函数与方程[考试要求] 结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性与根的个数．1．函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．(2)三个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．提醒：函数的零点不是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点，而是交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个数．2．函数的零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．提醒：函数的零点存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点．3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋(a＞0)的图象与x轴的交点(x1,0)，(x2,0)(x1,0)无交点零点个数2104.二分法的定义对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．\n有关函数零点的三个结论(1)若y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象连续不断，且有f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)一定有零点．(2)f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件．(3)若函数f(x)在[a，b]上是单调函数，且f(x)的图象连续不断，则f(a)·f(b)<0⇒函数f(x)在区间[a，b]上只有一个零点．一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．( )(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)＜0.( )(3)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)·f(b)＜0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．( )(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c在b2－4ac＜0时没有零点．( )(5)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值．( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)×二、教材习题衍生1．已知函数y＝f(x)的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值表：x123456y124.433－7424.5－36.7－123.6则函数y＝f(x)在区间[1,6]上的零点至少有( )A．2个B．3个C．4个D．5个B [∵f(2)·f(3)＜0，f(3)·f(4)＜0，f(4)·f(5)＜0，故函数f(x)在区间[1,6]内至少有3个零点．]2．函数f(x)＝lnx＋2x－6的零点所在的区间是( )A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)C [由题意得f(1)＝ln1＋2－6＝－4＜0，f(2)＝ln2＋4－6＝ln2－2＜0，f(3)＝ln3＋6－6＝ln3＞0，f(4)＝ln4＋8－6＝ln4＋2＞0，∴f(x)的零点所在的区间为(2,3)．]3．函数f(x)＝ex＋3x的零点个数是________．1 [∵函数f(x)＝ex＋3x在R上是增函数，且f(－1)＝－3＜0，f(0)＝1＞0，\n∴f(－1)·f(0)＜0，因此函数f(x)有唯一零点．]4．若函数f(x)＝x2－4x＋a存在两个不同的零点，则实数a的取值范围是________．(－∞，4) [由题意知Δ＝16－4a＞0，解得a＜4.]考点一 判定函数零点所在区间 判断函数零点所在区间的方法1．设函数f(x)＝x－lnx，则函数y＝f(x)( )A．在区间，(1，e)上均有零点B．在区间，(1，e)上均无零点C．在区间上有零点，在区间(1，e)上无零点D．在区间上无零点，在区间(1，e)上有零点D [当x∈时，函数图象是连续的，且f′(x)＝－＝＜0，所以f(x)在区间上单调递减，又f＝＋1＞0，f(1)＝＞0，f(e)＝－1＜0，所以函数f(x)在区间(1，e)上有唯一零点，故选D．]2．若x0是方程＝x的解，则x0属于区间( )A．B．C．D．