函数性质的综合问题考点一 函数的奇偶性与单调性函数的单调性与奇偶性的综合问题解题思路(1)解决比较大小、最值问题应充分利用奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性．(2)解决不等式问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成f(x1)＞f(x2)或f(x1)＜f(x2)的形式，再根据函数的奇偶性与单调性，列出不等式(组)，要注意函数定义域对参数的影响．[典例1] (1)(2019·全国卷Ⅲ)设f(x)是定义域为R的偶函数，且在(0，＋∞)单调递减，则( )(2)函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数．若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是( )A．[－2,2] B．[－1,1]C．[0,4]D．[1,3](1)C (2)D [(1)∵f(x)是定义域为R的偶函数，∴f(－x)＝f(x)．∴f＝f(－log34)＝f(log34)．又∵log34＞log33＝1，且1＞2＞2＞0，∴log34＞2＞2＞0.\n∵f(x)在(0，＋∞)上单调递减，∴f(2)＞f(2)＞f(log34)＝f.故选C．(2)∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．∵f(1)＝－1，∴f(－1)＝－f(1)＝1.故由－1≤f(x－2)≤1，得f(1)≤f(x－2)≤f(－1)．又f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，∴－1≤x－2≤1，∴1≤x≤3.故选D．]点评：解答此类题目时，奇偶性的作用是把不在同一单调区间的自变量转化到同一单调区间上．1．函数y＝f(x)在[0,2]上单调递增，且函数f(x＋2)是偶函数，则下列结论成立的是( )A．f(1)＜f＜fB．f＜f(1)＜fC．f＜f＜f(1)D．f＜f(1)＜fB [∵函数y＝f(x)在[0,2]上单调递增，且函数f(x＋2)是偶函数，∴函数y＝f(x)在[2,4]上单调递减，且在[0,4]上函数y＝f(x)满足f(2－x)＝f(2＋x)，∴f(1)＝f(3)，f＜f(3)＜f，即f＜f(1)＜f.]2．已知f(x)是定义在[2b,1－b]上的偶函数，且在[2b,0]上为增函数，则f(x－1)≤f(2x)的解集为( )A．B．C．[－1,1]D．B [∵f(x)是定义在[2b,1－b]上的偶函数，∴2b＋1－b＝0，∴b＝－1.∵f(x)在[2b,0]上为增函数，即函数f(x)在[－2,0]上为增函数，故函数f(x)在(0,2]上为减函数，则由f(x－1)≤f(2x)，可得|x－1|≥|2x|，即(x－1)2≥4x2，\n解得－1≤x≤.由于定义域为[－2,2]，∴解得∴－1≤x≤，故选B．]3．已知奇函数f(x)在x＞0时单调递增，且f(1)＝0，若f(x－1)＞0，则x的取值范围为( )A．{x|0＜x＜1或x＞2}B．{x|x＜0或x＞2}C．{x|x＜0或x＞3}D．{x|x＜－1或x＞1}A [∵奇函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝0，∴函数f(x)在(－∞，0)上单调递增，且f(－1)＝0，则－1＜x＜0或x＞1时，f(x)＞0；x＜－1或0＜x＜1时，f(x)＜0.∴不等式f(x－1)＞0即－1＜x－1＜0或x－1＞1，解得0＜x＜1或x＞2，故选A．]考点二 函数的奇偶性与周期性 利用函数的奇偶性和周期性求值的策略已知f(x)是周期函数且为偶(奇)函数，求函数值，常利用奇偶性及周期性进行转换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内，把未知区间上的函数性质转化为已知区间上的函数性质求解．[典例2] (1)已知f(x)是定义在R上的偶函数，并且f(x＋2)＝－，若当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f(105.5)＝________.(2)设f(x)是定义在R上的奇函数，并且f(x)＝－f(x＋2)，若在区间[－2,0)∪(0,2]上，f(x)＝则f(2022)＝________.(1)2.5 (2)0 [(1)由f(x＋2)＝－得f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－＝f(x)，∴函数f(x)是周期为4的周期函数．∴f(105.5)＝f(4×27－2.5)＝f(－2.5)＝f(2.5)＝2.5.(2)由f(x)＝－f(x＋2)，得f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，∴函数f(x)是周期为4的周期函数．又f(x)是奇函数，则有即解得∴f(x)＝\n∴f(2022)＝f(2)＝×2－1＝0.]设定义在R上的函数f(x)同时满足以下条件：①f(x)＋f(－x)＝0；②f(x＋1)＝f(x－1)；③当0≤x＜1时，f(x)＝2x－1，则f＋f(1)＋f＋f(2)＋f＝________.