课时规范练20 函数y=Asin(ωx+φ)的图像及应用 基础巩固组1.将函数y=sinx的图像上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),再把所得各点向右平行移动π10个单位长度,所得图像的函数解析式是( )A.y=sin2x-π10B.y=sin12x-π20C.y=sin2x-π5D.y=sin12x-π102.(2020安徽安庆二模,理8)已知函数f(x)=2sin2ωx(ω>0)的最小正周期为π,若将其图像沿x轴向右平移m(m>0)个单位长度,所得图像关于x=π3对称,则实数m的最小值为( )A.π4B.π3C.3π4D.π3.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图像如图所示,则f(x)的解析式为( )A.f(x)=23sinπx8+π4B.f(x)=23sinπx8+3π4C.f(x)=23sinπx8-π4D.f(x)=23sinπx8-3π44.如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sinπ6x+φ+k,据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为( )A.5B.6C.8D.105.\n右图是函数y=sin(ωx+φ)的部分图像,则sin(ωx+φ)=( )A.sinx+π3B.sinπ3-2xC.cos2x+π3D.cos5π6-2x6.(2019全国3,理12)设函数f(x)=sinωx+π5(ω>0),已知f(x)在[0,2π]有且仅有5个零点,下述四个结论:①f(x)在(0,2π)有且仅有3个极大值点②f(x)在(0,2π)有且仅有2个极小值点③f(x)在0,π10递增④ω的取值范围是125,2910其中所有正确结论的编号是( )A.①④B.②③C.①②③D.①③④7.已知简谐运动f(x)=2sinπ3x+φ|φ|<π2的图像经过点(0,1),则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为 , . 8.如图所示,某地夏天8~14时用电量变化曲线近似满足函数式y=Asin(ωx+φ)+b,A>0,ω>0,φ∈(0,π),则这期间的最大用电量为 万千瓦时;这段曲线的函数解析式为 . 9.已知函数y=3sin12x-π4.(1)用五点法作出函数的图像;\n(2)说明此图像是由y=sinx的图像经过怎么样的变化得到的.综合提升组10.已知函数f(x)=asinx+bcosx(x∈R),若x=x0是函数f(x)图像的一条对称轴,且tanx0=3,则a,b应满足的表达式是( )A.a=-3bB.b=-3aC.a=3bD.b=3a11.(2019天津,理7)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)是奇函数,将y=f(x)的图像上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),所得图像对应的函数为g(x).若g(x)的最小正周期为2π,且gπ4=2,则f3π8=( )A.-2B.-2C.2D.212.(2020山东潍坊一模,15)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)是偶函数,将y=f(x)的图像沿x轴向左平移π6个单位长度,再将图像上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),所得图像对应的函数为y=g(x).已知y=g(x)的图像的相邻对称中心之间的距离为2π.则ω= .若y=g(x)的图像在其某对称轴处对应的函数值为-2,则g(x)在[0,π]上的最大值为 . 创新应用组13.(2020安徽合肥一中模拟,理6)如图所示,秒针尖的位置为M(x,y),若初始位置为M0-12,-32,当秒针从M0(此时t=0)正常开始走时,那么点M的横坐标与时间t的函数关系为( )A.x=sinπ30t-π6B.x=sinπ30t-π3C.x=cosπ30t+2π3D.x=cosπ30t-2π3\n参考答案课时规范练20 函数y=Asin(ωx+φ)的图像及应用1.B 由题意,将y=sinx的图像上所有点的横坐标变为原来的2倍后得到y=sin12x的图像,再把所有点向右平行移动π10个单位长度后所得图像的函数为y=sin12x-π10=sin12x-π20.故选B.2.B f(x)=-cos2ωx+1,T=2π2ω=π,则ω=1,所以f(x)=-cos2x+1,将其图像沿x轴向右平移m(m>0)个单位长度,所得图像对应函数为y=-cos(2x-2m)+1.所得图像关于x=π3对称,则有cos2π3-2m=±1,所以2π3-2m=kπ,k∈Z,解得m=π3-kπ2,k∈Z,由m>0,得实数m的最小值为π3.故选B.3.D 由图得,A=23,T=2×[6-(-2)]=16,所以ω=2πT=2π16=π8.所以f(x)=23sinπ8x+φ.