课时规范练13 函数模型及其应用一、基础巩固组1.某产品的总成本y(单位:万元)与产量x(单位:台)之间的函数关系是y=3000+20x-0.1x2(0<x<240,x∈N*),若每台产品的售价为25万元,则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是( )A.100台B.120台C.150台D.180台2.某房地产公司计划出租70套相同的公寓房.当每套房月租金定为3000元时,这70套公寓能全租出去;当月租金每增加50元时(设月租金均为50元的整数倍),就会多一套房子租不出去.设租出的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用(设租不出去的房子不需要花这些费用).要使公司获得最大利润,每套公寓月租金应定为( )A.3000元B.3300元C.3500元D.4000元3.一个人以6米/秒的速度去追赶停在交通灯前的汽车,当他离汽车25米时交通灯由红变绿,汽车开始变速直线行驶(汽车与人前进方向相同),汽车在时间t内的路程为s=12t2米,那么,此人( )A.可在7秒内追上汽车B.可在9秒内追上汽车C.不能追上汽车,但期间最近距离为14米D.不能追上汽车,但期间最近距离为7米4.某企业生产A,B两种产品,根据市场调查与预测,A产品的利润与投资成正比,其关系如图①;B产品的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图②(注:利润和投资单位:万元).图①图②(1)分别将A,B两种产品的利润表示为投资的函数关系式;(2)已知该企业已筹集到18万元资金,并将全部资金投入到A,B两种产品的生产中.①若平均投入生产两种产品,可获得多少利润?②如果你是厂长,怎样分配这18万元投资,才能使该企业获得最大利润?其最大利润为多少万元?6\n5.某医药研究所开发的一种新药,如果成年人按规定的剂量服用,据监测:服药后每毫升血液中的含药量y(单位:μg)与时间t(单位:h)之间的关系近似满足如图所示的曲线.(1)写出第一次服药后y与t之间的函数解析式y=f(t);(2)据进一步测定:当每毫升血液中含药量不少于0.25μg时,治疗有效.求服药一次后治疗有效的时间.6.A,B两城相距100km,在两城之间距A城xkm处建一核电站给A,B两城供电,为保证城市安全,核电站与城市距离不得小于10km.已知供电费用等于供电距离(单位:km)的平方与供电量(单位:亿千瓦时)之积的0.25倍,若A城供电量为每月20亿千瓦时,B城供电量为每月10亿千瓦时.(1)求x的取值范围;(2)把月供电总费用y表示成x的函数;(3)核电站建在距A城多远,才能使供电总费用y最少?〚导学号21500519〛二、综合提升组7.某市明年计划投入600万元加强民族文化基础设施改造.据调查,改造后预计该市在一个月内(以30天计),民族文化旅游人数f(x)(单位:万人)与时间x(单位:天)的函数关系近似满足f(x)=41+1x,人均消费g(x)(单位:元)与时间x(单位:天)的函数关系近似满足g(x)=104-|x-23|.(1)求该市旅游日收益p(x)(单位:万元)与时间x(1≤x≤30,x∈N*)的函数关系式;(2)若以最低日收益的15%为纯收入,该市对纯收入按1.5%的税率来收回投资,按此预计两年内能否收回全部投资.6\n8.(2022江苏无锡模拟)某沿海地区养殖的一种特色海鲜上市时间仅能持续5个月,预测上市初期和后期会因供应不足使价格呈持续上涨态势,而中期又将出现供大于求使价格连续下跌.现有三种价格模拟函数:①f(x)=p·qx;②f(x)=px2+qx+1;③f(x)=x(x-q)2+p(以上三式中p,q均为常数,且q>1).(1)为准确研究其价格走势,应选哪种价格模拟函数(不必说明理由)?(2)若f(0)=4,f(2)=6,求出所选函数f(x)的解析式(注:函数定义域是[0,5],其中x=0表示8月1日,x=1表示9月1日,以此类推);(3)在(2)的条件下研究下面课题:为保证养殖户的经济效益,当地政府计划在价格下跌期间积极拓宽外销,请你预测该海鲜将在哪几个月内价格下跌.〚导学号21500520〛9.现需要设计一个仓库,它由上下两部分组成,上部的形状是底面为正方形的四棱锥P-A1B1C1D1,下部的形状是正四棱柱(底面为正方形的直棱柱)ABCD-A1B1C1D1(如图所示),并要求正四棱柱的高O1O是四棱锥的高PO1的4倍,O1,O分别为底面中心.(1)若AB=6m,PO1=2m,则仓库的容积是多少?(2)若四棱锥的侧棱长为6m,则当PO1为多少时,仓库的容积最大?三、创新应用组10.(2022江苏南京、盐城二模)在一张足够大的纸板上截取一个面积为3600平方厘米的矩形纸板ABCD,然后在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形,再把它的边沿虚线折起,做成一个无盖的长方体纸盒(如图).设小正方形的边长为x厘米,矩形纸板的两边AB,BC的长分别为a厘米和b厘米,其中a≥b.(1)当a=90时,求纸盒侧面积的最大值;(2)试确定a,b,x的值,使得纸盒的体积最大,并求出最大值.6\n〚导学号21500521〛课时规范练13 函数模型及其应用1.C 设利润为f(x)万元,则f(x)=25x-(3000+20x-0.1x2)=0.1x2+5x-3000(0<x<240,x∈N*).令f(x)≥0,得x≥150,∴生产者不亏本时的最低产量是150台.2.B 由题意,设利润为y元,租金定为(3000+50x)元(0≤x≤70,x∈N),则y=(3000+50x)(70-x)-100(70-x)=(2900+50x)(70-x)=50(58+x)(70-x)≤5058+x+70-x22=204800,当且仅当58+x=70-x,即x=6时,等号成立,故每月租金定为3000+300=3300(元)时,公司获得最大利润,故选B.3.D 已知s=12t2,车与人的间距d=(s+25)-6t=12t2-6t+25=12(t-6)2+7.