对数与对数函数[考试要求] 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,10，的对数函数的图象.3.体会对数函数是一类重要的函数模型.4.了解指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数．1．对数的概念如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．提醒：指数式与对数式的关系2．对数的性质、换底公式与运算性质(1)对数的性质：①loga1＝0；②a＝N；③logaab＝b(a＞0，且a≠1)．(2)换底公式：logab＝(a，c均大于0且不等于1，b＞0)．(3)对数的运算性质：如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：①loga(M·N)＝logaM＋logaN；②loga＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R)．\n3．对数函数的定义、图象与性质定义函数y＝logax(a＞0且a≠1)叫做对数函数图象a＞10＜a＜1性质定义域：(0，＋∞)值域：R当x＝1时，y＝0，即过定点(1,0)当0＜x＜1时，y＜0；当x＞1时，y＞0当0＜x＜1时，y＞0；当x＞1时，y＜0在(0，＋∞)上为增函数在(0，＋∞)上为减函数4.反函数指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．1．换底公式的三个重要结论(1)logab＝；(2)logambn＝logab；(3)logab·logbc·logcd＝logad.2．对数函数的图象与底数大小的关系如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝log2(x＋1)是对数函数．( )(2)log2x2＝2log2x.( )\n(3)函数y＝ln与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同．( )(4)对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，，函数图象不在第二、三象限．( )[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√二、教材习题衍生1．(log29)·(log34)＝( )A．B．C．2D．4D [(log29)·(log34)＝×＝×＝4.故选D．]2．已知a＝2，b＝log2，c＝log，则( )A．a＞b＞cB．a＞c＞bC．c＞b＞aD．c＞a＞bD [因为0＜a＜1，b＜0，c＝log＝log23＞1.所以c＞a＞b.故选D．]3．函数y＝的定义域是________． [由(2x－1)≥0，得0＜2x－1≤1.∴＜x≤1.∴函数y＝的定义域是.]4．函数y＝loga(4－x)＋1(a＞0，且a≠1)的图象恒过点________．(3,1) [当4－x＝1，即x＝3时，y＝loga1＋1＝1.所以函数的图象恒过点(3,1)．]考点一 对数式的化简与求值 对数运算的一般思路\n[典例1] (1)设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m等于( )A．B．10C．20D．100(2)计算log23·log38＋()的值为( )A．2B．3C．4D．5(3)(2020·全国卷Ⅲ)Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：I(t)＝，其中K为最大确诊病例数，当I(t*)＝0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为(ln19≈3)( )A．60B．63C．66D．69(1)A (2)D (3)C [(1)由已知，得a＝log2m，b＝log5m，则＋＝＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2.解得m＝.故选A．(2)log23·log38＝log28＝3，()＝3＝3＝2，∴log23·log38＋()＝5，故选D．(3)由题意可得，当I(t*)＝0.95K时，＝0.95K，\n∴＝e，∴ln19＝0.23(t*－53)，∴t*－53≈13，∴t*≈66，故选C．]点评：对数运算中logab＝是常用的性质之一．1．(2020·全国卷Ⅰ)设alog34＝2，则4－a＝( )A．B．C．D．B [法一：因为alog34＝2，所以log34a＝2，则有4a＝32＝9，所以4－a＝＝，故选B．