－1 [由f(x)＋f(－x)＝0得f(－x)＝－f(x)，即函数f(x)是奇函数，由f(x＋1)＝f(x－1)得f(x＋2)＝f(x)，即函数f(x)是周期为2的周期函数．所以f(0)＝0，f＝f，f(2)＝f(0)＝0，f＝f.又f(－1)＝f(－1＋2)＝f(1)＝－f(1)，所以f(1)＝0.所以f＋f(1)＋f＋f(2)＋f＝f＋f＋f＝f＝2－1＝－1.]考点三 函数性质的综合应用函数的奇偶性、周期性与对称性的解题技法(1)函数的奇偶性、周期性、对称性，一般是知二得一，特别是已知奇偶性和对称性，一般要先确定周期性．(2)奇函数在x＝0处有意义，则一定有f(0)＝0，偶函数一定有f(|x|)＝f(x)，要注意这两个结论在解题中的应用．(3)如果f(x)的图象关于点(a,0)对称，且关于直线x＝b对称，则函数f(x)的周期T＝4|a－b|.(类比y＝sinx的图象)(4)如果f(x)的图象关于点(a,0)对称，且关于点(b,0)对称，则函数f(x)的周期T＝2|a－b|.(类比y＝sinx的图象)(5)若函数f(x)关于直线x＝a与直线x＝b对称，那么函数的周期是2|b－a|.(类比y＝sinx的图象)[典例3] (1)已知函数f(x)对任意的x∈R都满足f(x)＋f(－x)＝0，f为偶函数，当0＜x≤时，f(x)＝－x，则f(2021)＋f(2022)＝________.(2)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝________.\n(1)1 (2)2 [(1)由f(x)＋f(－x)＝0得f(－x)＝－f(x)，即函数f(x)是奇函数，由f为偶函数知f＝f，结合f(x)是奇函数，可得f＝－f，∴f(x＋3)＝－f(x)．∴f(x＋6)＝f(x)，即函数f(x)是周期为6的周期函数．∴f(2021)＝f(－1)＝－f(1)＝1，f(2022)＝f(0)＝0，∴f(2021)＋f(2022)＝1.(2)法一：(直接法)∵f(x)在(－∞，＋∞)上是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(1－x)＝－f(x－1)．由f(1－x)＝f(1＋x)，得－f(x－1)＝f(x＋1)，∴f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴函数f(x)是周期为4的周期函数．由f(x)为奇函数得f(0)＝0.又∵f(1－x)＝f(1＋x)，∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴f(2)＝f(0)＝0，∴f(－2)＝0.又f(1)＝2，∴f(－1)＝－2，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(1)＋f(2)＋f(－1)＋f(0)＝2＋0－2＋0＝0，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(49)＋f(50)＝0×12＋f(49)＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝2＋0＝2.法二：(特例法)由题意可设f(x)＝2sin，作出f(x)的部分图象如图所示．由图可知，f(x)的一个周期为4，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(49)＋f(50)＝12×0＋f(1)＋f(2)＝2.]点评：求和问题一般是先求一个周期的和，再求总和．1．已知奇函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)为偶函数，且f(1)＝2，则f(2021)＋f(2\n022)＝( )A．－2B．－1C．0D．2D [由f(x＋1)为偶函数得f(－x＋1)＝f(x＋1)，又函数f(x)是奇函数，则f(x＋1)＝－f(x－1)，即f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝f(x)，即函数f(x)的周期为4，∴f(2021)＝f(1)＝2，f(2022)＝f(2)＝f(0)＝0，∴f(2021)＋f(2022)＝2，故选D．]2．定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝f(2－x)及f(x)＝－f(－x)，且在[0,1]上有f(x)＝x2，则f＝( )A．B．C．－D．－D [函数f(x)的定义域是R，f(x)＝－f(－x)，所以函数f(x)是奇函数．又f(x)＝f(2－x)，所以f(－x)＝f(2＋x)＝－f(x)，所以f(4＋x)＝－f(2＋x)＝f(x)，故函数f(x)是以4为周期的奇函数，所以f＝f＝f＝－f.因为在[0,1]上有f(x)＝x2，所以f＝＝，故f＝－，故选D．]核心素养2 用数学思维思考世界——用活函数性质中的三个结论数学运算是解决数学问题的基本手段，通过运算能够促进学生数学思维的发展．通过常见的“二级结论”解决数学问题，可优化数学运算的过程，使学生逐步形成规范化、程序化的思维品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学精神.奇函数的最值性质已知函数f(x)是定义在区间D上的奇函数，则对任意的x∈D，都有f(x)＋f(－x)＝0.