课时规范练13 函数模型及其应用基础巩固组1.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1L汽油行驶的里程,下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是( )A.消耗1L汽油,乙车最多可行驶5kmB.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多C.甲车以80km/h的速度行驶1小时,消耗10L汽油D.某城市机动车最高限速80km/h,相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油2.某位股民购进某只股票,在接下来的交易时间内,他的这只股票先经历了n次涨停(每次上涨10%),又经历了n次跌停(每次下跌10%),则该股民这只股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( ) A.略有盈利B.略有亏损C.没有盈利也没有亏损D.无法判断盈亏情况3.设某公司原有员工100人从事产品A的生产,平均每人每年创造产值t万元(t为正常数).公司决定从原有员工中分流x(0<x<100,x∈N+)人去进行新开发的产品B的生产.分流后,继续从事产品A生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x%.若要保证产品A的年产值不减少,则最多能分流的人数是( )A.15B.16C.17D.184.某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系y=ekx+b(e=2.718…为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0℃的保鲜时间是192小时,在22℃的保鲜时间是48小时,则该食品在33℃的保鲜时间是( )A.16小时B.20小时C.24小时D.28小时5.(2020北京二中十月月考,10)在标准温度和大气压下,人体血液中氢离子的物质的量的浓度(单位mol/L,记作[H+])和氢氧根离子的物质的量的浓度(单位mol/L,记作[OH-])的乘积等于常数10-14.已知pH的定义为pH=-lg[H+],健康人体血液的pH保持在7.35~7.45之间,那么健康人体血液中的[H+][OH-]可以为( )(参考数据:lg2≈0.30,lg3≈0.48)\nA.12B.13C.16D.1106.(2020北京海淀一模,6)如图,半径为1的圆M与直线l相切于点A,圆M沿着直线l滚动.当圆M滚动到圆M'时,圆M'与直线l相切于点B.点A运动到点A',线段AB的长度为3π2,则点M'到直线BA'的距离为( )A.1B.32C.22D.127.“好酒也怕巷子深”,许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的.已知某品牌商品靠广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R=aA(a为常数),广告效应为D=aA-A.那么精明的商人为了取得最大广告效应,投入的广告费应为 (用常数a表示). 8.一个容器装有细沙acm3,细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出,tmin后剩余的细沙量为y=ae-btcm3,经过8min后发现容器内还有一半的沙子,则再经过 min,容器中的沙子只有开始时的八分之一. 9.如图,将宽和长都分别为x,y(x<y)的两个矩形部分重叠放在一起后形成的正十字形面积为5.(注:正十字形指的是原来的两个矩形的顶点都在同一个圆上,且两矩形长所在的直线互相垂直的图形)(1)求y关于x的函数解析式;(2)当x,y取何值时,该正十字形的外接圆面积最小,并求出其最小值.综合提升组10.(2019全国2,理4)2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆,我国航天事业取得又一重大成就,实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系.为解决这个问题,发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”,鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行.L2点是平衡点,位于地月连线的延长线上.设地球质量为M1,月球质量为M2,地月距离为R,L2点到月球的距离为r,根据牛顿运动定律和万有引力定律,r满足方程:M1(R+r)2+M2r2=(R+r)M1R3.设α=rR,由于α的值很小,因此在近似计算中3α3+3α4+α5(1+α)2≈3α3,则r的近似值为( )A.M2M1RB.M22M1RC.33M2M1RD.3M23M1R\n11.大学毕业生小赵想开一家服装专卖店,经过预算,该门面需要装修费为20000元,每天需要房租、水电等费用100元,受经营信誉度、销售季节等因素的影响,专卖店销售总收益R与门面经营天数x的关系是R(x)=400x-12x2,0≤x≤400,80000,x>400,则总利润最大时,该门面经营的天数是 . 12.如图,直角边长为2cm的等腰直角三角形ABC,以2cm/s的速度沿直线l向右运动,则该三角形与矩形CDEF重合部分面积y(单位:cm2)与时间t(单位:s)的函数关系(设0≤t≤3)为 ,y的最大值为 . 创新应用组13.(2019全国1,理4)古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是5-125-12≈0.618,称为黄金分割比例,著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外,最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是5-12.