椭圆[考试要求] 1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.理解数形结合思想.4.了解椭圆的简单应用．1．椭圆的定义(1)平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．(2)集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.①当2a>|F1F2|时，M点的轨迹为椭圆；②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹为线段F1F2；③当2a<|F1F2|时，M点的轨迹不存在．2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程＋＝1(a>b>0)＋＝1(a>b>0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)离心率e＝，且e∈(0,1)a，b，c的关系c2＝a2－b2\n1．点P(x0，y0)和椭圆的位置关系(1)点P(x0，y0)在椭圆内⇔＋＜1.(2)点P(x0，y0)在椭圆上⇔＋＝1.(3)点P(x0，y0)在椭圆外⇔＋＞1.2．焦点三角形如图，椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．设r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a＞b＞0)中：(1)当r1＝r2，即点P的位置为短轴端点时，θ最大；(2)S＝b2tan＝c|y0|，当|y0|＝b，即点P的位置为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.(3)a－c≤|PF1|≤a＋c.(4)|PF1|＝a＋ex0，|PF2|＝a－ex0.(5)当PF2⊥x轴时，点P的坐标为.(6)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cosθ.3．椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边长，a2＝b2＋c2.4．已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a.5．椭圆中点弦的斜率公式若M(x0，y0)是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的弦AB(AB不平行y轴)的中点，则有kAB·kOM＝－，即kAB＝－.6．弦长公式：直线与圆锥曲线相交所得的弦长|AB|＝|x1－x2|＝＝|y1－y2|＝(k为直线的斜率)．\n一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( )(2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)．( )(3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．( )(4)关于x，y的方程mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)表示的曲线是椭圆．( )[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√二、教材习题衍生1．设P是椭圆＋＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于( )A．4 B．5 C．8 D．10D [依椭圆的定义知：|PF1|＋|PF2|＝2×5＝10.]2．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则椭圆C的方程是( )A．＋＝1B．＋＝1C．＋＝1D．＋＝1D [设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．因为椭圆的一个焦点为F(1,0)，离心率e＝，所以解得故椭圆C的标准方程为＋＝1.]3．若方程＋＝1表示椭圆，则k的取值范围是．(3,4)∪(4,5) [由已知得解得3＜k＜5且k≠4.]4．已知点P是椭圆＋＝1上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为．或 [设P(xP，yP)，xP＞0，由题意知|F1F2|＝2.则S＝×|F1F2|×|yP|＝1，解得|yP|＝1.\n代入椭圆的方程，得＋＝1，解得xP＝，因此点P的坐标为或.]第1课时 椭圆及其性质考点一 椭圆的定义及其应用 椭圆定义的应用类型及方法(1)探求轨迹：确认平面内与两定点有关的轨迹是不是椭圆．(2)应用定义转化：涉及焦半径的问题，常利用|PF1|＋|PF2|＝2a实现等量转换．(3)焦点三角形问题：常把正、余弦定理同椭圆定义相结合，求焦点、三角形的面积等问题．[典例1] (1)已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为( )A．－＝1B．＋＝1C．－＝1D．＋＝1(2)如图，椭圆＋＝1(a＞2)的左、右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆上的一点，若∠F1PF2＝60°，那么△PF1F2的面积为( )A．B．C．D．(3)设F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上任意一点，点M的坐标为(6,4)，则|PM|－|PF1|的最小值为．