第4讲全称量词与存在量词、逻辑联结词“且”“或”“非”1．(2022·高考全国卷Ⅰ改编)设命题p：存在n∈N，n2>2n，则綈p为( )A．对任意的n∈N，n2>2n B．存在n∈N，n2≤2nC．对任意的n∈N，n2≤2nD．存在n∈N，n2＝2n解析：选C.因为“存在x∈M，p(x)”的否定是“对任意的x∈M，綈p(x)”，所以命题“存在n∈N，n2>2n”的否定是“对任意的n∈N，n2≤2n”．2．(2022·高考湖北卷改编)命题“存在x∈(0，＋∞)，lnx＝x－1”的否定是( )A．对任意的x∈(0，＋∞)，lnx≠x－1B．对任意的x∉(0，＋∞)，lnx＝x－1C．存在x∈(0，＋∞)，lnx≠x－1D．存在x∉(0，＋∞)，lnx＝x－1解析：选A.特称命题的否定为全称命题，所以存在x∈(0，＋∞)，lnx＝x－1的否定是对任意的x∈(0，＋∞)，lnx≠x－1，故选A.3．将a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2改写成全称命题是( )A．存在a，b∈R，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2B．存在a<0，b>0，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2C．对任意的a>0，b>0，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2D．对任意的a，b∈R，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2解析：选D.全称命题含有量词“任意”，故排除A、B，又等式a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2对于全体实数都成立，故选D.4．下列命题中的假命题是( )A．存在x∈R，lgx＝0B．存在x∈R，tanx＝C．对任意的x∈R，x3>0D．对任意的x∈R，2x>0解析：选C.当x＝1时，lgx＝0，故命题“存在x∈R，lgx＝0”是真命题；当x＝时，tanx＝，故命题“存在x∈R，tanx＝”是真命题；由于x＝－1时，x3<0，故命题“对任意的x∈R，x3>0”是假命题；根据指数函数的性质，对对任意的x∈R，2x>0，故命题“对任意的x∈R，2x>0”是真命题．5．命题p：对任意的x∈(－∞，0]，2x≤1，则( )A．p是假命题；綈p：存在x∈(－∞，0]，2x>1B．p是假命题；綈p：对任意的x∈(－∞，0]，2x≥1C．p是真命题；綈p：存在x∈(－∞，0]，2x>1D．p是真命题；綈p：对任意的x∈(－∞，0]，2x≥1解析：选C.因为对任意的x∈(－∞，0]，2x≤20＝1，所以p是真命题．又因为綈p：存在x∈(－∞，0]，2x>1.故选C.6．已知命题p：若x＞y，则－x＜－y；命题q：若x＞y，则x2＞y2.在命题①p且q；②p或q；③p且(綈q)；④(綈p)或q中，真命题是( )A．①③B．①④C．②③D．②④解析：选C.当x＞y时，－x＜－y，故命题p为真命题，从而綈p为假命题．当x＞y时，x2＞y2不一定成立，故命题q为假命题，从而綈q为真命题．由真值表知，①p且q为假命题；②p或q为真命题；③p且(綈q)为真命题；④(綈p)或q为假命题．故选C.7．“命题‘存在x∈R，x2＋ax－4a<0’为假命题”是“－16≤a≤0”的( )A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件3\nD．既不充分也不必要条件解析：选A.因为“存在x∈R，x2＋ax－4a<0”为假命题，所以“对任意的x∈R，x2＋ax－4a≥0”为真命题．所以Δ＝a2＋16a≤0，即－16≤a≤0.所以“命题‘存在x∈R，x2＋ax－4a<0’为假命题”是“－16≤a≤0”的充要条件．8．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )A．(綈p)或(綈q)B．p或(綈q)C．(綈p)且(綈q)D．p或q解析：选A.命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包含以下三种情况：“甲、乙均没有降落在指定范围”“甲降落在指定范围，乙没有降落在指定范围”“乙降落在指定范围，甲没有降落在指定范围”．