函数模型及其应用[考试要求] 1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．1．常见的7种函数模型(1)正比例函数模型：f(x)＝kx(k为常数，k≠0)；(2)反比例函数模型：f(x)＝(k为常数，k≠0)；(3)一次函数模型：f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)；(4)二次函数模型：f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)；(5)指数函数模型：f(x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a≠0，b＞0，b≠1)；(6)对数函数模型：f(x)＝mlogax＋n(m，n，a为常数，m≠0，a＞0，a≠1)；(7)幂函数模型：f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠1)．提醒：“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长量越来越小．2．三种函数模型的性质 函数性质 y＝ax(a＞1)y＝logax(a＞1)y＝xn(n＞0)在(0，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大，逐渐表现为与y轴平行随x的增大，逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当x＞x0时，有logax＜xn＜ax\n形如f(x)＝x＋(a＞0)的函数模型称为“对勾”函数模型：(1)该函数在(－∞，－]和[，＋∞)内单调递增，在[－，0)和(0，]上单调递减．(2)当x＞0时，x＝时取最小值2，当x＜0时，x＝－时取最大值－2.一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．( )(2)不存在x0，使ax0＜x＜logax0.( )(3)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax(a＞1)的增长速度会超过并远远大于y＝xa(a＞1)的增长速度．( )(4)“指数爆炸”是指数型函数y＝a·bx＋c(a≠0，b＞0，且b≠1)增长速度越来越快的形象比喻．( )(5)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利．( )[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×二、教材习题衍生1．在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据如表所示：x0.500.992.013.98y－0.990.010.982.00则对x，y最适合的拟合函数是( )A．y＝2xB．y＝x2－1C．y＝2x－2D．y＝log2xD [在直角坐标系中，描点连线画出图象(图略)，观察图象知选D．]2．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中错误的是( )\n(注：结余＝收入－支出)A．收入最高值与收入最低值的比是3∶1B．结余最高的月份是7月C．1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D．前6个月的平均收入为40万元D [由题图可知，收入最高值为90万元，收入最低值为30万元，其比是3∶1，故A正确；由题图可知，7月份的结余最高，为80－20＝60(万元)，故B正确；由题图可知，1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同，故C正确；由题图可知，前6个月的平均收入为×(40＋60＋30＋30＋50＋60)＝45(万元)，故D错误．]3．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝x2＋2x＋20(万元)．一万件售价为20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为________万件．18 [利润L(x)＝20x－C(x)＝－(x－18)2＋142，当x＝18时，L(x)有最大值．]4．某城市客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过100km，票价是0.5元/km；如果超过100km，超过100km的部分按0.4元/km定价．则客运票价y(元)与行程数x(km)之间的函数关系式是________．y＝ [由题意可得y＝]考点一 用函数图象刻画变化过程 1．(2020·新高考全国卷Ⅱ改编)我国新冠肺炎疫情防控进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11天复工复产指数折线图，下列说法正确的是( )\n①这11天复工指数和复产指数均逐日增加；②这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量；③第3天至第11天复工复产指数均超过80%；④第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量．A．①③④B．②③④C．③④D．①④C [对于①，由折线图知这11天的复工复产指数有增有减，故①错．对于②，由第1天和第11天复工和复产指数位置可知，复产指数的增量小于复工指数的增量，故②错．对于③，由折线图知，第3天至第11天复工、复产指数均超过80%，故③正确．对于④，由折线图知，第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量，故④正确．]2．