课后限时集训(六) 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题建议用时:25分钟一、选择题1.不等式x2-y2≤0表示的平面区域(用阴影部分表示)应是( )A B C DD [x2-y2≤0⇔(x+y)(x-y)≤0⇔或结合图形可知选D.]2.点(3,1)和(-4,6)在直线3x-2y+a=0的两侧,则( )A.a<-7或a>24B.-7<a<24C.a=-7或a=24D.以上都不正确B [点(3,1)和(-4,6)在直线3x-2y+a=0的两侧,说明将这两点坐标代入3x-2y+a后,符号相反,所以(9-2+a)(-12-12+a)<0,解得-7<a<24.]3.已知实数x,y满足约束条件则目标函数z=的最小值为( )A.-B.-C.-D.-B [作出不等式组对应的平面区域如图:目标函数z=的几何意义为动点M(x,y)与定点D(-1,2)的斜率,当M位于A时,此时DA的斜率最小,此时zmin==-.故选B.]4.若x,y满足条件则目标函数z=x2+y2的最小值是( )A.B.2\nC.4D.B [作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示.过原点O(0,0)作直线x+y-2=0的垂线,垂线段的长度d==,易知zmin=d2=2,故选B.]5.若x,y满足且z=3x-y的最大值为2,则实数m的值为( )A.B.C.1D.2D [由选项得m>0,作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示.因为z=3x-y,所以y=3x-z,当直线y=3x-z经过点A时,直线在y轴上的截距-z最小,即目标函数取得最大值2.由得A(2,4),代入直线mx-y=0得2m-4=0,所以m=2.]6.x,y满足约束条件若z=ax-y取得最大值的最优解不唯一,则实数a的值为( )A.-1B.2C.D.2或-1C [作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示.由z=ax-y得y=ax-z,即直线y=ax-z在y轴上的截距最小时z最大.①若a=0,则y=-z,此时,目标函数只在B处取得最大值,不满足条件.②若a>0,则目标函数y=ax-z的斜率k=a>0,要使z=ax-y取得最大值的最优解不唯一,则直线y=ax-z与直线x-2y-4=0平行,此时a=.③若a<0,显然不满足题意.故选C.]7.(2020·湖南湘潭一中模拟)太极图被称为“中华第一图”,从孔庙大成殿梁柱,到楼观台,三茅宫标记物;从道袍、卦摊、中医、气功、武术到韩国国旗……,太极图无不跃居其上,这种广为人知的太极图,其形状如阴阳两鱼互抱在一起,因而被称为“阴阳鱼太极图”.在如图所示的阴阳鱼图案中,阴影部分可表示为A=,设点(x,y)∈A,则z=2x+y的最大值与最小值之和是( )\nA.1-2B.1-C.1+D.1+2B [如图,作直线2x+y=0,当直线上移与圆x2+(y-1)2=1相切时,z=2x+y取最大值,此时,圆心(0,1)到直线z=2x+y的距离等于1,即=1,解得zmax=+1.当下移与圆x2+y2=4相切时,z=2x+y取最小值,同理,=2,即zmin=-2,所以z=2x+y的最大值与最小值之和是1-.故选B.]二、填空题8.不等式组表示的平面区域的面积为________.3 [依据不等式组画出可行域,如图阴影部分所示.平面区域为△ABC及其内部,其中A(2,0),B(0,2),C(2,3).所以所求面积为S=×2×|AC|=3.]9.(2019·北京高考)若x,y满足则y-x的最小值为________,最大值为________.-3 1 [作出可行域,如图中阴影部分所示.设y-x=z,则y=x+z,当直线y=x+z的纵截距最大时,z有最大值,当直线y=x+z的纵截距最小时,z有最小值.由图可知,当直线y=x+z过点A时,z有最大值,联立可得即A(2,3),\n所以zmax=3-2=1;当直线y=x+z过点B(2,-1)时,z有最小值,所以zmin=-1-2=-3.]10.(2020·深圳模拟)给出平面区域为图中四边形ABOC内部及其边界,目标函数为z=ax-y,若当且仅当x=1,y=1时,目标函数z取得最小值,则实数a的取值范围是________. [由可行域可知,直线AC的斜率kAC==-1,直线AB的斜率kAB==-.因为当直线z=ax-y的斜率介于直线AC与直线AB的斜率之间时,A(1,1)是目标函数z=ax-y取得最小值的唯一最优解,所以-1<a<-.]11.某蛋糕店计划每天生产蛋糕、面包、酥点这三种糕点共100份,生产一份蛋糕需5分钟,生产一份面包需7分钟,生产一份酥点需4分钟,已知总生产时间不超过10小时,若生产一份蛋糕可获利润5元,生产一份面包可获利润6元,生产一份酥点可获利润3元.若用每天生产的蛋糕份数x与面包份数y表示每天的利润ω(元),则ω的最大值为________元.550 [依题意可知每天生产的酥点份数为100-x-y,所以利润ω=5x+6y+3(100-x-y)=2x+3y+300.约束条件为整理得目标函数为ω=2x+3y+300,作出可行域,如图中阴影部分所示.作初始直线l0:2x+3y=0,平移l0,当l0经过点A时,ω有最大值,由得所以最优解为A(50,50),此时ωmax=550元.]1.(2020·南阳模拟)已知O是坐标原点,点A(-1,1),若点M(x,y)为平面区域上的一个动点,则·的取值范围是( )A.(0,2]B.(2,4)C.[0,2]D.[2,4]C [作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,因为点A(-1,1),点M(x,y),所以·=y-x,令y-x=m,平移直线y-x=m,由图可知,当直线经过点D(1,1)时,m取得最小值,且最小值为0,当直线经过点C(0,2)时,m\n取得最大值,且最大值为2,所以y-x的取值范围是[0,2],故·的取值范围是[0,2],故选C.]2.(2020·江西五市联考)已知实数x,y满足不等式组若点P(2a+b,3a-b)在该不等式组所表示的平面区域内,则的取值范围是( )A.[-12,-7]B.C.D.[-12,-2]C [因为点P(2a+b,3a-b)在不等式组所表示的平面区域内,所以即其表示的平面区域是以A,B,C为顶点的三角形区域,如图中阴影部分所示(包括边界).可看作是可行域内的点与点M(1,-2)连线的斜率,所以kMB≤≤kMC,即-12≤≤-.]