课后限时集训(二十七) 两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式建议用时：40分钟一、选择题1．sin160°sin10°－cos20°cos10°的值是( )A．B．－C．D．－D [sin160°sin10°－cos20°cos10°＝sin20°sin10°－cos20°cos10°＝－(cos20°cos10°－sin20°sin10°)＝－cos30°＝－，故选D．]2．若tan＝，则tanα＝( )A．3B．－3C．2D．－2C [tanα＝tan＝＝＝2，故选C．]3．已知sin＝，则cos的值是( )A．B．－C．D．－B [∵cos＝1－2sin2＝1－2×＝，∴cos＝cos＝－cos＝－，故选B．]4．已知α满足sinα＝，则coscos＝( )A．B．C．－D．－\nA [coscos＝cos·cos＝sincos＝sin＝cos2α＝(1－2sin2α)＝＝，故选A．]5．若α∈(0，π)，且sinα＋2cosα＝2，则tan＝( )A．B．C．D．A [由二倍角公式，得sinα＋2cosα＝2sincos＋2＝2，化简可得2sincos＝4sin2，∵α∈(0，π)，∴∈，∴sin≠0，∴cos＝2sin，∴tan＝.]6．已知tan＝－2，则＝( )A．2B．C．－2D．－D [∵tanα＝tan＝＝＝3，∴＝＝＝＝＝－，故选D．]二、填空题7．已知sin＝，α∈，则cos的值为．－ [由已知得cosα＝，sinα＝－，所以cos＝cosα＋sinα＝－.]8．已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则＝.5 [因为sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，所以sinαcosβ＋cosαsinβ＝，sinαcosβ－cosαsinβ＝，所以sinαcosβ＝，cosαsinβ＝，所以＝＝5.]\n9．化简：＝.－1 [＝＝＝－1.]三、解答题10．(2020·杭州中学月考)已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边在直线y＝2x上．(1)求cos2α的值；(2)已知α∈，sin＝，－<β<0，求sin(α－2β)的值．[解] (1)由题意得，tanα＝2，∴cos2α＝＝＝＝－.(2)由且α∈，解得sinα＝，cosα＝.又sin＝，β＋∈，∴cos＝.∴cosβ＝cos＝coscos＋sinsin＝×＋×＝，则cos2β＝2cos2β－1＝2×－1＝，sin2β＝－＝－.∴sin(α－2β)＝sinαcos2β－cosαsin2β＝×－×＝.11．已知α，β均为锐角，且sinα＝，tan(α－β)＝－.\n(1)求sin(α－β)的值；(2)求cosβ的值．[解] (1)∵α，β∈，∴－＜α－β＜.又∵tan(α－β)＝－＜0，∴－＜α－β＜0.∴sin(α－β)＝－.(2)由(1)可得，cos(α－β)＝.∵α为锐角，且sinα＝，∴cosα＝.∴cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝×＋×＝.1．(2020·杭州模拟)如图，点A，B在圆O上，且点A位于第一象限，圆O与x正半轴的交点是C，点B的坐标为，∠AOC＝α.若|AB|＝1，则sinα＝( )A．B．C．D．B [∵A，B在圆O上，且点A位于第一象限，圆O与x正半轴的交点是C，点B的坐标为，由＋＝1知圆O的半径为1，∵∠AOC＝α，|AB|＝1，故△AOB为等边三角形，∠BOC＝60°－α，cos∠BOC＝cos(60°－α)＝，sin∠BOC＝sin(60°－α)＝.则sinα＝sin[60°－(60°－α)]＝sin60°cos(60°－α)－cos60°sin(60°－α)＝×－×＝\n，故选B．]2．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割约为0.618，这一数值也可以表示为m＝2sin18°，若m2＋n＝4，则＝( )A．8B．4C．2D．1C [因为m＝2sin18°，m2＋n＝4，所以n＝4－m2＝4－4sin218°＝4cos218°.所以＝＝＝＝＝2.故选C．]3．已知α∈，β∈，cos＝，cos＝.(1)求sin2α的值；(2)求cos(α＋β)的值．[解] (1)由cos＝，可得sin2α＝－cos2＝1－2cos2＝1－2×＝.(2)由α∈，β∈，可得α＋∈，β－∈，则sin＝＝＝；sin＝－＝－＝－，∴cos(α＋β)＝cos＝cos·cos－sinsin＝×－×＝.