当t=6时,d取得最小值7.4.解(1)设A,B两种产品都投资x万元(x≥0),所获利润分别为f(x)万元、g(x)万元,由题意可设f(x)=k1x,g(x)=k2x,根据题图可得f(x)=0.25x(x≥0),g(x)=2x(x≥0).(2)①由(1)得f(9)=2.25,g(9)=29=6,故总利润y=8.25(万元).②设B产品投入x万元,A产品投入(18-x)万元,该企业可获总利润为y万元,则y=14(18-x)+2x,0≤x≤18.令x=t,t∈[0,32],则y=14(-t2+8t+18)=-14(t-4)2+172.故当t=4时,ymax=172=8.5,此时x=16,18-x=2.所以当A,B两种产品分别投入2万元、16万元时,可使该企业获得最大利润8.5万元.5.解(1)根据所给的曲线,可设y=kt,0≤t≤1,12t-a,t>1.当t=1时,由y=4,得k=4,由121-a=4,得a=3.则y=4t,0≤t≤1,12t-3,t>1.(2)由y≥0.25,得0≤t≤1,4t≥0.25或t>1,12t-3≥0.25,解得116≤t≤5.因此服药一次后治疗有效的时间为5-116=7916(h).6.解(1)由题意可知x的取值范围为10≤x≤90.(2)y=5x2+52(100-x)2(10≤x≤90).(3)因为y=5x2+52(100-x)2=152x2-500x+250006\n=152x-10032+500003,所以当x=1003时,ymin=500003.故核电站建在距A城1003km处,才能使供电总费用y最少.7.解(1)由题意知p(x)=f(x)g(x)=41+1x(104-|x-23|)(1≤x≤30,x∈N*).(2)由p(x)=41+1x(81+x)(1≤x≤23,x∈N*),41+1x(127-x)(23<x≤30,x∈N*).①当1≤x≤23时,p(x)=41+1x(81+x)=482+x+81x≥4 82+2x·81x =400,当且仅当x=81x,即x=9时,p(x)取得最小值400.②当23<x≤30时,p(x)=41+1x(127-x)=4126+127x-x.设h(x)=127x-x,则有h'(x)=-127x2-1<0,故h(x)在(23,30]上为减函数,则p(x)在(23,30]上也是减函数,所以当x=30时,p(x)min=4126+12730-30=400730>400.所以当x=9时,p(x)取得最小值400万元.因为两年内的税收为400×15%×30×12×2×1.5%=648>600,所以600万元的投资可以在两年内收回.8.解(1)因为上市初期和后期价格呈持续上涨态势,而中期又将出现价格连续下跌,所以在给出的函数中应选模拟函数f(x)=x(x-q)2+p.(2)对于f(x)=x(x-q)2+p,由f(0)=4,f(2)=6,可得p=4,(2-q)2=1,又q>1,所以q=3,所以f(x)=x3-6x2+9x+4(0≤x≤5).(3)因为f(x)=x3-6x2+9x+4(0≤x≤5),所以f'(x)=3x2-12x+9,令f'(x)<0,得1<x<3.所以函数f(x)在(1,3)内单调递减,所以可以预测这种海鲜将在9月、10月两个月内价格下跌.9.解(1)由PO1=2m知O1O=4PO1=8m.因为A1B1=AB=6m,所以四棱锥P-A1B1C1D1的体积V锥=13·A1B12·PO1=13×62×2=24(m3);正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积V柱=AB2·O1O=62×8=288(m3).所以仓库的容积V=V锥+V柱=24+288=312(m3).(2)设A1B1=am,PO1=hm,则0<h<6,O1O=4h.连接O1B1.6\n因为在Rt△PO1B1中,O1B12+PO12=PB12,所以2a22+h2=36,即a2=2(36-h2).于是仓库的容积V=V柱+V锥=a2·4h+13a2·h=133a2h=263(36h-h3),0<h<6,从而V'=263(36-3h2)=26(12-h2).令V'=0,得h=23或h=-23(舍).当0<h<23时,V'>0,V是单调增函数;当23<h<6时,V'<0,V是单调减函数.故h=23时,V取得极大值,也是最大值.因此,当PO1=23m时,仓库的容积最大.10.解(1)因为矩形纸板ABCD的面积为3600平方厘米,故当a=90时,b=40,所以纸盒的侧面积S=2×x(90-2x)+2×x(40-2x)=-8x2+260x,x∈(0,20).因为S=-8x2+260x=-8x-6542+42252,故当x=654时,侧面积最大,最大值为42252平方厘米.(2)纸盒的体积V=(a-2x)(b-2x)x=x[ab-2(a+b)x+4x2],x∈0,b2,b≤60.V=x[ab-2(a+b)x+4x2]≤x(ab-4abx+4x2)=x(3600-240x+4x2)=4x3-240x2+3600x.当且仅当a=b=60时等号成立.设f(x)=4x3-240x2+3600x,x∈(0,30).则f'(x)=12(x-10)(x-30).于是当0<x<10时,f'(x)>0,所以f(x)在(0,10)内单调递增;当10<x<30时,f'(x)<0,所以f(x)在(10,30)内单调递减.因此当x=10时,f(x)有最大值f(10)=16000,此时a=b=60,x=10.故当a=b=60,x=10时纸盒的体积最大,最大值为16000立方厘米.6