(1)D (2)D (3)－5 [(1)设圆M的半径为r，则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16>8＝|C1C2|，所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且2a＝16,2c＝8，故所求的轨迹方程为＋\n＝1.(2)由题意知|PF1|＋|PF2|＝2a，|F1F2|2＝4a2－16，由余弦定理得4a2－16＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos60°，即4a2－16＝(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1||PF2|，∴|PF1||PF2|＝，∴S＝|PF1||PF2|sin60°＝，故选D．(3)由题意知，点M在椭圆外部，且|PF1|＋|PF2|＝10，则|PM|－|PF1|＝|PM|－(10－|PF2|)＝|PM|＋|PF2|－10≥|F2M|－10(当且仅当点P，M，F2三点共线时等号成立)．又F2(3,0)，则|F2M|＝＝5.∴|PM|－|PF1|≥－5，即|PM|－|PF1|的最小值为－5.]点评：解答本例T(3)的关键是差式(|PM|－|PF1|)转化为和式(|PM|＋|PF2|－10)．而转化的依据为|PF1|＋|PF2|＝2a.1．已知A(－1,0)，B是圆F：x2－2x＋y2－11＝0(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为( )A．＋＝1B．－＝1C．－＝1D．＋＝1D [由题意得|PA|＝|PB|，∴|PA|＋|PF|＝|PB|＋|PF|＝r＝2＞|AF|＝2，∴点P的轨迹是以A，F为焦点的椭圆，且a＝，c＝1，∴b＝，∴动点P的轨迹方程为＋＝1，故选D．]2．已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且PF1⊥PF2，若△PF1F2的面积为9，则b＝.3 [法一：设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则所以2r1r2＝(r1＋r2)2－(r＋r)＝4a2－4c2＝4b2，所以S△PF1F2＝r1r2＝b2＝9，所以b＝3.法二：∵PF1⊥PF2，∴∠F1PF2＝90°，\n∴S＝b2tan45°＝9，∴b2＝9，∴b＝3.]考点二 求椭圆的标准方程 待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤[典例2] (1)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，(，)，则椭圆方程为．(2)过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为．(3)已知中心在坐标原点的椭圆过点A(－3,0)，且离心率e＝，则椭圆的标准方程为．(1)＋＝1 (2)＋＝1 (3)＋＝1或＋＝1 [(1)设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m，n＞0，m≠n)．由解得m＝，n＝.∴椭圆方程为＋＝1.(2)法一：椭圆＋＝1的焦点为(0，－4)，(0,4)，即c＝4.由椭圆的定义知，2a＝＋，解得a＝2.由c2＝a2－b2可得b2＝4，∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.\n法二：∵所求椭圆与椭圆＋＝1的焦点相同，∴其焦点在y轴上，且c2＝25－9＝16.设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．∵c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16.①又点(，－)在所求椭圆上，∴＋＝1，则＋＝1.②由①②得b2＝4，a2＝20，∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.(3)若焦点在x轴上，由题知a＝3，因为椭圆的离心率e＝，所以c＝，b＝2，所以椭圆方程是＋＝1.若焦点在y轴上，则b＝3，a2－c2＝9，又离心率e＝＝，解得a2＝，所以椭圆方程是＋＝1.综上，椭圆的方程为＋＝1或＋＝1.]点评：利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后根据条件建立关于a，b的方程组．如果焦点位置不确定，那么可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)．1．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点，若△AF1B的周长为12，则椭圆C的标准方程为( )A．＋y2＝1B．＋＝1C．＋＝1D．＋＝1D [由椭圆的定义，知|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，所以△AF1B的周长为|AF1\n|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝12，所以a＝3.因为椭圆的离心率e＝＝，所以c＝2，所以b2＝a2－c2＝5，所以椭圆C的方程为＋＝1，故选D．]2．(2020·通州模拟)设椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点是同一个正三角形的顶点，焦点与椭圆上的点的最短距离为，则这个椭圆的方程为，离心率为．