\nC [令f(x)＝－x，则x0是函数f(x)的零点，函数f(x)在R上图象是连续的，且f(0)＝1＞0，f＝－＞0，f＝－＜0，∴f·f＜0，因此x0∈，故选C．]3．若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间( )A．(a，b)和(b，c)内B．(－∞，a)和(a，b)内C．(b，c)和(c，＋∞)内D．(－∞，a)和(c，＋∞)内A [∵a＜b＜c，∴f(a)＝(a－b)(a－c)＞0，f(b)＝(b－c)(b－a)＜0，f(c)＝(c－a)(c－b)＞0，由函数零点存在性定理可知：在区间(a，b)(b，c)内分别存在一个零点；又函数f(x)是二次函数，最多有两个零点，因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)，(b，c)内，故选A．]4．(2020·天津模拟)设函数f(x)＝ex－1＋4x－4，g(x)＝lnx－，若f(x1)＝g(x2)＝0，则( )A．0＜g(x1)＜f(x2)B．g(x1)＜0＜f(x2)C．f(x2)＜0＜g(x1)D．f(x2)＜g(x1)＜0B [函数f(x)是R上的增函数，g(x)是(0，＋∞)上的增函数，∵f(0)＝e－1－4＜0，f(1)＝5－4＝1＞0，又f(x1)＝0，∴0＜x1＜1，∵g(1)＝－1＜0，g(2)＝ln2－＞0，又g(x2)＝0，∴1＜x2＜2，∴f(x2)＞f(1)＞0，g(x1)＜g(1)＜0，∴g(x1)＜0＜f(x2)，故选B．]点评：由f(a)·f(b)＞0，并不能说明函数f(x)在区间(a，b)上没有零点，若f(x)在(a，b)上是单调函数，则f(x)在(a，b)上无零点．考点二 确定函数零点的个数 确定函数零点个数的方法\n[典例1] (1)(2019·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝2sinx－sin2x在[0,2π]的零点个数为( )A．2B．3C．4D．5(2)函数f(x)＝的零点个数为( )A．0B．1C．2D．3(3)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝ex＋x－3，则f(x)的零点个数为( )A．1B．2C．3D．4(1)B (2)D (3)C [(1)由f(x)＝2sinx－sin2x＝2sinx－2sinxcosx＝2sinx·(1－cosx)＝0得sinx＝0或cosx＝1，∴x＝kπ，k∈Z，又∵x∈[0,2π]，∴x＝0，π，2π，即零点有3个，故选B．(2)依题意，在考虑x＞0时可以画出函数y＝lnx与y＝x2－2x的图象(如图)，可知两个函数的图象有两个交点，当x≤0时，函数f(x)＝2x＋1与x轴只有一个交点，综上，函数f(x)有3个零点．故选D．(3)因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，所以f\n(0)＝0，即x＝0是函数f(x)的1个零点．当x＞0时，令f(x)＝ex＋x－3＝0，则ex＝－x＋3，分别画出函数y＝ex和y＝－x＋3的图象，如图所示，两函数图象有1个交点，所以函数f(x)有1个零点．根据对称性知，当x＜0时，函数f(x)也有1个零点．综上所述，f(x)的零点个数为3.]点评：数形结合法确定函数零点个数的关键是正确画出函数的图象．在画函数的图象时，常利用函数的性质，如周期性、对称性等，同时还要注意函数定义域的限制．1．函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为( )A．1B．2C．3D．4B [令f(x)＝2x|log0.5x|－1＝0，可得|log0.5x|＝.设g(x)＝|log0.5x|，h(x)＝.在同一坐标系下分别画出函数g(x)，h(x)的图象，可以发现两个函数图象一定有2个交点，因此函数f(x)有2个零点．故选B．]2．若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x，则函数y＝f(x)－log3|x|的零点的个数是( )A．0B．2C．4D．6C [画出函数y＝f(x)和y＝log3|x|的部分图象如图所示．由图知，函数y＝f(x)－log3|x|的零点的个数为4.]考点三 求与零点有关的参数问题\n已知函数有零点(方程有根)，求参数的值或取值范围的方法 根据函数零点的个数求参数的取值范围[典例2－1] (2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是( )A．[－1,0)B．[0，＋∞)C．[－1，＋∞)D．[1，＋∞)C [函数g(x)＝f(x)＋x＋a存在2个零点，即关于x的方程f(x)＝－x－a有2个不同的实根，即函数f(x)的图象与直线y＝－x－a有2个交点，作出直线y＝－x－a与函数f(x)的图象，如图所示，由图可知，－a≤1，解得a≥－1，故选C．]点评：已知函数的零点个数，一般利用数形结合思想转化为两个函数图象的交点个数，这时图形一定要准确，这种数形结合的方法能够帮助我们直观解题． 