第六章 不等式、推理与证明第三节 基本不等式及其应用课时规范练A组——基础对点练1．(2020·长春调研)“a＞0，b＞0”是“ab＜()2”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：当a＞0，b＞0时，≥，即ab≤()2，当a＝b时，ab＜()2不成立，故“a＞0，b＞0”不是“ab＜()2”的充分条件．当ab＜()2时，a，b可以异号，故a＞0，b＞0不一定成立，故“a＞0，b＞0”不是“ab＜()2”的必要条件．故“a＞0，b＞0”是“ab＜()2”的既不充分也不必要条件，故选D.答案：D2．已知x＞0，y＞0，且x＋2y＝2，则xy( )A．有最大值为1 B．有最小值为1C．有最大值为D．有最小值为解析：因为x＞0，y＞0，x＋2y＝2，所以x＋2y≥2，即2≥2，xy≤，当且仅当x＝2y，即x＝1，y＝时，等号成立．所以xy有最大值，且最大值为.答案：C3．已知a＞0，b＞0，a，b的等比中项是1，且m＝b＋，n＝a＋，则m＋n的最小值是( )A．3B．4C．5D．6解析：由题意知ab＝1，∴m＝b＋＝2b，n＝a＋＝2a，∴m＋n＝2(a＋b)≥4＝4，当且仅当a＝b＝1时取等号，故m＋n的最小值为4.\n答案：B4．(2020·长春质量检测)已知x＞0，y＞0，且4x＋y＝xy，则x＋y的最小值为( )A．8B．9C．12D．16解析：由4x＋y＝xy得＋＝1，则x＋y＝(x＋y)·(＋)＝＋＋1＋4≥2＋5＝9，当且仅当＝，即x＝3，y＝6时取“＝”，故选B.答案：B5．若正数x，y满足4x2＋9y2＋3xy＝30，则xy的最大值为( )A.B．C.D．2解析：30＝4x2＋9y2＋3xy≥2＋3xy，即30≥15xy，所以xy≤2，当且仅当4x2＝9y2，即x＝，y＝时等号成立．故xy的最大值为2.答案：D6．若f(x)＝＋2x(x>1)，则f(x)的最小值为( )A．2B．2＋1C．2－2D．2＋2解析：因为f(x)＝＋2x＝＋2(x－1)＋2，又x>1，即x－1>0，所以f(x)≥2＋2＝2＋2，当且仅当＝2(x－1)，即x＝1＋时等号成立．所以f(x)的最小值为2＋2.故选D.答案：D7．已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值为( )A．3B．4C.D．解析：因为x＋2y＋2xy＝8.所以y＝>0，即0<x<8，\n所以x＋2y＝x＋2·＝x＋1＋－2≥2－2＝4，当且仅当x＋1＝，即x＝2，y＝1时，等号成立．故x＋2y的最小值是4.答案：B8．(2020·山东名校调研)若正数x，y满足3x＋y＝5xy，则4x＋3y的最小值是( )A．2 B．3C．4D．5解析：由3x＋y＝5xy，得＝＋＝5，所以4x＋3y＝(4x＋3y)·(＋)＝(4＋9＋＋)≥×(4＋9＋2)＝5，当且仅当＝，即y＝2x时，“＝”成立，故4x＋3y的最小值为5.答案：D9．已知x＞0，y＞0，2x＋y＝1，则＋的最小值为________．解析：目标式＋中出现了，由此可联想到将后面的变为与有关的式子，于是利用常值代换处理即可．因为2x＋y＝1，所以2＝4x＋2y，所以＋＝＋＝＋＋2≥2＋2＝6，当且仅当即x＝，y＝时取等号．所以＋的最小值为6.答案：610．若直线＋＝1(a>0，b>0)过点(1，2)，则2a＋b的最小值为__________．解析：由题设可得＋＝1，∵a>0，b>0，∴2a＋b＝(2a＋b)＝2＋＋＋2≥4＋2＝8.故2a＋b的最小值为8.答案：8B组——素养提升练\n11．(2020·天津模拟)若log4(3a＋4b)＝log2，则a＋b的最小值是( )A．6＋2B．7＋2C．6＋4D．7＋4解析：因为log4(3a＋4b)＝log2，所以log4(3a＋4b)＝log4(ab)，即3a＋4b＝ab，且即a>0，b>0，所以＋＝1(a>0，b>0)，a＋b＝(a＋b)·(＋)＝7＋＋≥7＋2＝7＋4，当且仅当＝时取等号，故选D.答案：D12．若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是( )A．[0，2]B．[－2，0]C．[－2，＋∞)D．(－∞，－2]解析：∵2x＋2y≥2＝2(当且仅当2x＝2y时等号成立)，∴≤，∴2x＋y≤，x＋y≤－2，故选D.答案：D13．(2020·宁夏银川一中检测)对一切实数x，不等式x2＋a|x|＋1≥0恒成立，则实数a的取值范围是( )A．(－∞，－2)B．[－2，＋∞)C．[－2，2]D．[0，＋∞)解析：当x＝0时，不等式x2＋a|x|＋1≥0恒成立，此时a∈R，当x≠0时，则有a≥＝－(|x|＋)，设f(x)＝－(|x|＋)，则a≥f(x)max，由基本不等式得|x|＋≥2(当且仅当|x|＝1时取等号)，则f(x)max＝－2，故a≥－2.故选B.答案：B14．(2020·沈阳模拟)设等差数列{an}的公差是d，其前n项和是Sn，若a1＝d＝1，则的最小值是________．解析：an＝a1＋(n－1)d＝n，Sn＝，所以＝＝≥＝，\n当且仅当n＝4时取等号．所以的最小值是.答案：15．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品________件．解析：设每件产品的平均费用为y元，由题意得y＝＋≥2＝20.当且仅当＝(x＞0)，即x＝80时“＝”成立．答案：80