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是( )A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油D [根据图象知消耗1升汽油，乙车最多行驶里程大于5千米，故选项A错；以相同速度行驶时，甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少，故选项B错；甲车以80千米/小时的速度行驶时燃油效率为10千米/升，行驶1小时，里程为80千米，消耗8升汽油，故选项C错；最高限速80千米/小时，丙车的燃油效率比乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，故选项D对．]3.如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，若P处有一棵树与两墙的距离分别是\n4m和am(0＜a＜12)．不考虑树的粗细，现用16m长的篱笆，借助墙角围成一个矩形花圃ABCD，设此矩形花圃的最大面积为u，若将这棵树围在矩形花圃内，则函数u＝f(a)(单位：m2)的图象大致是( )A B C DB [设AD的长为xm，则CD的长为(16－x)m，则矩形ABCD的面积为x(16－x)m2.因为要将点P围在矩形ABCD内，所以a≤x≤12.当0＜a≤8时，当且仅当x＝8时，u＝64；当8＜a＜12时，u＝a(16－a)．画出函数图象可得其形状与B选项接近，故选B．]点评：明确横纵坐标所表示的量，正确理解所给的图象是解题的关键．考点二 已知函数模型解决实际问题 已知函数模型解决实际问题的关注点(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．(3)利用该模型求解实际问题．[典例1] (1)(2020·新高考全国卷Ⅰ)基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)＝ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0＝1＋rT.有学者基于已有数据估计出R0＝3.28，T＝6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)( )A．1.2天B．1.8天C．2.5天D．3.5天(2)某市家庭煤气的使用量x(m3)和煤气费f(x)(元)满足关系f(x)＝已知某家庭2020年前三个月的煤气费如下表：月份用气量煤气费一月份4m34元二月份25m314元三月份35m319元若四月份该家庭使用了20m3的煤气，则其煤气费为( )A．11.5元B．11元\nC．10.5元D．10元(1)B (2)A [(1)∵R0＝1＋rT，∴3.28＝1＋6r，∴r＝0.38.若则e＝2,0.38(t2－t1)＝ln2≈0.69，t2－t1≈1.8，选B．(2)根据题意可知f(4)＝C＝4，f(25)＝C＋B(25－A)＝14，f(35)＝C＋B(35－A)＝19，解得A＝5，B＝，C＝4，所以f(x)＝所以f(20)＝4＋(20－5)＝11.5，故选A．]1．某工厂生产某种产品固定成本为2000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元．又知总收入K(单位：万元)是单位产品数Q的函数，K(Q)＝40Q－Q2，则总利润L(Q)的最大值是________万元．2500 [由已知得L(Q)＝K(Q)－10Q－2000＝－10Q－2000＝－(Q－300)2＋2500，所以当Q＝300时，L(Q)max＝2500(万元)．]2．一个容器装有细沙acm3，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，tmin后剩余的细沙量为y＝ae－bt(cm3)，经过8min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min，容器中的沙子只有开始时的八分之一．16 [当t＝0时，y＝a，当t＝8时，y＝ae－8b＝a，∴e－8b＝，容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y＝ae－bt＝a，e－bt＝＝(e－8b)3＝e－24b，则t＝24，所以再经过16min.]考点三 构建函数模型解决实际问题 构建函数模型解决实际问题的步骤 构建一次函数、二次函数模型[典例2－1] 某自来水厂的蓄水池存有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水60吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，t小时内供水总量为120吨(0≤t≤24)．(1)从供水开始到第几小时时，蓄水池中的存水量最少？最少存水量是多少吨？(2)若蓄水池中水量少于80吨时，就会出现供水紧张现象，请问：在一天的24小时内，有几小时出现供水紧张现象．\n[解] (1)设t小时后蓄水池中的存水量为y吨，则y＝400＋60t－120，令＝x，则x2＝6t，即t＝，所以y＝400＋10x2－120x＝10(x－6)2＋40，所以当x＝6，即t＝6时，ymin＝40，即从供水开始到第6小时时，蓄水池中的存水量最少，最少存水量是40吨．(2)由(1)及题意得400＋10x2－120x＜80，即x2－12x＋32＜0，解得4＜x＜8，即4＜＜8，＜t＜.因为－＝8，所以每天约有8小时出现供水紧张现象．点评：二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性等解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错． 