特别地，若奇函数f(x)在D上有最值，则f(x)max＋f(x)min＝0，且若0∈D，则f(0)＝0. 设函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________.2 [显然函数f(x)的定义域为R，f(x)＝＝1＋，\n设g(x)＝，则g(－x)＝－g(x)，∴g(x)为奇函数，由奇函数图象的对称性知g(x)max＋g(x)min＝0，∴M＋m＝[g(x)＋1]max＋[g(x)＋1]min＝2＋g(x)max＋g(x)min＝2.]已知函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m等于( )A．0B．2C．4D．8C [f(x)＝＝2＋，设g(x)＝，因为g(x)定义域为R，关于原点对称，且g(－x)＝－g(x)，所以g(x)为奇函数，所以g(x)max＋g(x)min＝0.因为M＝f(x)max＝2＋g(x)max，m＝f(x)min＝2＋g(x)min，所以M＋m＝2＋g(x)max＋2＋g(x)min＝4.]抽象函数的周期性(1)如果f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.(2)如果f(x＋a)＝(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.(3)如果f(x＋a)＋f(x)＝c(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a. 已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，有f(x＋3)＝－f(x)，且当x∈(0,3)时，f(x)＝x＋1，则f(－2017)＋f(2018)＝( )A．3 B．2 C．1 D．0C [因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(－2017)＝－f(2017)，因为当x≥0时，有f(x＋3)＝－f(x)，所以f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，即当x≥0时，自变量的值每增加6，对应函数值重复出现一次．又当x∈(0,3)时，f(x)＝x＋1，∴f(2017)＝f(336×6＋1)＝f(1)＝2，f(2018)＝f(336×6＋2)＝f(2)＝3.故f(－2017)＋f(2018)＝－f(2017)＋3＝1.]已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x＋2)＝－，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则\nf＝________. [∵f(x＋2)＝－，∴f(x＋4)＝f(x)，∴f＝f，又2≤x≤3时，f(x)＝x，∴f＝，∴f＝.]抽象函数的对称性已知函数f(x)是定义在R上的函数．(1)若f(a＋x)＝f(b－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝对称，特别地，若f(a＋x)＝f(a－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．(2)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(a－x)＝0，即f(x)＝－f(2a－x)，则f(x)的图象关于点(a,0)对称． 函数y＝f(x)对任意x∈R都有f(x＋2)＝f(－x)成立，且函数y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称，f(1)＝4，则f(2016)＋f(2017)＋f(2018)的值为________．4 [因为函数y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称，所以函数y＝f(x)的图象关于原点对称，所以f(x)是R上的奇函数，则f(x＋2)＝f(－x)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故f(x)的周期为4.所以f(2017)＝f(504×4＋1)＝f(1)＝4，f(2016)＝f(504×4)＝f(0)＝0，f(2018)＝f(504×4＋2)＝f(2)＝f(0)＝0，所以f(2016)＋f(2017)＋f(2018)＝4.]已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)＝f(2－x)，若函数y＝|x2－2x－3|与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则xi＝( )A．0 B．m C．2m D．4mB [∵函数f(x)(x∈R)满足f(x)＝f(2－x)，故函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，函数y＝|x2－2x－3|的图象也关于直线x＝1对称，\n故函数y＝|x2－2x－3|与y＝f(x)图象的交点也关于直线x＝1对称，且相互对称的两点横坐标和为2.当f(x)不过点(1,4)时，xi＝×2＝m，当f(x)的图象过点(1,4)时，xi＝×2＋1＝m.综上，xi＝m.]