法二：因为alog34＝2，所以－alog34＝－2，所以log34－a＝－2，所以4－a＝3－2＝＝，故选B．法三：因为alog34＝2，所以＝＝log43，所以4＝3，两边同时平方得4a＝9，所以4－a＝＝，故选B．]2．(2019·北京高考)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝lg，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k＝1,2)．已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( )A．1010.1B．10.1C．lg10.1D．10－10.1A [由题意知，m1＝－26.7，m2＝－1.45，代入所给公式得－1.45－(－26.7)＝lg，所以lg＝10.1，所以＝1010.1，故选A．]考点二 对数函数的图象及其应用利用对数函数的图象解决的两类问题及技巧(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．[典例2] (1)(2019·浙江高考)在同一直角坐标系中，函数y＝，y＝loga(a＞0，\n且a≠1)的图象可能是( )A BC D(2)当0＜x≤时，4x＜logax，则a的取值范围是( )A．B．C．(1，)D．(，2)(1)D (2)B [(1)对于函数y＝loga，当y＝0时，有x＋＝1，得x＝，即y＝loga的图象恒过定点，排除选项A、C；函数y＝与y＝loga在各自定义域上单调性相反，排除选项B，故选D．(2)构造函数f(x)＝4x和g(x)＝logax，当a＞1时不满足条件，当0＜a＜1时，画出两个函数在上的图象，可知f＜g，即2＜loga，则a＞，所以a的取值范围为.][母题变迁]1．将本例(2)中“4x＜logax”变为“4x＝logax有解”，a的取值范围是________． [若方程4x＝logax在上有解，则函数y＝4x与函数y＝logax的图象在上有交点．由图象可知解得0＜a≤，即a的取值范围为.]2．若将本例(2)变为：当0＜x≤时，＜logax，则实数a的取值范围为________． [若＜logax在x∈上恒成立，则0＜a＜1，且y＝的图象在y\n＝logax图象的下方，如图所示，由图象知＜loga，所以解得＜a＜1.即实数a的取值范围是.]1.已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a＞0，a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )A．a＞1，c＞1B．a＞1,0＜c＜1C．0＜a＜1，c＞1D．0＜a＜1,0＜c＜1D [由对数函数的图象和性质及函数图象的平移变换知0＜a＜1,0＜c＜1.]2．已知不等式x2－logax＜0对x∈恒成立，则实数a的取值范围为________． [由x2－logax＜0得x2＜logax，设f1(x)＝x2，f2(x)＝logax，要使x∈时，不等式x2＜logax恒成立，只需f1(x)＝x2在上的图象在f2(x)＝logax图象的下方即可．当a＞1时，显然不成立；当0＜a＜1时，如图所示．\n要使x2＜logax在x∈上恒成立，需f1≤f2，所以有2≤loga，解得a≥，所以≤a＜1.即实数a的取值范围是.]考点三 对数函数的性质及其应用 比较对数值的大小 比较对数值大小的常见类型及解题方法常见类型解题方法底数为同一常数可由对数函数的单调性直接进行判断底数为同一字母需对底数进行分类讨论底数不同，真数相同可以先用换底公式化为同底后，再进行比较底数与真数都不同常借助1,0等中间量进行比较[典例3－1] (1)已知a＝log3，b＝，c＝log，则a，b，c的大小关系为( )A．a＞b＞cB．b＞a＞cC．c＞b＞aD．c＞a＞b(2)(2019·天津高考)已知a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.50.2，则a，b，c的大小关系为( )A．a＜c＜bB．a＜b＜cC．b＜c＜aD．c＜a＜b(3)(2020·全国卷Ⅲ)设a＝log32，b＝log53，c＝，则( )A．a＜c＜bB．a＜b＜cC．b＜c＜aD．c＜a＜b(1)D (2)A (3)A [(1)∵c＝log＝log35，log35＞log3＞log33＝1，即c＞a＞1，又＜＝1.∴c＞a＞b，故选D．(2)∵a＝log52＜log5＝，b＝log0.50.2＞log0.50.5＝1，c＝0.50.2＝＞，0.50.2＜1，∴a＜c＜b，故选A．\n(3)∵23＜32，∴2＜3，∴log32＜log33＝，∴a＜c.∵33＞52，∴3＞5，∴log53＞log55＝，∴b＞c，∴a＜c＜b，故选A．]