构建指数函数、对数函数模型[典例2－2] (1)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2016年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )(参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)A．2018年B．2019年C．2020年D．2021年(2)世界人口在过去40年翻了一番，则每年人口平均增长率约是(参考数据：lg2≈0.3010,100.0075≈1.017)( )A．1.5%B．1.6%C．1.7%D．1.8%(1)C (2)C [(1)设第n(n∈N*)年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元．根据题意得130(1＋12%)n－1＞200，即1.12n－1＞，两边取常用对数得n－1＞，解得n＞，又n∈N*，∴n≥5，因此该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2020年，故选C．(2)设每年人口平均增长率为x，则(1＋x)40＝2，两边取以10为底的对数，则40lg(1＋x)＝lg2，所以lg(1＋x)＝≈0.0075，所以100.0075＝1＋x，得1＋x≈1.017，所以x≈1.7%.故选C．]\n 构建y＝x＋(a＞0)函数模型[典例2－3] 某养殖场需定期购买饲料，已知该养殖场每天需要饲料200千克，每千克饲料的价格为1.8元，饲料的保管费与其他费用平均每千克每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元．求该养殖场多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少．[解] 设该养殖场x(x∈N*)天购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y元．因为饲料的保管费与其他费用每天比前一天少200×0.03＝6(元)，所以x天饲料的保管费与其他费用共是6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6＝(3x2－3x)(元)．从而有y＝(3x2－3x＋300)＋200×1.8＝＋3x＋357≥2＋357＝417，当且仅当＝3x，即x＝10时，y有最小值．故该养殖场10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少．点评：利用模型f(x)＝ax＋求解最值时，要注意自变量的取值范围及取得最值时等号成立的条件． 构建分段函数模型[典例2－4] “活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明，“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v(单位：千克/年)是养殖密度x(单位：尾/立方米)的函数．当x≤4时，v的值为2千克/年；当4＜x≤20时，v是x的一次函数；当x≥20时，因缺氧等原因，v的值为0千克/年．(1)当0＜x≤20时，求函数v关于x的函数解析式；(2)当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)可以达到最大？求出最大值．[解] (1)由题意得当0＜x≤4时，v＝2；当4＜x≤20时，设v＝ax＋b(a≠0)，由已知得解得所以v＝－x＋.故函数v＝(2)设年生长量为f(x)千克/立方米，依题意并由(1)可得f(x)＝当0＜x≤4时，f(x)为增函数，故f(x)max＝f(4)＝4×2＝8；\n当4＜x≤20时，f(x)＝－x2＋x＝－(x－10)2＋，f(x)max＝f(10)＝12.5.所以当0＜x≤20时，f(x)的最大值为12.5.即当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米．点评：求分段函数的最值时，应先求出每一段上的最值，然后比较大小求出分段函数的最值．1.(2020·南昌模拟)某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为60°(如图)，考虑防洪堤的坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为9平方米，且高度不低于米．记防洪堤横断面的腰长为x米，外周长(梯形的上底线段BC与两腰长的和)为y米．要使防洪堤的上面与两侧面的水泥用料最省(横断面的外周长最小)，则防洪堤的腰长x＝________.2 [由题意可得9＝·x，得BC＝－，∴y＝＋≥2＝6，当且仅当＝(2≤x＜6)，即x＝2时等号成立．]2．某景区提供自行车出租，该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x(元)只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y(元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分)．(1)求函数y＝f(x)的解析式；(2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？[解] (1)当x≤6时，y＝50x－115，令50x－115＞0，解得x＞2.3，∵x为正整数，∴3≤x≤6，x∈N*.当x＞6时，y＝[50－3(x－6)]x－115＝－3x2＋68x－115.令－3x2＋68x－115＞0，有3x2－68x＋115＜0，结合x为整数得6＜x≤20，x∈N*.∴y＝(2)对于y＝50x－115(3≤x≤6，x∈N*)，\n显然当x＝6时，ymax＝185；对于y＝－3x2＋68x－115＝－3＋(6＜x≤20，x∈N*)，当x＝11时，ymax＝270.∵270＞185，∴当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多．