若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为105cm,头顶至脖子下端的长度为26cm,则其身高可能是( )A.165cmB.175cmC.185cmD.190cm14.某莲藕种植塘每年的固定成本是1万元,每年最大规模的种植是8万斤,每种植一斤藕,成本增加0.5元,如果销售额函数是f(x)=-18x3+916ax2+12x(x是莲藕种植量,单位:万斤;销售额的单位:万元;a是常数),若种植2万斤,利润是2.5万元,则要使利润最大,每年种植莲藕( )A.8万斤B.6万斤C.3万斤D.5万斤参考答案\n课时规范练13 函数模型及其应用1.D 从图中可以看出当乙车的行驶速度大于40km/h时的燃油效率大于5km/L,故乙车消耗1L汽油的行驶路程可大于5km,所以选项A错误;由图可知以相同速度行驶相同路程甲车消耗汽油最少,所以选项B错误;甲车以80km/h的速度行驶时的燃油效率为10km/L,故行驶1小时的路程为80km,消耗8L汽油,所以选项C错误;当最高限速为80km/h且速度相同时丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率,故用丙车比用乙车更省油,所以选项D正确.2.B 设该股民购进这只股票的价格为a元,则经历n次涨停后的价格为a(1+10%)n=a×1.1n元,经历n次跌停后的价格为a×1.1n×(1-10%)n=a×1.1n×0.9n=a×(1.1×0.9)n=0.99n·a<a,故该股民这只股票略有亏损.3.B 由题意,分流前每年创造的产值为100t(万元),分流x人后,每年创造的产值为(100-x)(1+1.2x%)t(万元),则0<x<100,x∈N+,(100-x)(1+1.2x%)t≥100t,解得0<x≤503.因为x∈N+,所以x的最大值为16.4.C 由题意得192=eb,①48=e22k+b=e22k·eb,②将①代入②得e22k=14,则e11k=12,当x=33时,y=e33k+b=e33k·eb=123×192=24,所以该食品在33℃的保鲜时间是24小时.故选C.5.C 由题设有[H+][OH-]=[H+]210-14=1014[H+]2,又10-7.45≤[H+]≤10-7.35,所以10-0.9≤1014[H+]2≤10-0.7,所以-0.9≤lg{1014[H+]2}≤-0.7.又lg12≈-0.3,lg13≈-0.48,lg16≈-0.78,lg110=-1,只有lg16符合,故选C.6.C 根据条件可知圆M周长=2π,因为BA=32π=34×2π,故可得A'位置如图,∠A'M'B=90°,则△A'M'B是等腰直角三角形,则M'到直线BA'的距离d=22r=22.故选C.7.14a2 令t=A(t≥0),则A=t2,所以D=at-t2=-t-12a2+14a2.所以当t=12a,即A=14a2时,D取得最大值.8.16 当t=0时,y=a,当t=8时,y=ae-8b=12a,所以e-8b=12,容器中的沙子只有开始时的八分之一时,即y=ae-bt=18a,e-bt=18=(e-8b)3=e-24b,则t=24,所以再经过24-8=16(min),容器中的沙子只有开始时的八分之一.9.解(1)由题意可得2xy-x2=5,则y=x2+52x.\n∵y>x,∴x2+52x>x,解得0<x<45.∴y关于x的解析式为y=x2+52x(0<x<45).(2)设正十字形的外接圆的直径为d,由图可知d2=x2+y2=x2+x2+52x2=5x24+54x2+52≥52+52,当且仅当x=1,y=5+12时,正十字形的外接圆直径d最小,最小为5+52=10+252,则半径最小值为10+254,∴正十字形的外接圆面积最小值为π×10+2542=5+58π.10.D 由α=rR,得r=αR.∵M1(R+r)2+M2r2=(R+r)M1R3,∴M1R2(1+α)2+M2α2R2=(1+α)M1R2,即M2M1=α2(1+α)3-1(1+α)2=α5+3α4+3α3(1+α)2≈3α3,解得α≈3M23M1.∴r=αR≈3M23M1R.11.300 由题意,总利润y=400x-12x2-100x-20000,0≤x≤400,60000-100x,x>400,当0≤x≤400时,y=-12(x-300)2+25000,所以当x=300时,ymax=25000;当x>400时,y=60000-100x<20000.综上,当x=300天时,总利润最大.12.y=2t2,0≤t<1,2,1≤t≤2,2-12(2t-4)2,2<t≤3 2 如题图,当0≤t<1时,重叠部分面积y=12×2t×2t=2t2;当1≤t≤2时,重叠部分为直角三角形ABC,重叠部分面积y=12×2×2=2(cm2);当2<t≤3时,重叠部分为梯形,重叠部分面积y=S△ABC-12(2t-4)2=2-12(2t-4)2=-2t2+8t-6.综上,y=2t2,0≤t<1,2,1≤t≤2,-2t2+8t-6,2<t≤3,故可得y的最大值为2.13.B 设人体脖子下端至肚脐的长度为xcm,则26x≈5-12,得x≈42.07,又其腿长为105cm,所以其身高约为42.07+105+26=173.07(cm),接近175cm.故选B.14.B 设销售利润为g(x),得g(x)=-18x3+916ax2+12x-1-12x=-18x3+916ax2-1,x>0.当x=2时,g(2)=-18×23+916a×22-1=2.5,解得a=2.∴g(x)=-18x3+98x2-1,\ng'(x)=-38x2+94x=-38x(x-6),∴函数g(x)在(0,6)上递增,在(6,8)上递减.∴x=6时,函数g(x)取得极大值即最大值,故选B.
