第3讲命题、充分条件与必要条件1．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( )A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”解析：选B.依题意，得原命题的逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数．2．(2022·大连质检)命题“若a，b，c成等比数列，则b2＝ac”的逆否命题是( )A．“若a，b，c成等比数列，则b2≠ac”B．“若a，b，c不成等比数列，则b2≠ac”C．“若b2＝ac，则a，b，c成等比数列”D．“若b2≠ac，则a，b，c不成等比数列”解析：选D.根据原命题与其逆否命题的关系，易得命题“若a，b，c成等比数列，则b2＝ac”的逆否命题是“若b2≠ac，则a，b，c不成等比数列”．3．(2022·蚌埠质检)函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期大于π的充分不必要条件是( )A．ω＝1 B．ω＝2C．ω<1D．ω>2解析：选A.f(x)的最小正周期大于π⇔T＝>π⇔0<|ω|<2，故选A.4．设集合A＝{x∈R|x－2>0}，B＝{x∈R|x<0}，C＝{x∈R|x(x－2)>0}，则“x∈A∪B”是“x∈C”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C.由题意得A∪B＝{x∈R|x<0或x>2}，C＝{x∈R|x<0或x>2}，故A∪B＝C，则“x∈A∪B”是“x∈C”的充要条件．5．(2022·江西省八校联考)在△ABC中，“·＝·”是“||＝||”成立的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C.·＝·⇔·(＋)＝0⇔AB与AB边上的中线垂直⇔||＝||.6．命题“若x2＋3x－4＝0，则x＝－4”的逆否命题及其真假性为( )A．“若x＝－4，则x2＋3x－4＝0”为真命题B．“若x≠－4，则x2＋3x－4≠0”为真命题C．“若x≠－4，则x2＋3x－4≠0”为假命题D．“若x＝－4，则x2＋3x－4＝0”为假命题解析：选C.根据逆否命题的定义可以排除A，D，因为x2＋3x－4＝0，所以x＝－4或1，故选C.7．(2022·宿州质检)“a>－1”是“函数f(x)＝x＋a|x－1|在R上是增加的”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.函数f(x)＝x＋a|x－1|＝在R上是增加的充要条件是4\n即－1<a<1，故选B.8．已知直线l，m，其中只有m在平面α内，则“l∥α”是“l∥m”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.当l∥α时，直线l与平面α内的直线m平行、异面都有可能，所以l∥m不成立；当l∥m时，根据直线与平面平行的判定定理知直线l∥α，即“l∥α”是“l∥m”的必要不充分条件，故选B.9．(2022·高考浙江卷)设a，b是实数，则“a＋b>0”是“ab>0”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选D.特值法：当a＝10，b＝－1时，a＋b＞0，ab＜0，故a＋b＞0⇒/ab＞0；当a＝－2，b＝－1时，ab＞0，但a＋b＜0，所以ab＞0⇒/a＋b＞0.故“a＋b＞0”是“ab＞0”的既不充分也不必要条件．10．下列选项中，p是q的必要不充分条件的是( )A．p：x＝1，q：x2＝xB．p：|a|>|b|，q：a2>b2C．p：x>a2＋b2，q：x>2abD．p：a＋c>b＋d，q：a>b且c>d解析：选D.A中，x＝1⇒x2＝x，x2＝x⇒x＝0或x＝1x＝1，故p是q的充分不必要条件；B中，因为|a|>|b|，根据不等式的性质可得a2>b2，反之也成立，故p是q的充要条件；C中，因为a2＋b2≥2ab，由x>a2＋b2，得x>2ab，反之不成立，故p是q的充分不必要条件；D中，取a＝－1，b＝1，c＝0，d＝－3，满足a＋c>b＋d，但是a<b，c>d，反之，由同向不等式可加性得a>b，c>d⇒a＋c>b＋d，故p是q的必要不充分条件．综上所述，故选D.11．(2022·郑州联考)已知a，b为非零向量，则“函数f(x)＝(ax＋b)2为偶函数”是“a⊥b”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C.因为f(x)＝(ax＋b)2＝a2x2＋2a·bx＋b2，且f(x)＝(ax＋b)2为偶函数，所以2a·b＝0，即a·b＝0，所以a⊥b；若a⊥b，则有a·b＝0，所以f(x)＝(ax＋b)2＝a2x2＋2a·bx＋b2＝a2x2＋b2为偶函数，所以“函数f(x)＝(ax＋b)2为偶函数”是“a⊥b”的充要条件，故选C.12．