第66课双曲线的简单几何性质1．（2022湖南高考）已知双曲线：的焦距为，点在的渐近线上，则的方程为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设双曲线的半焦距为，．又∵的渐近线为，点在的渐近线上，∴，即．又∵，∴，∴的方程为．2．（2022浙江高考）如图，中心均为原点的双曲线与椭圆有公共焦点，是双曲线的两顶点．若将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设椭圆的长轴为，双曲线的长轴为，由将椭圆长轴四等分，则，即，∵双曲线与椭圆有公共焦点，设焦距均为，∴双曲线的离心率为，，．3．（2022惠州一模）设和为双曲线的两个焦点，若，是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵，∴，∴，∴．4．（2022汕头一模）已知、分别是双曲线的左、右焦点，是双曲线上的一点，若，且的三条边长成等差数列，则双曲线的离心率是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】不妨设是双曲线右支上的一点，设，∵的三条边长成等差数列，，3\n∴，，∴，∴，∴，∴，或（舍去）．5．（2022湛江二模）已知椭圆:的左、右顶点分别是、，是双曲线:右支轴上方的一点，连结交椭圆于点，连结并延长交椭圆于点．（1）若，求椭圆及双曲线的离心率；（2）若和的面积相等，求点的坐标(用，表示）．【解析】（1）∵，∴在椭圆中，，∴椭圆的离心率为，∴在双曲线中，，∴椭圆的离心率为．（2）设、的坐标分别为、，依题意：、的坐标分别为、，∵和的面积相等，∴，∴，代人椭圆方程，得，即，①由在双曲线的右支上，得，②将②代人①化简得：，∴或（舍去），∴，∴点的坐标为．3\n6．（2022上海高考）在平面直角坐标系中，已知双曲线．（1）设是的左焦点，是右支上一点．若，求过点的坐标；（2）过的左顶点作的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积；（3）设斜率为的直线交于、两点，若与圆相切，求证：．【解析】（1）双曲线：，左焦点．设，则，由是右支上一点，知，∴，得．∴．（2）左顶点，渐近线方程：．过与渐近线平行的直线方程为．解方程组，得．所求平行四边形的面积为．（3）设直线的方程是．∵直线与已知圆相切，∴，即(*)．由，得．设，则．，∴，．由(*)知，∴．3