由函数的对称性得f(2)=-23,即f(2)=23sinπ8×2+φ=-23,即sinπ4+φ=-1,所以π4+φ=2kπ-π2(k∈Z),解得φ=2kπ-3π4(k∈Z).因为|φ|<π,所以k=0,φ=-3π4.故函数的解析式为f(x)=23sinπx8-3π4.4.C 设水深的最大值为M,由题意并结合函数图像可得3+k=M,k-3=2,解得M=8.5.B 由题图可知,T2=2π3-π6=π2,∴T=π.∴2πω=π,∴ω=2,故A错误;∴y=sin(2x+φ).∵过点2π3,0,∴sin2×2π3+φ=0,即4π3+φ=2π,∴φ=2π3.∴y=sin2x+2π3=sinπ-2x+2π3=sinπ3-2x,故B正确;∵y=sinπ3-2x=sinπ2-π6+2x=cos2x+π6,故C错误;∵cos5π6-2x=cosπ-2x+π6=-cos2x+π6,故D错误,故选B.6.D ∵f(x)=sinωx+π5(ω>0)在区间[0,2π]上有且仅有5个零点,∴5π≤2πω+π5<6π,解得125≤ω<2910,故④正确.画出f(x)的图像(图略),由图易知①正确,②不正确.当0<x<π10时,π5<ωx+π5<ωπ10+π5,又125≤ω<2910,∴ωπ10+π5<29π100+20π100=49π100<π2,∴③正确.\n综上可知①③④正确.故选D.7.6 π6 由题意知1=2sinφ,得sinφ=12,又|φ|<π2,得φ=π6,函数的最小正周期为T=2πω=6.8.50 y=10sinπ6x+π6+40,x∈[8,14] 由图像知这期间的最大用电量为50万千瓦时,最小用电量为30万千瓦时.A=12(50-30)=10,b=12(50+30)=40,T=2πω=2×(14-8)=12,所以ω=π6,所以y=10sinπ6x+φ+40.因为函数图像过点(8,30),且φ∈(0,π),解得φ=π6.故所求解析式为y=10sinπ6x+π6+40,x∈[8,14].9.解(1)列表,xπ232π52π72π92π12x-π40π2π32π2π3sin12x-π4030-30描点画图如图所示,(2)(方法1)“先平移,后伸缩”先把y=sinx的图像上所有点向右平移π4个单位长度,得到y=sinx-π4的图像;再把y=sinx-π4的图像上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),得到y=sin12x-π4的图像,最后将y=sin12x-π4的图像上所有点的纵坐标变为原来的3倍(横坐标不变),就得到y=3sin12x-π4的图像.(方法2)“先伸缩,后平移”先把y=sinx的图像上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),得到y=sin12x的图像;再把y=sin12x图像上所有的点向右平移π2个单位长度,得到y=sin12x-π2=sinx2-π4的图像,最后将y=sinx2-π4的图像上所有点的纵坐标变为原来的3倍(横坐标不变),就得到y=3sin12x-π4的图像.\n10.C f(x)=asinx+bcosx=a2+b2aa2+b2sinx+ba2+b2cosx.令cosα=aa2+b2,sinα=ba2+b2,则tanα=ba,则f(x)=a2+b2sin(x+α).因为x=x0是函数f(x)图像的一条对称轴,则x0+α=π2+kπ,k∈Z,x0=π2-α+kπ,k∈Z.tanx0=tanπ2-α+kπ=tanπ2-α=1tanα=ab=3,k∈Z,则a=3b.故选C.11.C 已知函数为奇函数,且|φ|<π,故φ=0.则f(x)=Asinωx.∴g(x)=Asinω2x.∵g(x)的最小正周期为2π,而2πω2=2π,∴ω=2.则g(x)=Asinx.由gπ4=2,得Asinπ4=2,解得A=2.则f(x)=2sin2x.∴f3π8=2sin3π4=2.故选C.12.1 3 ∵f(x)是偶函数,且0<φ<π,∴φ=π2.∴f(x)=Asinωx+π2=Acosωx.由已知将y=f(x)的图像沿x轴向左平移π6个单位长度,可得y=Acosωx+π6的图像.再将图像上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),可得y=Acosω2x+π6ω的图像.∴g(x)=Acosω2x+π6ω.∵y=g(x)的图像的相邻对称中心之间的距离为2π,∴T2=2π,∴T=4π,2πω2=4π,∴ω=1.∵y=g(x)的图像在其某对称轴处对应的函数值为-2,∴A=2.∴g(x)=2cos12x+π6.∵0≤x≤π,∴π6≤12x+π6≤2π3,∴当12x+π6=π6,即x=0时,g(x)在[0,π]上的最大值为g(x)max=2×32=3.\n13.C 当t=0时,点M0-12,-32,则初始角为-2π3,由于秒针每60秒顺时针转一周,故转速ω=-2π60=-π30,当秒针运动t秒到M点时,秒针与x正半轴的夹角为-π30t-2π3,所以x与时间t的函数关系式x=cos-π30t-2π3=cosπ30t+2π3.故选C.