或者是命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”等价于命题“甲、乙均降落在指定范围”的否定，即“p且q”的否定．选A.9．(2022·江西省三校联考)下列四个结论：①若x>0，则x>sinx恒成立；②命题“若x－sinx＝0，则x＝0”的逆命题为“若x≠0，则x－sinx≠0”；③“命题p或q为真”是“命题p且q为真”的充分不必要条件；④命题“对任意的x∈R，x－lnx>0”的否定是“存在x∈R，x－lnx≤0”．其中正确结论的个数是( )A．1B．2C．3D．4解析：选B.记f(x)＝x－sinx，x>0，则f′(x)＝1－cosx≥0，函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，因此当x>0时，f(x)>f(0)，即x－sinx>0，x>sinx，①正确；命题“若x－sinx＝0，则x＝0”的逆命题为“若x＝0，则x－sinx＝0”，②不正确；由命题“p或q”为真不能得知命题“p且q”为真，反过来，由命题“p且q”为真命题可得知命题“p或q”为真，因此“命题p或q”为真是“命题p且q”为真的必要不充分条件，③不正确；命题“对任意的x∈R，x－lnx>0”的否定是“存在x∈R，x－lnx≤0”，④正确．综上所述，正确结论的个数是2，故选B.10．(2022·昆明联考)若“p：存在x∈[1，4]，logx≤a”是真命题，则实数a的最小值是( )A．0B．1C．－2D．－1解析：选C.问题转化为y＝logx在x∈[1，4]的取值范围，则y∈[－2，0]，故选C.11．(2022·辽宁省五校联考)下列选项中，说法正确的是( )A．命题“存在x∈R，x2－x≤0”的否定是“存在x∈R，x2－x>0” B．命题“p或q为真”是命题“p且q为真”的充分不必要条件C．命题“若am2≤bm2，则a≤b”是假命题D．命题“在△ABC中，若sinA<，则A<”的逆否命题为真命题解析：选C.A中命题的否定是：对任意的x∈R，x2－x>0，故A不对；B中当p为假命题、q为真命题时，p或q为真，p且q为假，故B不对；C中当m＝0时，a，b∈R，故C的说法正确；D中命题“在△ABC中，若sinA<，则A<”为假命题，所以其逆否命题为假命题．故选C.12．(2022·山东省实验中学第一次诊断)下列有关命题的叙述错误的是( )A．若綈p是q的充分条件，则p是綈q的必要条件3\nB．若p且q为假命题，则p，q均为假命题C．命题“对任意的x∈R，x2－x>0”的否定是“存在x∈R，x2－x≤0”D．“x>2”是“<”的充分不必要条件解析：选B.易知，A正确；p且q为假，p，q至少有一个为假，B错误；“任意”的否定是“存在”，“>”的否定是“≤”，C正确；“x>2”一定能推出“<”，但当x＝－1时，满足<，但不满足x>2，所以“x>2”是“<”的充分不必要条件，D正确．综上可知，选B.13．(2022·郑州调研)命题“存在x∈，tanx>sinx”的否定是________．答案：对任意的x∈，tanx≤sinx14．已知命题p：存在x∈R，ex－mx＝0，q：对任意的x∈R，x2＋mx＋1≥0，若p或(綈q)为假命题，则实数m的取值范围是________．解析：若p或(綈q)为假命题，则p假q真．命题p为假命题时，有0≤m<e；命题q为真命题时，有Δ＝m2－4≤0，即－2≤m≤2.所以要使p或(綈q)为假命题，则m的取值范围是0≤m≤2.答案：[0，2]15．(2022·高考山东卷改编)若“对任意的x∈，tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为________．解析：由题意，原命题等价于tanx≤m在区间上恒成立，即y＝tanx在上的最大值小于或等于m，又y＝tanx在上的最大值为1，所以m≥1，即m的最小值为1.答案：116．曾经在校园内发生过这样一件事：甲、乙、丙、丁四名同学在教室前的空地上踢足球，忽然足球飞向了教室的一扇窗户，听到响声后，李主任走了过来，看着一地碎玻璃，问道：“玻璃是谁打破的？”甲：是乙打破的；乙：不是我，是丁打破的；丙：肯定不是我打破的；丁：乙在撒谎．现在只知道有一个人说了真话，则打破玻璃的是________．解析：求解此题关键在于找清乙说的与丁说的是“p”与“非p”形式，因此乙和丁之间必有一人说真话一人说假话，由此分析可知，甲和丙说的都是假话，可得是丙打破的玻璃．答案：丙3
