a＝4，则△ABC周长的最大值为．12 [由正弦定理＝，可将asinB＝bcosA转化为sinAsinB＝sinBcosA．又在△ABC中，sinB＞0，∴sinA＝cosA，即tanA＝.∵0＜A＜π，∴A＝.由于a＝4，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，得16＝b2＋c2－2bc·＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc，又bc≤2，∴(b＋c)2≤64，即b＋c≤8，∴a＋b＋c≤12.]9.如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD,2AB＝BD，BC＝2BD，则sinC的值为．\n [设AB＝a，∵AB＝AD,2AB＝BD，BC＝2BD，∴AD＝a，BD＝，BC＝.在△ABD中，cos∠ADB＝＝，∴sin∠ADB＝，∴sin∠BDC＝.在△BDC中，＝，∴sinC＝＝.]三、解答题10．(2020·福州模拟)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设bsinA＝a(2＋cosB)．(1)求B；(2)若△ABC的面积等于，求△ABC的周长的最小值．[解] (1)因为bsinA＝a(2＋cosB)．由正弦定理得sinBsinA＝sinA(2＋cosB)．显然sinA＞0，所以sinB－cosB＝2.所以2sin＝2，∵B∈(0，π)．所以B－＝，∴B＝.(2)依题意＝，∴ac＝4.所以a＋c≥2＝4，当且仅当a＝c＝2时取等号．又由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2＋ac≥3ac＝12.∴b≥2.当且仅当a＝c＝2时取等号．所以△ABC的周长最小值为4＋2.11.(2020·青岛模拟)如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥AD，AB＝1，AD＝，BC＝.\n(1)若CD＝1＋，求四边形ABCD的面积；(2)若sin∠BCD＝，∠ADC∈，求sin∠ADC．[解] (1)连接BD，在Rt△ABD中，由勾股定理可得，BD2＝AB2＋AD2＝4，故BD＝2，△BCD中，由余弦定理可得，cosC＝＝＝，因为C为三角形的内角，故C＝，所以S△ABD＝AB·AD＝×1×＝，S△BCD＝BC·CDsinC＝××(1＋)×＝，故求四边形ABCD的面积S＝＋.(2)在△BCD中，由正弦定理可得＝，所以sin∠BDC＝＝，因为∠ADC∈，所以∠BDC∈，cos∠BDC＝，Rt△ABD中，tan∠ADB＝＝，故∠ADB＝，所以sin∠ADC＝sin＝×＋×＝.1．(2020·南昌模拟)在△ABC中，角A的平分线交BC边于点D，AB＝4，AC＝6，AD＝3，则BC＝( )A．B．C．3D．8\nA [由角平分线性质可得，＝＝，故可设BD＝2x，CD＝3x，△ABD中，由余弦定理可得，cos∠ADB＝＝，△ACD中，由余弦定理可得，cos∠ADC＝＝＝，∵∠ADB＋∠ADC＝π，∴cos∠ADB＝－cos∠ADC，∴＝－，解可得x＝，BC＝5x＝，故选A．]2．(2020·朝阳区二模)圭表(如图①)是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿(称为“表”)和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺(称为“圭”)．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图②是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角(即∠ABC)为26.5°，夏至正午太阳高度角(即∠ADC)为73.5°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离(即DB的长)为a，则表高(即AC的长)为( )图①图②A．B．C．D．D [由题可知：∠BAD＝73.5°－26.5°＝47°，\n在△BAD中，由正弦定理可知：＝，即＝，则AD＝，又在△ACD中，＝sin∠ADC＝sin73.5°，所以AC＝，故选D．]3．(2020·凉山模拟)如图，在平面四边形ABCD中，∠D＝，sin∠BAC＝cosB＝，AB＝13.(1)求AC；(2)求四边形ABCD面积的最大值．[解] (1)在三角形ABC中，sin∠BAC＝cosB＝，可得AC⊥BC，AB＝13，所以BC＝AB·cosB＝13×＝5，AC＝AB·sinB＝13×＝12，所以AC＝12.(2)S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ADC＝AC·BC＋AD·CD·sinD＝×12×5＋×AD·CD＝30＋·AD·CD，在三角形ADC中，AC2＝AD2＋CD2－2AD·DC·cos≥2AD·DC＋DC＝3AD·DC，所以3AD·DC≤AC2＝122，所以AD·DC≤48，所以S四边形ABCD≤30＋·48＝30＋12.所以四边形ABCD面积的最大值为30＋12.1．(2020·泉州模拟)海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被誉为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上已知最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的海洋蓝洞的口径(即A，B两点间的距离)，现取两点C，D，测得CD＝80，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，则图中海洋蓝洞的口径为．\n80 [由已知得，在△ACD中，∠ACD＝15°，∠ADC＝150°，所以∠DAC＝15°，由正弦定理得AC＝＝＝40(＋)．在△BCD中，∠BDC＝15°，∠BCD＝135°，所以∠DBC＝30°，由正弦定理＝，得BC＝＝＝160sin15°＝40(－)．在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝1600×(8＋4)＋1600×(8－4)＋2×1600×(＋)×(－)×＝1600×16＋1600×4＝1600×20＝32000，解得AB＝80.故图中海洋蓝洞的口径为80.]2．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别在边AB，BC上，CD＝5，CE＝3，且△EDC的面积为3.(1)求边DE的长；(2)若AD＝3，求sinA的值．[解] (1)如图，在△ECD中，S△ECD＝CE·CDsin∠DCE＝×3×5×sin∠DCE＝3，所以sin∠DCE＝.因为0°＜∠DCE＜90°，所以cos∠DCE＝＝.\n所以DE2＝CE2＋CD2－2CD·CEcos∠DCE＝9＋25－2×3×5×＝28，所以DE＝2.(2)因为∠ACB＝90°，所以sin∠ACD＝sin(90°－∠DCE)＝cos∠DCE＝，在△ADC中，由正弦定理得＝，即＝，所以sinA＝.