点评：本例T(1)和T(3)主要使用了化为同底和中间量比较大小，其中常数化为同底，利用了性质m＝logaam，本例T(2)主要使用中间量比较大小． 解简单对数不等式 求解对数不等式的两种类型及方法类型方法logax＞logab借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论logax＞b需先将b化为以a为底的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解[典例3－2] (1)若loga＜1(a＞0且a≠1)，则实数a的取值范围是________．(2)若loga(a2＋1)＜loga2a＜0，则a的取值范围是________．(1)∪(1，＋∞) (2) [(1)当0＜a＜1时，loga＜logaa＝1，∴0＜a＜；当a＞1时，loga＜logaa＝1，∴a＞1.∴实数a的取值范围是∪(1，＋∞)．(2)由题意得a＞0且a≠1，故必有a2＋1＞2a，又loga(a2＋1)＜loga2a＜0，所以0＜a＜1，同时2a＞1，所以a＞.综上，a∈.]点评：在对数不等式中，真数大于0是隐含条件，不能忘记！ 与对数函数有关的复合函数的单调性 求解与对数函数有关的复合函数单调性的步骤一求求出函数的定义域，所有问题都必须在定义域内讨论二判判断对数函数的底数与1的关系，分a＞1与0＜a＜1两种情况判断内层函数和外层函数的单调性，运用复合函数“同增异减”原则判断函数的单调性\n[典例3－3] (1)(2020·新高考全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝lg(x2－4x－5)在(a，＋∞)单调递增，则a的取值范围是( )A．(－∞，－1]B．(－∞，2]C．[2，＋∞)D．[5，＋∞)(2)设函数f(x)＝log(4x2－4ax＋3a)在(0,1)上是增函数，则a的取值范围是________．(1)D (2)[2,4] [(1)由x2－4x－5＞0，得x＜－1或x＞5，即函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(5，＋∞)．令t＝x2－4x－5，则t＝(x－2)2－9，所以函数t在(－∞，－1)上单调递减，在(5，＋∞)上单调递增，又函数y＝lgt在(0，＋∞)上单调递增，从而函数f(x)的单调递增区间为(5，＋∞)，由题意知(a，＋∞)⊆(5，＋∞)，∴a≥5，故选D．(2)令t＝4x2－4ax＋3a，由y＝logt在(0，＋∞)是减函数可得t＝4x2－4ax＋3a在(0,1)上是减函数，且t＞0在(0,1)上恒成立，又t＝4x2－4ax＋3a＝4－a2＋3a，∴解得2≤a≤4.]点评：已知f(x)＝loga[g(x)]在区间[m，n]上是增函数，对于这类问题，应从两个方面考虑：一是根据a与1的关系确定g(x)在[m，n]上的单调性，二是g(x)＞0在x∈[m，n]时恒成立，此时只需g(x)min＞0即可．1．已知a＝log27，b＝log38，c＝0.30.2，则a，b，c的大小关系为( )A．c＜b＜aB．a＜b＜cC．b＜c＜aD．c＜a＜bA [∵a＝log27＞log24＝2,1＜b＝log38＜log39＝2，c＝0.30.2＜1，∴c＜b＜a，故选A．]2．设函数f(x)＝若f(a)＞f(－a)，则实数a的取值范围是( )A．(－1,0)∪(0,1)B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－1,0)∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(0,1)\n3．函数y＝log(x2－3x＋2)的单调递增区间为________，值域为________．(－∞，1) R [由x2－3x＋2＞0得x＞2或x＜1，即函数的定义域为{x|x＞2或x＜1}，当x在定义域内变化时，x2－3x＋2取遍(0，＋∞)内的每一个值，∴值域为R.令t＝x2－3x＋2(t＞0)，t在(2，＋∞)上单调递增，在(－∞，1)上单调递减，而函数y＝logt在其定义域内是单调递减函数，∴y＝log(x2－3x＋2)在(－∞，1)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减，即函数y＝log(x2－3x＋2)的单调递增区间为(－∞，1)，单调递减区间为(2，＋∞)．]4．已知a＞0，若函数f(x)＝log3(ax2－x)在[3,4]上是增函数，则a的取值范围是________． [要使f(x)＝log3(ax2－x)在[3,4]上单调递增，则y＝ax2－x在[3,4]上单调递增，且在[3,4]上y＝ax2－x＞0恒成立，即解得a＞.]
