【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固第4章第5节函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像及三角函数模型的简单应用北师大版一、选择题1．函数y＝cos(2x－)的部分图像可能是( )[答案] D[解析] ∵y＝cos(2x－)，∴当2x－＝0，即x＝时，函数取得最大值1，结合图像看，可使函数在x＝时取得最大值的只有D．2．函数f(x)＝sinxcosx＋cos2x的最小正周期和振幅分别是( )A．π，1 B．π，2C．2π，1 D．2π，2[答案] A[解析] 本题考查了辅助角公式、倍角公式和正弦型函数的性质．f(x)＝sin2x＋cos2x＝sin(2x＋)，周期T＝π，振幅为1，故选A．3．(2022·浙江高考)为了得到函数y＝sin3x＋cos3x的图像，可以将函数y＝sin3x的图像( )A．向右平移个单位 B．向左平移个单位C．向右平移个单位 D．向左平移个单位[答案] D[解析] 本题考查三角函数图像变换．y＝sin3x＋cos3x＝sin(3x＋)，只需将函数y＝sin3x的图像向左平移个单位，选D．-10-\n4．已知函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)的部分图像如图所示，则( )A．ω＝1，φ＝B．ω＝1，φ＝－C．ω＝2，φ＝D．ω＝2，φ＝－[答案] D[解析] 由图可知＝π－＝，T＝π，即＝π，∴ω＝2，又因为图像向右平移了－＝，∴φ＝－.(或利用＋φ＝解也可)5．已知函数y＝2sin(ωx＋θ)为偶函数(0<θ<π)，其图像与直线y＝2的交点的横坐标为x1、x2，若|x1－x2|的最小值为π，则( )A．ω＝2，θ＝ B．ω＝，θ＝C．ω＝，θ＝ D．ω＝2，θ＝[答案] A[解析] y＝2sin(ωx＋θ)为偶函数且0<θ<π，所以θ＝，y＝2cosωx，∴y∈[－2,2]．又∵|x1－x2|min＝π，故y＝2与y＝2cosωx的交点为最高点，于是最小正周期为π.即＝π，所以ω＝2.故选A．6．(文)如图，在某点给单摆一个作用力后它开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s(m/s)和时间t(s)的函数关系为s＝6sin，单摆摆动时，从最右边到最左边的距离为( )A．6 B．3C．3 D．6-10-\n[答案] A[解析] ∵s＝6sin，∴T＝＝1，从最左边到平衡位置O需要的时间为＝s，由6sin＝3，得从最右边到最左边的距离为6.(理)车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，上班高峰某十字路口的车流量由函数F(t)＝50＋4sin(0≤t≤20)给出，F(t)的单位是辆/分，t的单位是分，则下列哪个时间段内车流量是增加的( )A．[0,5] B．[5,10]C．[10,15] D．[15,20][答案] C[解析] F(t)的周期为T＝＝4π，当2kπ－≤≤2kπ＋，k∈Z时递增，即增区间是[4kπ－π，4kπ＋π]，k∈Z，又0≤t≤20，故函数F(t)在[0，π]和[3π，5π]上递增，故选C．二、填空题7．(2022·重庆高考)将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，－≤φ<)图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y＝sinx的图像，则f()＝________.[答案] [解析] 此题考查三角函数图像变换．∴ω＝，φ＝∴f(x)＝sin(x＋)，∴f()＝sin＝.-10-\n8．若将函数y＝2sin(3x＋φ)的图像向右平移个单位后得到图像关于点(，0)对称，则|φ|的最小值是________．[答案] [解析] 将函数y＝2sin(3x＋φ)的图像向右平移个单位后得到2sin[3(x－)＋φ]＝2sin(3x－＋φ)的图像．因为该函数的图像关于点(，0)对称，所以2sin(3×－＋φ)＝2sin(＋φ)＝0，故有＋φ＝kπ(k∈Z)．解得φ＝kπ－(k∈Z)．当k＝0时，|φ|取得最小值.9．(2022·北京高考)设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0)．若f(x)在区间[，]上具有单调性，且f()＝f()＝－f()，则f(x)的最小正周期为________．[答案] π[解析] 本题考查了正弦型函数的单调性对称性以及周期的概念．由f(x)在区间[，]上具有单调性，且f()＝－f()知，f(x)有对称中心(，0)，由f()＝f(π)知f(x)有对称轴x＝(＋)＝，记T为最小正周期，则T≥－⇒T≥，从而－＝⇒T＝π.三、解答题10．(文)设函数f(x)＝sinx＋sin(x＋)．(1)求f(x)的最小值，并求使f(x)取得最小值的x的集合；(2)不画图，说明函数y＝f(x)的图像可由y＝sinx的图像经过怎样的变化得到．[解析] (1)因为f(x)＝sinx＋sinx＋cosx＝sinx＋cosx＝sin(x＋)．所以当x＋＝2kπ－，即x＝2kπ－(k∈Z)时，f(x)取最小值－.-10-\n此时x的取值集合为{x|x＝2kπ－，k∈Z}．(2)先将y＝sinx的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的倍(横坐标不变)，得y＝sinx的图像；再将y＝sinx的图像上所有的点向左平移个单位，得y＝f(x)的图像．(理)已知函数f(x)＝4cosωx·sin(ωx＋)(ω>0)的最小正周期为π(1)求ω的值；(2)讨论f(x)在区间[0，]上的单调性．[解析] (1)f(x)＝4cosωx·sin(ωx＋)＝2sinxω·cosωx＋2cos2ωx＝(sin2ωx＋cos2ωx)＋＝2sin(2ωx＋)＋.