第七章 不等式第二节 二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题A级·基础过关|固根基|1.不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)应是( )A B C D解析：选C (x－2y＋1)(x＋y－3)≤0⇔或结合图形可知选C．2．(2019届南昌一模)设不等式组表示的平面区域为M，若直线y＝kx经过区域M内的点，则实数k的取值范围为( )A．B．C．D．解析：选C 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，即三角形ABC(含边界)，由得点A(2，1)，由得点C(1，2)．又直线OA的斜率为kOA＝，直线OC的斜率为kOC＝2，而直线y＝kx表示过原点O的直线，因此根据题意可得kOA≤k≤kOC，即≤k≤2.\n3．(2019年浙江卷)若实数x，y满足约束条件则z＝3x＋2y的最大值是( )A．－1B．1C．10D．12解析：选C 作出可行域如图中阴影部分所示，数形结合可知，当直线z＝3x＋2y过点A(2，2)时，z取得最大值，zmax＝6＋4＝10.故选C．4．(2020届贵阳摸底)已知实数x，y满足约束条件则z＝3x＋y的最小值为( )A．11B．9C．8D．3解析：选C 根据不等式组画出可行域如图中阴影部分所示，作出直线y＝－3x并平移，则当直线y＝－3x＋z过点B时，z最小，由得即B(2，2)，故z的最小值为3×2＋2＝8.故选C．5．(2019届昆明市质检)若x，y满足约束条件且z＝x＋2y，则( )A．z有最小值也有最大值B．z无最小值也无最大值C．z有最小值无最大值D．z有最大值无最小值解析：选C 作出可行域如图中阴影部分所示，z＝x＋2y可变形为y＝－x＋，所以z\n的几何意义为直线y＝－x＋的纵截距的两倍，结合图形可知，当直线z＝x＋2y过A点时，z取最小值，无最大值．6．(2019届郑州市第二次质量预测)设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝的最大值为( )A．B．C．3D．4解析：选C 可行域如图中阴影部分所示，目标函数z＝，设u＝3x＋y，欲求z＝的最大值，等价于求u＝3x＋y的最小值．u＝3x＋y可化为y＝－3x＋u，该直线的纵截距为u，作出直线y＝－3x并平移，当直线y＝－3x＋u经过点B(－1，2)时，纵截距u取得最小值umin＝3×(－1)＋2＝－1，所以z＝的最大值zmax＝＝3.故选C．7．设x，y满足约束条件则的取值范围是( )A．[1，5]B．[2，6]C．[2，10]D．[3，11]解析：选D 设z＝＝＝1＋2·，设z′＝，则z\n′的几何意义为动点P(x，y)与定点D(－1，－1)连线的斜率．画出可行域如图中阴影部分所示，易知B(0，4)，A，则z′∈[kDA，kDB]，又kDB＝＝5，kDA＝＝1，∴z′∈[1，5]，所以z＝1＋2z′∈[3，11]．8．(2019届济南市高考模拟)已知变量x，y满足约束条件若z＝2x－y，则z的取值范围是( )A．[－5，6)B．[－5，6]C．(2，9)D．[－5，9]解析：选A 作出可行域如图中阴影部分所示，由z＝2x－y，得y＝2x－z，作出直线y＝2x，并平移，可知当直线经过点A(－2，1)时，z取得最小值，zmin＝2×(－2)－1＝－5；当直线经过点B(2，－2)时，z取得最大值，zmax＝2×2＋2＝6.由于点B不在可行域内，所以z∈[－5，6)，故选A．9．已知实数x，y满足约束条件则z＝1－y－3x的最大值为________．解析：作出可行域如图中阴影部分所示，由得即B(3，1)．由图可知，直线z＝1－y－3x经过点B(3，1)时，z取得最大值，zmax＝1－1－3×3＝－9.\n答案：－910．已知x，y满足若使得z＝ax＋y取最大值的点(x，y)有无数个，则a的值等于________．解析：先根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分所示，当直线z＝ax＋y能和直线AB重合时，z取得最大值的点(x，y)有无数个，∴－a＝kAB＝1，∴a＝－1.答案：－1B级·素养提升|练能力|11.(2020届成都摸底)若实数x，y满足约束条件则z＝x－2y的最小值为( )A．0B．2C．4D．6解析：选A 解法一：画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由z＝x－2y得y＝x－z，作出y＝x并平移，由图可知，当动直线y＝x－z经过点A时，z取得小值，由得A1，，即zmin＝1－2×＝0，故选A．\n解法二：由得此时z＝0；由得此时z＝2；由得此时z＝1.综上所述，z最小值为0，故选A．12．(2019届南昌市重点中学测试)记不等式组的解集为D，若∀(x，y)∈D，不等式a≤2x＋y恒成立，则a的取值范围是( )A．(－∞，3]B．[3，＋∞)C．(－∞，6]D．(－∞，8]解析：选C 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，设z＝2x＋y，作出直线2x＋y＝0，并平移，由图知目标函数z＝2x＋y取得最小值的最优解为A(1，4)，所以目标函数z＝2x＋y的最小值为6.因为∀(x，y)∈D，不等式a≤2x＋y恒成立，所以a≤6，故选C．13．(2019届江西五校联考)设点M是表示的区域Ω1内任一点，点N是区域Ω1关于直线l：y＝x的对称区域Ω2内的任一点，则|MN|的最大值为( )A．B．2C．4D．5解析：选D 不等式组表示的区域Ω1如图中阴影部分所示，因为区域Ω1与区域Ω2关于直线y＝x对称，并且M是区域Ω1内任一点，N是区域Ω2内任一点，所以当点M到直线y＝x的距离最大，并且点N为M关于直线y＝x的对称点时，|MN\n|最大，最大值为点M到直线y＝x距离的2倍，因此转化为求区域Ω1内的点到直线y＝x的距离的最大值，由图可知点A(－4，1)到直线y＝x的距离最大，为，所以|MN|的最大值为5.14．设实数x，y满足则u＝－的取值范围为( )A．B．C．D．解析：选D 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，令＝t，由图可得kBO≤t≤kOA，而≤t≤2，则u＝t－在上显然是增函数，所以当t＝时，umin＝－；当t＝2时，umax＝，因此u＝－的取值范围为.15．设x，y满足约束条件若目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)的最小值为2，则ab的最大值为( )A．1B．C．D．解析：选D作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线ax＋by＝0(a>0，b>0)并平移，可知在点A(2，3)处，目标函数z＝\nax＋by(a>0，b>0)取得最小值2，故2a＋3b＝2≥2，当且仅当2a＝3b，即a＝，b＝时取等号，所以ab≤，故选D．16．(2019届河北五个一名校联盟模拟)某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的限量如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得的最大利润为( )甲乙原料限量A/吨3212B/吨128A．16万元B．17万元C．18万元D．19万元解析：选C 设该企业每天生产x吨甲产品，y吨乙产品，可获得利润为z万元，则z＝3x＋4y，且x，y满足不等式组作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线3x＋4y＝0并平移，可知当直线经过点A(2，3)时，z取得最大值，zmax＝3×2＋4×3＝18(万元)．故选C．
