第65课双曲线及其标准方程1．（2022浦东一模）若双曲线和双曲线的焦点相同，且给出下列四个结论：①；②；③；④；其中所有正确的结论序号是（）A.①②B.①③C.②③D.①④【答案】B2．（2022全国高考）已知、为双曲线的左、右焦点，点在上，，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】双曲线的方程为，∴，∵，∴点在双曲线的右支上，则有，∴，，∴，选C．3．已知双曲线的左、右焦点为、，点为左支上一点，且满足，则的面积为____________．【答案】【解析】设，则，∴，∴，∴．4\n4．在平面直角坐标系中，已知的顶点和，若顶点在双曲线的左支上，则．【答案】【解析】∵和是双曲线的两焦点，∴，∴．5.已知双曲线，过能否作直线与双曲线交于、两点，且是线段的中点？【解析】当直线的斜率不存在时，显然不符合题意．设直线的方程为，，由，得，∵直线与双曲线交于、两点，∴，∴，设,∴，如果是线段的中点，则，即，解得，∵与矛盾，∴过不能作直线与双曲线交于、两点，使是线段的中点．4\n6．（2022四川高考）如图，动点与两定点、构成，且直线的斜率之积为4，设动点的轨迹为．（1）求轨迹的方程；（2）设直线与轴交于点，与轨迹相交于点，且，求的取值范围．【解析】（1）设的坐标为，当时，直线的斜率不存在；当时，直线的斜率不存在．∴．此时，的斜率为，的斜率为.∴，即，∴轨迹为的方程为．……4分（2）由，得，(﹡)∴．而当或为方程（*）的根时，的值为或．∴，且．设、的坐标分别为,则为方程（*）的两根.∵，∴，∴∴．此时,且，∴,且,∴,且,综上所述，的取值范围是．4\n4