因为f(x)的最小正周期为π，且ω>0，从而有＝π，故ω＝1.(2)由(1)知f(x)＝2sin(2x＋)＋.若0≤x≤，则≤2x＋≤.当≤2x＋≤，即0≤x≤时，f(x)单调递增；当≤2x＋≤，即≤x≤时，f(x)单调递减．综上可知，f(x)在区间[0，]上单调递增，在区间[，]上单调递减.一、选择题1．若函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的部分图像如图，则ω＝( )-10-\nA．5 B．4C．3 D．2[答案] B[解析] 本题考查正弦型函数的图像性质．由图像知，函数周期为2×(x0＋－x0)＝，∴＝，∴ω＝4.2．(文)定义行列式运算＝a1a4－a2a3.将函数f(x)＝的图像向左平移个单位，以下是所得函数图像的一个对称中心的是( )A．(，0) B．(，0)C．(，0) D．(，0)[答案] B[解析] 根据行列式的定义可知f(x)＝sin2x－cos2x＝2sin(2x－)，向左平移个单位得到g(x)＝2sin[2(x＋)－]＝2sin2x，所以g()＝2sin(2×)＝2sinπ＝0，所以(，0)是函数的一个对称中心，选B．(理)动点A(x，y)在圆x2＋y2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周，已知时间t＝0时，点A的坐标是(，)，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t(单位：秒)的函数的单调递增区间是( )A．[0,1] B．[1,7]C．[7,12] D．[0,1]和[7,12][答案] D[解析] ∵T＝12，∴ω＝＝，从而设y关于t的函数为y＝sin(t＋φ)．又∵t＝0时，y＝，∴φ＝，∴y＝sin(t＋)，∴2kπ－≤t＋≤2kπ＋，即12k－5≤t≤12k＋1，k∈Z时，y递增．-10-\n∵0≤t≤12，∴函数y的单调递增区间为[0,1]和[7,12]．二、填空题3．(文)已知函数f(x)＝－sin2x＋sinxcosx，则f＝________.[答案] 0[解析] 解法1：f(x)＝－×＋sin2x＝－＋sin2x＋cos2x＝－＋sin，∴f＝－＋sinπ＝－＋sin＝－＋＝0.解法2：当x＝时，f＝－sin2＋sincos＝－sin2＋sincos＝－＋×＝0.(理)函数y＝3sin的对称中心是____________．[答案] ，k∈Z[解析] 由－＝kπ，k∈Z得＝＋kπ.∴x＝＋2kπ，k∈Z.∴对称中心是(k∈Z)．4．如图所示为函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像上的一段，则这个函数的解析式为______________．[答案] y＝2sin[解析] A＝2，＝－＝，T＝，∵＝π，∴ω＝，∴y＝2sin.-10-\n∵当x＝π时，y＝2，∴2＝2sin，即sin＝1，∴φ＋π＝，φ＝－，∴y＝2sin.三、解答题5．(文)(2022·广东联考)已知函数f(x)＝sin(2x＋)＋sin(2x－)－cos2x＋a(a∈R，a为常数)．(1)求函数f(x)的最小正周期和单调增区间；(2)若函数f(x)的图像向左平移m(m>0)个单位后，得到函数g(x)的图像关于y轴对称，求实数m的最小值．[解析] (1)f(x)＝sin(2x＋)＋sin(2x－)－cos2x＋a＝sin2x－cos2x＋a＝2sin(2x－)＋A．∴f(x)的最小正周期为＝π，当2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，即kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)时，函数f(x)单调递增，故所求函数f(x)的单调增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)．(2)函数f(x)的图像向左平移m(m>0)个单位后得g(x)＝2sin[2(x＋m)－]＋a要使g(x)的图像关于y轴对称，只需2m－＝kπ＋(k∈Z)．即m＝＋(k∈Z)，所以m的最小值为.(理)已知函数f(x)＝sinωx·cosωx－cos2ωx(ω>0)的周期为.(1)求ω的值和函数f(x)的单调递增区间；(2)设△ABC的三边a、b、c满足b2＝ac，且边b所对的角为x，求此时函数f(x)的值域．[解析] (1)f(x)＝sin2ωx－(cos2ωx＋1)＝sin(2ωx－)－，-10-\n由f(x)的周期T＝＝，得ω＝2，∴f(x)＝sin(4x－)－，由2kπ－≤4x－≤2kπ＋(k∈Z)，得－＋≤x≤＋(k∈Z)，即f(x)的单调递增区间是[－＋，＋](k∈Z)．(2)由题意，得cosx＝≥＝，又∵0<x<π，∴0<x≤，∴－<4x－≤，∴－<sin(4x－)≤1，∴－1<sin(4x－)－≤，∴f(x)的值域为(－1，]．6．(2022·湖北高考)某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)＝10－cost－sint，t∈[0,24)．(1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？[解析] (1)因为f(t)＝10－2(cost＋sint)＝10－2sin(t＋)．又0≤t<24，所以≤t＋<，－1≤sin(t＋)≤1.当t＝2时，sin(t＋)＝1；当t＝14时，sin(t＋)＝－1.-10-\n于是f(t)在[0,24)上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃.(2)依题意，当f(t)>11时，实验室需要降温．由(1)得f(t)＝10－2sin(t＋)，故有10－2sin(t＋)>11，即sin(t＋)<－.又0≤t<24，因此<t＋<，即10<t<18.在10时至18时实验室需要降温．-10-
