第八章 平面解析几何第七节 双曲线课时规范练A组——基础对点练1．双曲线－＝1(0＜m＜3)的焦距为( )A．6 B．12C．36D.2解析：c2＝36－m2＋m2＝36，∴c＝6.双曲线的焦距为12.答案：B2．双曲线8kx2－ky2＝8的一个焦点是(0，3)，则k的值是( )A．1B．－1C.D.－解析：kx2－＝1，焦点在y轴上，c＝3，解得k＝－1.答案：B3．(2020·山东滕州月考)已知双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1、F2，若双曲线的左支上有一点M到右焦点F2的距离为18，N是MF2的中点，O为坐标原点，则|NO|等于( )A.B．1C．2D.4解析：由双曲线－＝1，知a＝5，由双曲线定义|MF2|－|MF1|＝2a＝10，得|MF1|＝8，∴|NO|＝|MF1|＝4.答案：D4．(2020·湖南永州模拟)焦点是(0，±2)，且与双曲线－＝1有相同的渐近线的双曲线的方程是( )A．x2－＝1B．y2－＝1C．x2－y2＝2D.y2－x2＝2解析：由已知，双曲线焦点在y轴上，且为等轴双曲线，故选D.答案：D\n5．双曲线－＝1的渐近线方程是( )A．y＝±xB．y＝±xC．y＝±xD.y＝±x解析：双曲线－＝1中，a＝3，b＝2，双曲线的渐近线方程为y＝±x.答案：C6．(2020·石家庄模拟)若双曲线M：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别是F1、F2，P为双曲线M上一点，且|PF1|＝15，|PF2|＝7，|F1F2|＝10，则双曲线M的离心率为( )A．3B．2C.D.解析：P为双曲线M上一点，且|PF1|＝15，|PF2|＝7，|F1F2|＝10，由双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝2a＝8，|F1F2|＝2c＝10，则双曲线的离心率为：e＝＝.答案：D7．(2020·彭州模拟)设F为双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，过坐标原点的直线依次与双曲线C的左、右支交于点P、Q，若|PQ|＝2|QF|，∠PQF＝60°，则该双曲线的离心率为( )A.B．1＋C．2＋D.4＋2解析：∠PQF＝60°，因为|PQ|＝2|QF|，所以∠PFQ＝90°，设双曲线的左焦点为F1，连接F1P，F1Q，由对称性可知，四边形F1PFQ为矩形，且|F1F|＝2|QF|，|QF1|＝|QF|，故e＝＝＝＝＋1.答案：B8．若a>1，则双曲线－y2＝1的离心率的取值范围是( )A．(，＋∞)B．(，2)C．(1，)D.(1，2)解析：依题意得，双曲线的离心率e＝，因为a>1，所以e∈(1，)，故选C.\n答案：C9．已知双曲线C：－＝1的离心率e＝，且其右焦点为F2(5，0)，则双曲线C的方程为________．解析：因为e＝＝，F2(5，0)，所以c＝5，a＝4，b2＝c2－a2＝9，所以双曲线C的标准方程为－＝1.答案：－＝110．已知双曲线经过点(2，1)，其一条渐近线方程为y＝x，则该双曲线的标准方程为________．解析：设双曲线方程为：mx2＋ny2＝1(mn＜0)，由题意可知：解得：则双曲线的标准方程为－y2＝1.答案：－y2＝1B组——素养提升练11．等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，|AB|＝4，则C的实轴长为( )A.B．2C．4D.8解析：抛物线y2＝16x的准线方程是x＝－4，所以点A(－4，2)在等轴双曲线C：x2－y2＝a2(a>0)上，将点A的坐标代入得a＝2，所以C的实轴长为4.答案：C12．已知双曲线－＝1与直线y＝2x有交点，则双曲线离心率的取值范围为( )A．(1，)B．(1，]C．(，＋∞)D.[，＋∞)解析：∵双曲线的一条渐近线方程为y＝x，则由题意得>2，\n∴e＝＝>＝.答案：C13．设F1、F2分别是双曲线－＝1的左、右焦点，若双曲线上存在点A，使∠F1AF2＝90°且|AF1|＝3|AF2|，则双曲线的离心率为( )A.B．C.D.解析：因为∠F1AF2＝90°，故|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2＝4c2，又|AF1|＝3|AF2|，且|AF1|－|AF2|＝2a，所以|AF1|＝3a，|AF2|＝a，则10a2＝4c2，即＝，故e＝＝(负值舍去)．答案：B14．(2020·贵阳市高三监测)双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域(不含边界)，若点(2，1)在“右”区域内，则双曲线离心率e的取值范围是( )A．(1，)B．(，＋∞)C．(1，)D.(，＋∞)解析：依题意，注意到题中的双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，且“右”区域是不等式组所确定，又点(2，1)在“右”区域内，于是有1＜，即＞，因此题中的双曲线的离心率e＝∈(，＋∞)，选B.答案：B15．(2020·开封模拟)已知F1(－4，0)，F2(4，0)是双曲线C：－＝1(m＞0)的两个焦点，点M是双曲线C上一点，且∠F1MF2＝60°，则△F1MF2的面积为________．解析：因为F1(－4，0)，F2(4，0)是双曲线C：－＝1(m＞0)的两个焦点，所以m\n＋4＝16，所以m＝12，设|MF1|＝m′，|MF2|＝n，因为点M是双曲线上一点，且∠F1MF2＝60°，所以|m′－n|＝4①，m′2＋n2－2m′ncos60°＝64②，由②－①2得m′n＝16，所以△F1MF2的面积S＝m′nsin60°＝4.答案：416．(2020·唐山模拟)已知P是双曲线－＝1右支上一点，F1、F2分别为左、右焦点，且焦距为2c，则△PF1F2的内切圆圆心的横坐标是________．解析：如图所示，内切圆圆心M到各边的距离分别为|MA|，|MB|，|MC|，切点分别为A，B，C，由三角形的内切圆的性质则有：|CF1|＝|AF1|，|AF2|＝|BF2|，|PC|＝|PB|，所以|PF1|－|PF2|＝|CF1|－|BF2|＝|AF1|－|AF2|＝2a，又|AF1|＋|AF2|＝2c，所以|AF1|＝a＋c，则|OA|＝|AF1|－|OF1|＝a.因为M的横坐标和A的横坐标相同，所以M的横坐标为a.答案：a
