6.4数系的扩充与复数的引入第六章2022高中总复习优化设计GAOZHONGZONGFUXIYOUHUASHEJI\n课标要求1.通过方程的解,认识复数.2.理解复数的代数表示及其几何意义,理解两个复数相等的含义.3.掌握复数代数表示的四则运算,了解复数加、减运算的几何意义.4.通过复数的几何意义,了解复数的三角表示,了解复数的代数表示与三角表示之间的关系,了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义.备考指导复数是数学高考的重要考点,每年必考.题目难度较小,一般为选择题或填空题的前1~2个小题,主要考查复数的代数运算、复数的相关概念、几何意义等.熟练并准确地进行代数运算是关键.同时要认真审题,看清楚题目的最终要求,避免低级失误.\n内容索引010203第一环节 必备知识落实第二环节 关键能力形成第三环节 学科素养提升\n第一环节 必备知识落实\n【知识筛查】1.复数的有关概念(1)定义:形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,其中i叫做虚数单位.复数通常用字母z表示,即z=a+bi(a,b∈R),这一表示形式叫做复数的代数形式,其中a叫做复数z的实部,b叫做复数z的虚部.(2)全体复数所构成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫做复数集.(3)复数相等a+bi与c+di(a,b,c,d∈R)相等当且仅当a=c且b=d.即两个复数相等的充要条件是它们的实部和虚部分别相等.特别地,a,b∈R,a+bi=0⇒a=0,b=0.\n\n2.复数的分类对于复数z=a+bi(a,b∈R),当且仅当b=0时,它是实数;当且仅当a=b=0时,它是实数0;当b≠0时,它叫做虚数;当a=0,且b≠0时,它叫做纯虚数.可以通过下图表示:(2)集合表示\n3.复数的几何意义(1)复平面点Z的横坐标是a,纵坐标是b,复数z=a+bi可用点Z(a,b)表示.这个建立了平面直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴.显然,实轴上的点都表示实数;除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数.(2)复数的几何意义\n4.复数加、减法的运算法则及加法运算律(1)加、减法的运算法则设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数,则z1+z2=(a+c)+(b+d)I,z1-z2=(a-c)+(b-d)I.(2)加法运算律对任意z1,z2,z3∈C,有①交换律:z1+z2=z2+z1;②结合律:(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).\n\n温馨提示1.|z-z0|表示复数z和z0所对应的点的距离,当|z-z0|=r(r>0)时,复数z对应的点的轨迹是以z0对应的点为圆心,半径为r的圆.2.若|z-z1|=|z-z2|,则复数z对应的点在以Z1(a,b)和Z2(c,d)为端点的线段的垂直平分线上.\n6.复数的乘、除运算(1)复数乘法的运算法则和运算律①复数乘法的运算法则设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则z1·z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i.②复数乘法的运算律对任意复数z1,z2,z3∈C,有\n(2)复数除法的运算法则设z1=a+bi,z2=c+di(c+di≠0)(a,b,c,d∈R),温馨提示对复数除法的两点说明(1)实数化:分子、分母同时乘分母的共轭复数,化简后即得结果,这个过程实际上就是把分母实数化,这与根式除法的分母“有理化”很类似.(2)代数式:注意最后结果要将实部、虚部分开.\n7.复数的三角表示式(选学)(1)定义:r(cosθ+isinθ)叫做复数z=a+bi的三角表示式,简称三角形式.其中,r是复数z的模;θ是以x轴的非负半轴为始边,向量所在射线(射线OZ)为终边的角,叫做复数z=a+bi的辐角.为了与三角形式区分开来,a+bi叫做复数的代数表示式,简称代数形式.(2)非零复数z辐角θ的多值性以x轴非负半轴为始边,向量所在的射线为终边的角θ叫复数z=a+bi的辐角,因此复数z的辐角是θ+2kπ(k∈Z).\n(3)辐角的主值①定义及表示:在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值,通常记作argz,即0≤argz<2π.②唯一性:复数z的辐角的主值是确定唯一的.特别注意:当z=0时,其辐角是任意的.(4)复数的代数形式与三角形式的互化复数z=a+bi=r(cosθ+isinθ)的两种表示形式之间的关系为\n8.复数乘、除运算的三角表示及其几何意义(选学)(1)复数三角形式的乘法①定义:设z1,z2的三角形式分别是z1=r1(cosθ1+isinθ1),z2=r2(cosθ2+isinθ2),则z1z2=r1(cosθ1+isinθ1)·r2(cosθ2+isinθ2)=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)].这就是说,两个复数相乘,积的模等于各复数的模的积,积的辐角等于各复数的辐角的和.记忆:模数相乘,辐角相加.\n\n1.