课时规范练47 抛物线基础巩固组1.(2020福建厦门一模)若抛物线x2=ay的焦点到准线的距离为1,则a=( ) A.2B.4C.±2D.±42.O为坐标原点,F为抛物线C:y2=42x的焦点,P为抛物线C上一点,若|PF|=42,则△POF的面积为( )A.2B.22C.23D.43.(2020河北唐山一模,文8)抛物线x2=2py(p>0)上一点A到其准线和坐标原点的距离都为3,则p=( )A.8B.6C.4D.24.F是抛物线y2=2x的焦点,点P在抛物线上,点Q在抛物线的准线上,若PF=2FQ,则|PQ|=( )A.92B.4C.72D.35.(2020河北邯郸一模)位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥有“仙境之桥”之称,它的桥形可近似地看成抛物线,该桥的高度为5m,跨径为12m,则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为( )A.2512mB.256mC.95mD.185m6.已知抛物线E:y2=2px(p>0)的准线为l,圆C:x-p22+y2=4,l与圆C交于A,B两点,圆C与E交于M,N两点.若A,B,M,N为同一个矩形的四个顶点,则E的方程为( )A.y2=xB.y2=3xC.y2=2xD.y2=23x7.(2020河南安阳三模)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,l与x轴的交点为P,点A在抛物线C上,过点A作AA'⊥l,垂足为A'.若四边形AA'PF的面积为14,且cos∠FAA'=35,则抛物线C的方程为( )A.y2=xB.y2=2xC.y2=4xD.y2=8x8.已知抛物线y2=4x,过焦点F的直线与抛物线交于A,B两点,过A,B分别作y轴的垂线,垂足分别为C,D,则|AC|+|BD|的最小值为 . 9.(2020江西萍乡一模)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线l:x=-1,点M在抛物线C上,点M在准线l上的射影为A,且直线AF的斜率为-3,则△AMF的面积为 . 10.已知F为抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点,曲线C1是以F为圆心,p4为半径的圆,直线23x-6y+3p=0与曲线C,C1从左至右依次相交于P,Q,R,S,则|RS||PQ|= . \n综合提升组11.(2020广东广州一模)已知F为抛物线C:y2=6x的焦点,过点F的直线l与抛物线C相交于A,B两点,且|AF|=3|BF|,则|AB|=( )A.6B.8C.10D.1212.已知抛物线C1:y2=2px(p>0)与圆C2:x2+y2-12x+11=0交于A,B,C,D四点.若BC⊥x轴,且线段BC恰为圆C2的一条直径,则点A的横坐标为( )A.116B.3C.113D.613.(2020河北衡水中学三模,理14)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点M(1,1)的直线与C交于A,B两点,若M恰好为AB的中点,则|AF|+|BF|= ,直线AB的斜率为 . 14.设抛物线的顶点为坐标原点,焦点F在y轴的正半轴上,点A是抛物线上的一点,以A为圆心,2为半径的圆与y轴相切,切点为F.(1)求抛物线的标准方程;(2)设直线m在y轴上的截距为6,且与抛物线交于P,Q两点,连接QF并延长交抛物线的准线于点R,当直线PR恰与抛物线相切时,求直线m的方程.创新应用组15.(2020江西九江二模)已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,直线l与抛物线C交于A,B两点,连接AF并延长,交抛物线C于点D,若AB中点的纵坐标为|AB|-1,则当∠AFB最大时,|AD|=( )A.4B.8C.16D.16316.(2020江西上饶三模,理20)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,抛物线C上的点到准线的最小距离为1.(1)求抛物线C的方程;(2)若过点F作互相垂直的两条直线l1,l2,l1与抛物线C交于A,B两点,l2与抛物线C交于C,D两点,M,N分别为弦AB,CD的中点,求|MF|·|NF|的最小值.\n参考答案课时规范练47 抛物线1.C ∵x2=ay,∴p=a2=1,∴a=±2.故选C.2.C 利用|PF|=xP+2=42,可得xP=32.∴yP=±26.∴S△POF=12|OF|·|yP|=23.故选C.3.C 设A(x0,y0),由题意得y0+p2=3,即p=6-2y0,又因为x02=2py0,所以x02=2(6-2y0)y0,化简得x02+4y02=12.又因为点A到原点的距离为3,所以x02+y02=9,解得x02=8,y02=1.又由题可得y0=1,代入x02=2py0有p=4.故选C.4.A 记抛物线的准线和对称轴的交点为K.过点P作准线的垂线,垂足为M,则|PF|=|PM|.由△QFK∽△QPM,得|FK||MP|=|QF||QP|,即1|MP|=13,所以|MP|=3.故|PF|=3,|QF|=32,所以|PQ|=|PF|+|QF|=92.故选A.5.D 建立平面直角坐标系如图所示.设抛物线的解析式为x2=-2py,p>0,因为抛物线过点(6,-5),所以36=10p,解得p=185.所以桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为185m.故选D.6.C 如图,圆C:x-p22+y2=4的圆心Cp2,0是抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点.∵圆C:x-p22+y2=4的半径为2,∴|NC|=2,根据抛物线定义可得|NA|=|NC|=2.