简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词[考试要求] 1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义.2.理解全称量词和存在量词的意义.3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．1．简单的逻辑联结词(1)命题中的或、且、非叫做逻辑联结词．(2)命题p且q、p或q、非p的真假判断pqp且qp或q非p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真提醒：“命题的否定”与“否命题”的区别(1)命题的否定只是否定命题的结论，而否命题既否定其条件，也否定其结论．(2)命题的否定与原命题的真假总是相对立的，即一真一假，而否命题与原命题的真假无必然联系．2．全称量词和存在量词(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示．(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示．3．全称命题、特称命题及含有一个量词的命题的否定命题名称语言表示符号表示命题的否定全称命题对M中任意一个x，有p(x)成立∀x∈M，p(x)∃x0∈M，p(x0)特称命题存在M中的一个x0，使p(x0)成立∃x0∈M，p(x0)∀x∈M，p(x)\n提醒：含有一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”．含有逻辑联结词的命题真假的判断规律(1)p∨q：“有真则真，全假才假”，即p，q中只要有一个真命题，则p∨q为真命题，只有p，q都是假命题时，p∨q才是假命题．(2)p∧q：“有假则假，全真才真”，即p，q中只要有一个假命题，则p∧q为假命题，只有p，q都是真命题时，p∧q才是真命题．(3)p：p与p的真假相反．一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)命题“3≥2”是真命题．( )(2)若命题p∧q为假命题，则命题p，q都是假命题．( )(3)“全等的三角形面积相等”是全称命题．( )(4)命题“菱形的对角线相等”的否定是“菱形的对角线不相等”．( )[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)×二、教材习题衍生1．命题“∀x∈R，x2＋x≥0”的否定是( )A．∃x0∈R，x＋x0≤0B．∃x0∈R，x＋x0＜0C．∀x∈R，x2＋x≤0D．∀x∈R，x2＋x＜0B [由全称命题的否定是特称命题知选项B正确．故选B．]2．已知p：2是偶数，q：2是质数，则命题p，q，p∨q，p∧q中真命题的个数为( )A．1B．2C．3D．4B [p和q显然都是真命题，所以p，q都是假命题，p∨q，p∧q都是真命题．]3．下列命题中的假命题是( )A．∃x0∈R，lgx0＝1B．∃x0∈R，sinx0＝0C．∀x∈R，x3＞0D．∀x∈R,2x＞0C [当x＝10时，lg10＝1，则A为真命题；当x＝0时，sin0＝0，则B为真命题；当x≤0时，x3≤0，则C为假命题；由指数函数的性质知，∀x∈R,2x＞0，则D为真命题．故选C．]4．命题“实数的平方都是正数”的否定是________．存在一个实数的平方不是正数 [全称命题的否定是特称命题，故应填：存在一个实数的平方不是正数．]\n考点一 全称命题、特称命题 1．全称命题与特称命题的否定(1)改量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写．(2)否结论：对原命题的结论进行否定．2．全称命题与特称命题真假的判断方法命题名称真假判断方法一判断方法二全称命题真所有对象使命题真否定为假假存在一个对象使命题假否定为真特称命题真存在一个对象使命题真否定为假 全称命题、特称命题的否定[典例1－1] (1)命题“∀x＞0，＞0”的否定是( )A．∃x＜0，≤0B．∃x＞0,0≤x≤1C．∀x＞0，≤0D．∀x＜0,0≤x≤1(2)已知命题p：∃m∈R，f(x)＝2x－mx是增函数，则p为( )A．∃m∈R，f(x)＝2x－mx是减函数B．∀m∈R，f(x)＝2x－mx是减函数C．∃m∈R，f(x)＝2x－mx不是增函数D．∀m∈R，f(x)＝2x－mx不是增函数(1)B (2)D [(1)因为＞0，所以x＜0或x＞1，所以＞0的否定是0≤x≤1，所以命题的否定是∃x＞0,0≤x≤1，故选B．(2)由特称命题的否定可得p为“∀m∈R，f(x)＝2x－mx不是增函数”．]\n点评：(1)＞0的否定不是≤0，而是≤0或x＝1，可先求出不等式＞0的解集，再写＞0的否定．(2)改写量词时自变量的范围不变． 全称命题、特称命题的真假判断[典例1－2] (1)下列命题中的假命题是( )A．∀x∈R，x2≥0B．∀x∈R,2x－1＞0C．∃x0∈R，lgx0＜1D．∃x0∈R，sinx0＋cosx0＝2(2)下列四个命题：p1：∃x0∈(0，＋∞)，＜；p2：∃x0∈(0,1)，logx0＞logx0；p3：∀x∈(0，＋∞)，＞logx；p4：∀x∈，＜logx.其中的真命题是( )A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p4(1)D (2)D [(1)A显然正确；由指数函数的性质知2x－1＞0恒成立，所以B正确；当0＜x＜10时，lgx＜1，所以C正确；因为sinx＋cosx＝sin，所以－≤sinx＋cosx≤，所以D错误．