在复平面内,z1,z2对应的点为A,B,z1+z2对应的点为C,O为坐标原点,(1)四边形OACB为平行四边形;(2)若|z1+z2|=|z1-z2|,则四边形OACB为矩形;(3)若|z1|=|z2|,则四边形OACB为菱形;(4)若|z1|=|z2|,且|z1+z2|=|z1-z2|,则四边形OACB为正方形.2.复数模的两个重要性质(1)||z1|-|z2||≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|;(2)|z1+z2|2+|z1-z2|2=2|z1|2+2|z2|2.3.in(n∈N*)的性质当n∈N*时,i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i.\n【知识巩固】1.下列说法正确的画“√”,错误的画“×”.(1)若a∈C,则a2≥0.()(2)已知z=a+bi(a,b∈R),当a=0时,复数z为纯虚数.()(3)复数z=a+bi(a,b∈R)的虚部为bi.()(4)方程x2+x+1=0没有解.()(5)由于复数包含实数,在实数范围内两个数能比较大小,因此在复数范围内两个数也能比较大小.()×××××\nD3.设z=-3+2i,则在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限CC\n5.(2020江苏,2)已知i是虚数单位,则复数z=(1+i)·(2-i)的实部是.3∵复数z=(1+i)(2-i),∴z=2-i+2i-i2=3+i,∴复数的实部为3.\n第二环节 关键能力形成\n能力形成点1复数的代数运算3-2i2解题心得利用复数的四则运算求复数的一般方法:(1)复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式的运算.(2)复数的除法运算主要是利用分子、分母同乘分母的共轭复数进行运算化简.\n对点训练1(1)已知a,b∈R,i是虚数单位,若a+i=2-bi,则(a+bi)2=()A.3-4iB.3+4iC.4-3iD.4+3iA∵a+i=2-bi,∴a+bi=2-i,即(a+bi)2=(2-i)2=4-4i-1=3-4i.(2)已知(i为虚数单位),则复数z=()A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i(3)设复数z满足(z-2i)(2-i)=5,则z=()A.2+3iB.2-3iC.3+2iD.3-2iDA\n能力形成点2复数的有关概念例2(1)(2020全国Ⅰ,理1)若z=1+i,则|z2-2z|=()A.0B.1C.D.2D由z=1+i,得z2=2i,2z=2+2i,故|z2-2z|=|2i-(2+2i)|=2.(2)下面是关于复数的四个结论:p1:|z|=2;p2:z2=2i;p3:z的共轭复数为1+i;p4:z的虚部为-1.其中正确的是()A.p2,p3B.p1,p2C.p2,p4D.p3,p4C\n(3)已知复数z=(1+2i)(3-i),其中i为虚数单位,则z的实部是.5因为z=(1+2i)(3-i)=5+5i,所以z的实部是5.解题心得求解与复数概念相关问题的基本思路:复数的分类、复数的相等、复数的模、共轭复数以及求复数的实部、虚部都与复数的实部与虚部有关,所以解答与复数相关概念的问题时,需先把所给复数化为代数形式,即a+bi(a,b∈R)的形式,再根据题意求解.\n对点训练2(1)若复数z满足(3-4i)z=|4+3i|,则z的虚部为()(2)复数的共轭复数是()A.2+iB.2-IC.-1+iD.-1-iDD\n能力形成点3复数的几何意义例3(1)设i是虚数单位,则复数在复平面内所对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限B由复数的除法运算法则,可得对应点为(-1,1)在第二象限内.故选B.(2)设复数z1,z2在复平面内的对应点关于虚轴对称,z1=2+i,则z1z2=()A.-5B.5C.-4+iD.-4-iA由题意知z2=-2+i.因为z1=2+i,所以z1z2=(2+i)(-2+i)=i2-4=-5.故选A.\n2.由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系,因此可把复数、向量与解析几何联系在一起,解题时可运用数形结合的方法,使问题的解决更加直观.\n对点训练3(1)已知zi=2-i,则复数z在复平面内对应点的坐标是()A.(-1,-2)B.(-1,2)C.(1,-2)D.(1,2)(2)已知z=(m+3)+(m-1)i在复平面内对应的点在第四象限,则实数m的取值范围是()A.(-3,1)B.(-1,3)C.(1,+∞)D.(-∞,-3)AA\n第三环节 学科素养提升\n复数选学部分能力形成点展示能力形成点1复数的三角形式与代数形式的互化\n解题心得1.复数的代数形式化为三角形式的一般步骤:(3)根据公式写出复数的三角形式.2.将复数的三角形式化为代数形式:由z=r(cosθ+isinθ)=rcosθ+irsinθ,可得a=rcosθ,b=rsinθ.\n能力形成点2复数的模与辐角的主值典例2求复数z=1+cosθ+isinθ(π<θ<2π)的模的取值范围与辐角的主值.\n解题心得式子中多了个“1”,只有将“1”消去,才能更接近三角形式,因此可利用三角公式消去“1”.\n能力形成点3复数三角形式的乘、除运算及几何意义\n\n解题心得1.利用复数的三角形式进行复数的乘、除法运算时,若复数为三角形式,则直接用乘、除法法则进行计算;若其中一个为代数形式,则可先化为三角形式再进行运算.