＋＝1或＋＝1 [焦点与椭圆的最短距离为a－c＝，a＝2c，∴c＝，a＝2，b＝3，∴椭圆方程为＋＝1或＋＝1.离心率e＝＝.]考点三 椭圆的几何性质 1.求椭圆离心率或其范围的方法解题的关键是借助图形建立关于a，b，c的关系式(等式或不等式)，转化为e的关系式，常用方法如下：(1)直接求出a，c，利用离心率公式e＝求解．(2)由a与b的关系求离心率，利用变形公式e＝求解．(3)构造a，c的齐次式．离心率e的求解中可以不求出a，c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e.2．利用椭圆几何性质求值或范围的思路(1)将所求问题用椭圆上点的坐标表示，利用坐标范围构造函数或不等关系．(2)将所求范围用a，b，c表示，利用a，b，c自身的范围、关系求解． 椭圆中的基本量a，b，c[典例3－1] 嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射.12日下午4点43分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道③所示，其近月点与月球表面距离为100公里，远月点与月球表面距离为400公里，已知月球的直径约为3476公里，对该椭圆有四个结论：\n①焦距长约为300公里 ②长轴长约为3988公里 ③两焦点坐标约为(±150,0) ④离心率约为则上述结论正确的是( )A．①②④B．①③④C．①④D．②③④C [设该椭圆的半长轴长为a，半焦距长为c.依题意可得月球半径约为×3476＝1738，a－c＝100＋1738＝1838，a＋c＝400＋1738＝2138，2a＝1838＋2138＝3976，a＝1988，c＝2138－1988＝150，椭圆的离心率约为e＝＝＝，可得结论①④正确，②错误；因为没有给坐标系，焦点坐标不确定，所以③错误．故选C．]点评：探求椭圆的长轴、短轴、焦距等问题，只要抓住题设中的信息，直译解方程即可． 离心率[典例3－2] (1)(2018·全国卷Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点．若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为( )A．1－B．2－C．D．－1(2)已知F1，F2是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P，使∠F1PF2＝90°，则椭圆的离心率的取值范围是．(1)D (2) [(1)由题设知∠F1PF2＝90°，∠PF2F1＝60°，|F1F2|＝2c，所以|PF2|＝c，|PF1|＝c.由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝2a，即c＋c＝2a，所以(＋1)c＝2a，故椭圆C的离心率e＝＝＝－1.故选D．(2)若存在点P，则圆x2＋y2＝c2与椭圆有公共点，则∠F1BF2≥90°(B为短轴端点)，即b≤c＜a，即b2≤c2，∴a2－c2≤c2，∴a2≤2c2，\n∴≤e＜1.]点评：与几何图形有关的离心率问题，常借助勾股定理、正(余)弦定理求解；对于(2)这种探索性问题常采用临界点法求解． 与椭圆有关的最值(范围问题)[典例3－3] (1)(2017·全国卷Ⅰ)设A，B是椭圆C：＋＝1长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是( )A．(0,1]∪[9，＋∞)B．(0，]∪[9，＋∞)C．(0,1]∪[4，＋∞)D．(0，]∪[4，＋∞)(2)若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，若P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为( )A．2B．3C．6D．8(1)A (2)C [(1)由题意知，当M在短轴顶点时，∠AMB最大．①如图1，当焦点在x轴，即m＜3时，a＝，b＝，tanα＝≥tan60°＝，∴0＜m≤1.图1 图2②如图2，当焦点在y轴，即m＞3时，a＝，b＝，tanα＝≥tan60°＝，∴m≥9.综上，m的取值范围(0,1]∪[9，＋∞)，故选A．(2)由题意知，O(0,0)，F(－1,0)，设P(x，y)，则＝(x，y)，＝(x＋1，y)，∴·＝x(x＋1)＋y2＝x2＋y2＋x.又∵＋＝1，∴y2＝3－x2，∴·＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2.∵－2≤x≤2，∴当x＝2时，·有最大值6.]点评：\n本例(1)的求解恰恰应用了焦点三角形中张角最大的情形，借助该临界点，然后数形结合求解；本例(2)的求解采用了先建模，再借助椭圆中变量x的有界性解模的思路．1．已知椭圆＋＝1的长轴在x轴上，焦距为4，则m等于( )A．8B．7C．6D．5A [因为椭圆＋＝1的长轴在x轴上，所以解得6<m<10.因为焦距为4，所以c2＝m－2－10＋m＝4，解得m＝8.]2．(2020·攀枝花模拟)如图，椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过椭圆上的点P作y轴的垂线，垂足为Q，若四边形F1F2PQ为菱形，则该椭圆的离心率为( )A．B．C．－1D．－1B [由题意，F1(－c,0)，F2(c,0)，因为四边形F1F2PQ为菱形，所以P(2c，c)，将点P坐标代入＋＝1可得：＋＝1，整理得4c4－8a2c2＋a4＝0，所以4e4－8e2＋1＝0，因0＜e＜1，故e＝.]