(2)对于p1，当x0∈(0，＋∞)时，总有＞成立，故p1是假命题；对于p2，当x0＝时，有1＝log＝log＞log成立，故p2是真命题；对于p3，结合指数函数y＝与对数函数y＝logx在(0，＋∞)上的图象，可以判断p3是假命题；对于p4，结合指数函数y＝与对数函数y＝logx在上的图象可以判断p4是真命题．]点评：因为命题p与p的真假性相反，因此不管是全称命题，还是特称命题，当其真假不容易正面判断时，可先判断其否定的真假．\n1．命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是( )A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2D [改写量词为：∃x∈R，∀n∈N*，否定结论为：n＜x2，故选D．]2．在下列给出的四个命题中，为真命题的是( )A．∀a∈R，∃b∈Q，a2＋b2＝0B．∀n∈Z，∃m∈Z，nm＝mC．∀n∈Z，∃m∈Z，n＞m2D．∀a∈R，∃b∈Q，a2＋b2＝1B [对于A：当a＝2时，a2＋b2＝0不成立，故A错误；对于B：当m＝0时，nm＝m恒成立，故B正确；对于C：当n＝－1时，n＞m2不成立，故C错误；对于D：当a＝2时，a2＋b2＝1不成立，故D错误．]考点二 含有逻辑联结词的命题判断含有逻辑联结词命题真假的三个步骤[典例2] (1)在一次跳高比赛前，甲、乙两名运动员各试跳了一次．设命题p表示“甲的试跳成绩超过2米”，命题q表示“乙的试跳成绩超过2米”，则命题p∨q表示( )A．甲、乙两人中恰有一人的试跳成绩没有超过2米B．甲、乙两人中至少有一人的试跳成绩没有超过2米C．甲、乙两人中两人的试跳成绩都没有超过2米D．甲、乙两人中至少有一人的试跳成绩超过2米(2)已知命题p：∃x0∈R，使得lgcosx0＞0；命题q：∀x＜0,3x＞0，则下列命题为真命题的是( )A．p∧qB．p∨(q)C．(p)∧(q)D．p∨q(1)D (2)D [(1)p∨q表示甲的试跳成绩超过2米或乙的试跳成绩超过2米．即甲、乙两人中至少有一人的试跳成绩超过2米，故选D．\n(2)由－1≤cosx≤1，得lgcosx≤0，所以命题p为假命题．当x∈R时，3x＞0，故命题q为真命题．所以p∨q为真命题，p∧q为假命题，p∨(q)为假命题，(p)∧(q)为假命题，故选D．]1．“a2＋b2≠0”的含义为( )A．a和b都不为0B．a和b至少有一个为0C．a和b至少有一个不为0D．a不为0且b为0，或b不为0且a为0C [a2＋b2＝0⇔a＝0且b＝0，因此a2＋b2≠0⇔a≠0或b≠0，故选C．]2．已知命题p：“a＞b”是“2a＞2b”的充要条件；命题q：∃x0∈R，|x0＋1|≤x0，则( )A．(p)∨q为真命题B．p∧(q)为假命题C．p∧q为真命题D．p∨q为真命题D [由a＞b⇔2a＞2b知，命题p是真命题，对x0∈R，都有|x0＋1|＞x0，因此命题q是假命题，从而p∨q为真命题，故选D．]考点三 根据命题的真假求参数的取值范围1．根据复合命题的真假求参数的步骤(1)根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)．(2)求出每个命题是真命题时参数的取值范围．(3)根据给出的复合命题的真假推出每个命题的真假情况，从而求出参数的取值范围．2．根据全(特)称命题的真假求参数的思路与全称命题或特称命题真假有关的参数取值范围问题的本质是恒成立问题或有解问题．解决此类问题时，一般先利用等价转化思想将条件合理转化，得到关于参数的方程或不等式(组)，再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或范围．[典例3] 已知p：存在x0∈R，mx＋1≤0，q：任意x∈R，x2＋mx＋1＞0，若p∨q为假命题，求实数m的取值范围．[解] 由p∨q为假命题知p、q均为假命题，则p为真命题，即∀x∈R，mx2＋1＞0为真命题，则有m≥0，当q为真命题时，有Δ＝m2－4＜0，即－2＜m＜2，因此由p，q均为假命题得即m≥2.所以实数m的取值范围为[2，＋∞)．\n[母题变迁]1．在本例条件下，若p∧q为真，求实数m的取值范围．[解] 依题意知p，q均为真命题，当p是真命题时，有m＜0；当q是真命题时，有－2＜m＜2，由可得－2＜m＜0.所以实数m的取值范围为(－2,0)．2．在本例条件下，若p∧q为假，p∨q为真，求实数m的取值范围．[解] 若p∧q为假，p∨q为真，则p，q一真一假．当p真q假时所以m≤－2；当p假q真时所以0≤m＜2.所以m的取值范围是(－∞，－2]∪[0,2)．点评：(1)当p是全称(特称)命题且为假命题时，要转化为p为真命题去处理，无非转化为恒成立或能成立问题．(2)对于“p∧q为假，p∨q为真”，建议先分别求出p，q为真的参数范围，再分p真q假，p假q真讨论．1．(2020·福建三校联考)若命题“∃x0∈R，使得3x＋2ax0＋1＜0”是假命题，则实数a的取值范围是________．[－，] [命题“∃x0∈R，使得3x＋2ax0＋1＜0”是假命题，即“∀x∈R,3x2＋2ax＋1≥0”是真命题，故Δ＝4a2－12≤0，解得－≤a≤.]2．已知p：x2＋2x－3＞0；q：＞1.若q∧p为真，则x的取值范围是________．(－∞，－3)∪(1,2]∪[3，＋∞) [由q∧p为真知p真，q假，当p为真命题时，由x2＋2x－3＞0，解得x＞1或x＜－3，而q为真命题时，由＞1解得2＜x＜3.则p真q假时有，解得x≥3或1＜x≤2或x＜－3.所以x的取值范围是(－∞，－3)∪(1,2]∪[3，＋∞)．]