已知p：x≥k，q：(x＋1)(2－x)<0，如果p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是( )A．[2，＋∞) B．(2，＋∞)C．[1，＋∞)D．(－∞，－1]解析：选B.由q：(x＋1)(2－x)<0，得x<－1或x>2，又p是q的充分不必要条件，所以k>2，即实数k的取值范围是(2，＋∞)，故选B.13．在命题“若m>－n，则m2>n2”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是________．解析：原命题为假命题，逆否命题也为假命题，逆命题也是假命题，否命题也是假命题．故假命题个数为3.答案：314．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图像关于直线x＝1对称的充要条件是________．解析：已知函数f(x)＝x2－2x＋1的图像关于直线x＝1对称，则m＝－2；反之也成立．所以函数f(x)＝x2＋mx＋1的图像关于直线x＝1对称的充要条件是m＝－2.4\n答案：m＝－215．若命题“ax2－2ax－3>0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是________．解析：由题意知ax2－2ax－3≤0恒成立，当a＝0时，－3≤0成立；当a≠0时，得解得－3≤a<0，故－3≤a≤0.答案：[－3，0]16．(2022·榆林一模)已知命题p：实数x满足－2≤1－≤2；命题q：实数x满足x2－2x＋(1－m2)≤0(m>0)．若綈p是綈q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是________．解析：令A＝{x|－2≤1－≤2}＝{x|－2≤x≤10}，B＝{x|x2－2x＋(1－m2)≤0，m>0}＝{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}．因为“若綈p，则綈q”的逆否命题为“若q，则p”，而綈p是綈q的必要不充分条件，所以q是p的必要不充分条件，所以p⇒q，即AB，故(等号不同时取到)，解得m≥9.答案：[9，＋∞)1．(2022·高考福建卷)“对任意x∈(0，)，ksinxcosx＜x”是“k＜1”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.令f(t)＝sint－t，则f′(t)＝cost－1≤0恒成立，所以f(t)＝sint－t在[0，π]上是减函数，f(t)≤f(0)＝0，所以sint<t(0<t<π)．令t＝2x，则sin2x＜2x(0<x<)，所以2sinxcosx<2x，所以sinxcosx<x.当k<1时，ksinxcosx<x，故必要性成立；当x＝时，ksin2x<2x可化为k<＝，而>，取k＝，不等式成立，但此时k>1，故充分性不成立．2．已知集合A＝，B＝{x|－1＜x＜m＋1，x∈R}，若x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，则实数m的取值范围是________．解析：A＝＝{x|－1＜x＜3}，因为x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，所以AB，所以m＋1＞3，即m＞2.答案：(2，＋∞)3．已知集合A＝，B＝{x|x＋m2≥1}．p：x∈A，q：x∈B，并且p是q的充分条件，求实数m的取值范围．4\n解：化简集合A，由y＝x2－x＋1.配方得y＝＋.因为x∈，所以ymin＝，ymax＝2.所以y∈.所以A＝.化简集合B，由x＋m2≥1，得x≥1－m2，B＝.因为命题p是命题q的充分条件，所以A⊆B.所以1－m2≤，解得m≥或m≤－.所以实数m的取值范围是∪.4．已知两个关于x的一元二次方程mx2－4x＋4＝0和x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，求两方程的根都是整数的充要条件．解：因为mx2－4x＋4＝0是一元二次方程，所以m≠0.又另一方程为x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，且两方程都要有实根，所以解得m∈.因为两方程的根都是整数，故其根的和与积也为整数，所以所以m为4的约数．又因为m∈，所以m＝－1或1.当m＝－1时，第一个方程x2＋4x－4＝0的根为非整数；而当m＝1时，两方程的根均为整数，所以两方程的根均为整数的充要条件是m＝1.4