根据函数有零点求参数的取值范围[典例2－2] (1)函数f(x)＝x2－ax＋1在区间上有零点，则实数a的取值范围是( )\nA．(2，＋∞)B．[2，＋∞)C．D．(2)已知函数f(x)＝则函数F(x)＝f(x)－a2＋a＋1(a∈R)总有零点时，实数a的取值范围是( )A．(－∞，0)∪(1，＋∞)B．[－1,2)C．[－1,0)∪(1,2]D．[0,1](1)D (2)A [(1)由题意知方程ax＝x2＋1在上有解，即a＝x＋在上有解，设t＝x＋，x∈，则t的取值范围是，所以实数a的取值范围是.(2)由F(x)＝0，得f(x)＝a2－a－1.∵函数f(x)的值域为(－1，＋∞)，∴a2－a－1＞－1，解得a＜0或a＞1.故选A．]点评：函数f(x)有零点⇔f(x)＝0有解，此时可分离参数，化为a＝g(x)的形式，则a的取值范围就是g(x)的值域．1．已知函数f(x)＝(a∈R)，若函数f(x)在R上有两个零点，则a的取值范围是( )A．(－∞，－1)B．(－∞，1]C．[－1,0)D．(0,1]D [当x＞0时，由2x－1＝0得x＝，即x＝是函数f(x)的一个零点，故方程2x－a＝0在(－∞，0]上有一个解．即a＝2x在(－∞，0]上有一个解，又当x∈(－∞，0]时0＜2x≤1，则0＜a≤1，故选D．]2．若函数f(x)＝4x－2x－a，x∈[－1,1]有零点，则实数a的取值范围是________． [∵函数f(x)＝4x－2x－a，x∈[－1,1]有零点，∴方程4x－2x－a＝0在[－1,1]上有解，即方程a＝4x－2x在[－1,1]上有解．令y＝4x－2x＝－.∵x∈[－1,1]，∴2x∈，∴－∈.∴实数a的取值范围是.]核心素养3 用数学眼光观察世界——解嵌套函数的零点问题\n函数的零点是高考命题的热点，主要涉及判断函数零点的个数或范围，常考查三次函数与复合函数相关零点，与函数的性质和相关问题交汇．对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”，将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图象、性质求解.嵌套函数零点个数的判断 已知函数f(x)＝则函数F(x)＝f(f(x))－2f(x)－的零点个数是( )A．4B．5C．6D．7A [令f(x)＝t，则函数F(x)可化为y＝f(t)－2t－，则函数F(x)的零点问题可转化为方程f(t)－2t－＝0的根的问题．令y＝f(t)－2t－＝0，则f(t)＝2t＋.分别作出y＝f(t)和y＝2t＋的图象，如图①，由图象可得有两个交点，横坐标设为t1，t2(不妨设t1＜t2)，则t1＝0,1＜t2＜2；由图②，结合图象，当f(x)＝0时，有一解，即x＝2；当f(x)＝t2时，结合图象，有3个解．所以y＝f[f(x)]－2f(x)－共有4个零点．图① 图②][评析] 1.判断嵌套函数零点个数的主要步骤(1)换元解套，转化为t＝g(x)与y＝f(t)的零点．(2)依次解方程，令f(t)＝0，求t，代入t＝g(x)求出x的值或判断图象交点个数．2．抓住两点：(1)转化换元．(2)充分利用函数的图象与性质．已知f(x)＝则函数y＝2[f(x)]2－3f(x)＋1的零点个数是________．5 [由2[f(x)]2－3f(x)＋1＝0，得f(x)＝或f(x)＝1，\n作出函数y＝f(x)的图象如图所示．由图象知y＝与y＝f(x)的图象有2个交点，y＝1与y＝f(x)的图象有3个交点．因此函数y＝2[f(x)]2－3f(x)＋1的零点有5个．]已知嵌套函数的零点个数求参数 函数f(x)＝若函数g(x)＝f(f(x))－a有三个不同的零点，则实数a的取值范围是________．[－1，＋∞) [设t＝f(x)，令f(f(x))－a＝0，则a＝f(t)．在同一坐标系内作y＝a，y＝f(t)的图象(如图)．当a≥－1时，y＝a与y＝f(t)的图象有两个交点．设交点的横坐标为t1，t2(不妨设t2＞t1)，则t1＜－1，t2≥－1.当t1＜－1时，t1＝f(x)有一解；当t2≥－1时，t2＝f(x)有两解．综上，当a≥－1时，函数g(x)＝f(f(x))－a有三个不同的零点．][评析] (1)求解本题抓住分段函数的图象性质，由y＝a与y＝f(t)的图象，确定t1，t2的取值范围，进而由t＝f(x)的图象确定零点的个数．(2)含参数的嵌套函数方程，还应注意让参数的取值“动起来”，抓临界位置，动静结合．设定义域为R的函数f(x)＝若关于x的方程2f2(x)＋2bf(x)＋1＝0有8个不同的实数根，则b的取值范围是________．－1.5＜b＜－ [根据题意作出f(x)的简图：由图象可得当f(x)∈(0,1)时，有四个不同的x与f(x)对应．再结合题中“方程2f2(x)＋2bf(x)＋1＝0有8个不同实数解”，可以分解为形如关于K的方程2K2＋2bK\n＋1＝0有两个不同的实数根K1，K2，且K1和K2均为大于0且小于1的实数．列式如下：即可得－1.5＜b＜－.]