∵A,B,M,N为同一个矩形的四个顶点,∴点A,N关于直线x=p2对称,即xN+xA=p2×2=p,∴xN=32p,∴|NA|=32p--p2=2,即2p=2,则E的方程为y2=2x.故选C.7.C 过点F作FF'⊥AA',垂足为F'.\n设|AF'|=3x,因为cos∠FAA'=35,所以|AF|=5x,|FF'|=4x.由抛物线的定义可知|AF|=|AA'|=5x,则|A'F'|=2x=p,故x=p2.四边形AA'PF的面积S=(|PF|+|AA'|)·|FF'|2=(p+52p)·2p2=14,解得p=2,故抛物线C的方程为y2=4x.8.2 由题意知F(1,0),|AC|+|BD|=|AF|+|FB|-2=|AB|-2,即|AC|+|BD|取得最小值时当且仅当|AB|取得最小值.依抛物线定义知当|AB|为通径,即|AB|=2p=4时,为最小值,所以|AC|+|BD|的最小值为2.9.43 设准线l与x轴交于点N,则|FN|=2.∵直线AF的斜率为-3,∴∠AFN=60°,∴∠MAF=60°,|AF|=4.由抛物线的定义可得|MA|=|MF|,∴△AMF是边长为4的等边三角形.∴S△AMF=34×42=43.10.215 x2=2py,23x-6y+3p=0⇒12y2-20py+3p2=0.因为直线23x-6y+3p=0与曲线C,C1从左至右依次相交于P,Q,R,S,所以yP=p6,yS=32p.由直线23x-6y+3p=0过抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点F,所以|RS|=|SF|-p4=yS+p2-p4=yS+p4,|PQ|=|PF|-p4=yP+p2-p4=yP+p4,|RS||PQ|=|SF|-p4|PF|-p4=3p2+p4p6+p4=74512=215.11.B 由已知得抛物线C:y2=6x的焦点坐标为32,0,准线方程为x=-32.设点A(x1,y1),B(x2,y2),因为|AF|=3|BF|,所以x1+32=3x2+32,|y1|=3|y2|.所以x1=3x2+3,x1=9x2,所以x1=92,x2=12.所以|AB|=x1+32+x2+32=8.故选B.12.A 圆C2:x2+y2-12x+11=0可化为(x-6)2+y2=52,\n故圆心为(6,0),半径为5,由于BC⊥x轴,且线段BC恰为圆C2的一条直径,故B(6,-5),C(6,5).将B点坐标代入抛物线方程得25=12p,故p=2512,抛物线方程为y2=256x.联立y2=256x,x2+y2-12x+11=0,消去y得x2-476x+11=0,解得x=116或x=6(舍去),故A点横坐标为116.故选A.13.4 2 过点A,B,M分别作准线x=-1的垂线,垂足分别为A1,B1,M1,则|MM1|=2.根据梯形中位线定理,得|AA1|+|BB1|=4.根据抛物线的定义,得|AF|+|BF|=|AA1|+|BB1|=4.设A(x1,y1),B(x2,y2),由y12=4x1,y22=4x2,得(y1-y2)(y1+y2)=4(x1-x2),则直线AB的斜率为k=y1-y2x1-x2=4y1+y2=42×1=2.14.解(1)设抛物线方程为x2=2py(p>0).∵以A为圆心,2为半径的圆与y轴相切,切点为F,∴p=2,∴该抛物线的标准方程为x2=4y.(2)由题知直线m的斜率存在,设其方程为y=kx+6,由y=kx+6,x2=4y消去y整理得x2-4kx-24=0,显然,Δ=16k2+96>0.设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=4k,x1·x2=-24.由x2=4y,得y=x24,∴y'=x2.抛物线在点Px1,x124处的切线方程为y-x124=x12(x-x1),令y=-1,得x=x12-42x1,可得点Rx12-42x1,-1,由Q,F,R三点共线得kQF=kFR,\n∴x224-1x2=-1-1x12-42x1,即(x12-4)(x22-4)+16x1x2=0,整理得(x1x2)2-4[(x1+x2)2-2x1x2]+16+16x1x2=0,∴(-24)2-4[(4k)2-2×(-24)]+16+16×(-24)=0,解得k2=14,即k=±12,∴所求直线m的方程为y=12x+6或y=-12x+6.15.C 设点A(x1,y1),B(x2,y2),D(x3,y3),由抛物线的定义得|AF|+|BF|=y1+y2+2,因为y1+y22=|AB|-1,所以|AF|+|BF|=2|AB|,所以cos∠AFB=|AF|2+|BF|2-|AB|22|AF||BF|=3(|AF|2+|BF|2)-2|AF||BF|8|AF||BF|≥6|AF||BF|-2|AF||BF|8|AF||BF|=12,当且仅当|AF|=|BF|时,等号成立.所以当∠AFB最大时,△AFB为等边三角形,AB∥x轴.不妨设此时直线AD的方程为y=3x+1,由y=3x+1,x2=4y,消去y,得x2-43x-4=0,所以x1+x3=43,所以y1+y3=3(x1+x3)+2=14.所以|AD|=16.故选C.16.解(1)∵抛物线C上的点到准线的最小距离为1,∴p2=1,解得p=2,∴抛物线C的方程为y2=4x.(2)由(1)可知焦点为F(1,0).由已知可得AB⊥CD,∴两直线AB,CD的斜率都存在且均不为0.设直线AB的斜率为k,则直线CD的斜率为-1k,∴直线AB的方程为y=k(x-1).联立y2=4x,y=k(x-1),消去x得ky2-4y-4k=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4k.设M(xM,yM),由yM=k(xM-1),得xM=yMk+1=2k2+1,∴M2k2+1,2k.同理可得N(2k2+1,-2k).∴|NF|=(2k2+1-1)2+(-2k)2=2k2(k2+1),|MF|=21+k2k2,∴|MF|·|NF|=21+k2k2×2k2(1+k2)=4×1+k2|k|≥4×2|k|·1|k|=8,当且仅当|k|=1|k|,即k=±1时,等号成立.∴|MF|·|NF|的最小值为8.\n
