课时规范练17 同角三角函数的基本关系及诱导公式基础巩固组1.已知sin(θ+π)<0,cos(θ-π)>0,则下列不等关系中必定成立的是( ) A.sinθ<0,cosθ>0B.sinθ>0,cosθ<0C.sinθ>0,cosθ>0D.sinθ<0,cosθ<02.若cos(3π-x)-3cosx+π2=0,则tanx等于( )A.-12B.-2C.12D.133.已知锐角α满足5α的终边上有一点P(sin(-50°),cos130°),则α的值为( )A.8°B.44°C.26°D.40°4.1-2sin(π+2)cos(π-2)等于( )A.sin2-cos2B.sin2+cos2C.±(sin2-cos2)D.cos2-sin25.sin29π6+cos-29π3-tan25π4=( )A.0B.12C.1D.-126.已知α为锐角,且tan(π-α)+3=0,则sinα的值是( )A.13B.31010C.377D.3557.已知sin(π-α)=-2sinπ2+α,则sinα·cosα等于( )A.25B.-25C.25或-25D.-158.已知cos5π12+α=13,且-π<α<-π2,则cosπ12-α等于( )5\nA.223B.-13C.13D.-223〚导学号24190735〛9.已知sinα+2cosα=0,则2sinαcosα-cos2α的值是 . 10.若f(cosx)=cos2x,则f(sin15°)= . 11.已知α为第二象限角,则cosα1+tan2α+sinα1+1tan2α=.12.已知k∈Z,则sin(kπ-α)cos[(k-1)π-α]sin[(k+1)π+α]cos(kπ+α)的值为 . 综合提升组13.若3sinα+cosα=0,则1cos2α+2sinαcosα的值为( )A.103B.53C.23D.-214.已知sinθ=m-3m+5,cosθ=4-2mm+5,其中θ∈π2,π,则下列结论正确的是( )A.3≤m≤9B.3≤m<5C.m=0或m=8D.m=815.已知角α和β的终边关于直线y=x对称,且β=-π3,则sinα等于( )A.-32B.32C.-12D.1216.已知cosπ6-θ=a(|a|≤1),则cos5π6+θ+sin2π3-θ的值是 .〚导学号24190736〛 创新应用组17.在北京召开的国际数学家大会会标如图所示,它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形,若直角三角形中较小的锐角为θ,大正方形的面积是1,小正方形的面积是125,则sin2θ-cos2θ的值为( )A.1B.-7255\nC.725D.-2425〚导学号24190737〛18.已知函数f(x)=asinπ5x+btanπ5x(a,b为常数,x∈R).若f(1)=1,则不等式f(31)>log2x的解集为 . 答案：1.B ∵sin(θ+π)<0,∴-sinθ<0,即sinθ>0.∵cos(θ-π)>0,∴-cosθ>0,即cosθ<0.故选B.2.D ∵cos(3π-x)-3cosx+π2=0,∴-cosx+3sinx=0,∴tanx=13,故选D.3.B 点P(sin(-50°),cos130°)化简为P(cos220°,sin220°),因为0°<α<90°,所以5α=220°,所以α=44°.故选B.4.A 1-2sin(π+2)cos(π-2)=1-2sin2cos2=(sin2-cos2)2=|sin2-cos2|=sin2-cos2.5.A 原式=sin4π+5π6+cos-10π+π3-tan6π+π4=sin5π6+cosπ3-tanπ4=12+12-1=0.6.B 由tan(π-α)+3=0得tanα=3,即sinαcosα=3,sinα=3cosα,所以sin2α=9(1-sin2α),10sin2α=9,sin2α=910.又因为α为锐角,所以sinα=31010.7.B ∵sin(π-α)=-2sinπ2+α,∴sinα=-2cosα,∴tanα=-2.∴sinα·cosα=sinα·cosαsin2α+cos2α=tanα1+tan2α=-25,故选B.8.D ∵cos5π12+α=sinπ12-α=13,又-π<α<-π2,∴7π12<π12-α<13π12.∴cosπ12-α5\n=-1-sin2π12-α=-223.9.-1 由已知得tanα=-2,所以2sinαcosα-cos2α=2sinαcosα-cos2αsin2α+cos2α=2tanα-1tan2α+1=-1.10.-32 f(sin15°)=f(cos75°)=cos150°=cos(180°-30°)=-cos30°=-32.11.0 原式=cosαsin2α+cos2αcos2α+sinαsin2α+cos2αsin2α=cosα1|cosα|+sinα1|sinα|.因为α是第二象限角,所以sinα>0,cosα<0,所以cosα1|cosα|+sinα1|sinα|=-1+1=0,即原式等于0.12.-1 当k=2n(n∈Z)时,原式=sin(2nπ-α)cos[(2n-1)π-α]sin[(2n+1)π+α]cos(2nπ+α)=sin(-α)·cos(-π-α)sin(π+α)·cosα=-sinα(-cosα)-sinα·cosα=-1.当k=2n+1(n∈Z)时,原式=sin[(2n+1)π-α]·cos[(2n+1-1)π-α]sin[(2n+1+1)π+α]·cos[(2n+1)π+α]=sin(π-α)·cosαsinα·cos(π+α)=sinα·cosαsinα(-cosα)=-1.综上,原式=-1.13.A 3sinα+cosα=0⇒cosα≠0⇒tanα=-13,1cos2α+2sinαcosα=cos2α+sin2αcos2α+2sinαcosα=1+tan2α1+2tanα=1+-1321-23=103.14.D 因为θ∈π2,π,所以sinθ=m-3m+5≥0,①cosθ=4-2mm+5≤0,②且m-3m+52+4-2mm+52=1,5\n整理,得m2-6m+9+16-16m+4m2(m+5)2=1,即5m2-22m+25=m2+10m+25,即4m(m-8)=0,解得m=0或m=8.又m=0不满足①②两式,m=8满足①②两式,故m=8.15.D 终边在直线y=x上的角为kπ+π4(k∈Z),因为角α和β的终边关于直线y=x对称,所以α+β=2kπ+π2(k∈Z).又β=-π3,所以α=2kπ+5π6(k∈Z),即得sinα=12.16.0 ∵cos5π6+θ=cosπ-π6-θ=-cosπ6-θ=-a,sin2π3-θ=sinπ2+π6-θ=cosπ6-θ=a,∴cos5π6+θ+sin2π3-θ=0.17.B 设直角三角形中较小的直角边长为x,∵小正方形的面积是125,∴小正方形的边长为15,直角三角形的另一直角边长为x+15,又大正方形的面积是1,∴x2+x+152=12,解得x=35,∴sinθ=35,cosθ=45,∴sin2θ-cos2θ=352-452=-725,故选B.18.(0,2) 由f(31)=asinπ5×31+btanπ5×31=asinπ5+btanπ5=f(1)=1,则f(31)>log2x,即1>log2x,解得0<x<2.5
