专题04导数与函数的单调性一、选择题1.【三角变换及导数的应用】【2022，新课标1文数】若函数在单调递增,则a的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C2.【利用导数研究函数的性质】【2022，湖南，文8】设函数，则是()A.奇函数，且在（0,1）上是增函数B.奇函数，且在（0,1）上是减函数C.偶函数，且在（0,1）上是增函数D.偶函数，且在（0,1）上是减函数【答案】A二、非选择题3.【利用导数研究函数的单调性，不等式的证明与解法】【2022，新课标Ⅲ文数】设函数．（I）讨论的单调性；（II）证明当时，；（III）设，证明当时，.【答案】（Ⅰ）当时，单调递增；当时，单调递减；（Ⅱ）略；（Ⅲ）略．4.【导数的运算，利用导数研究函数的性质、证明不等式】【2022，天津文数】设函数，，其中（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）若存在极值点，且，其中，求证：；（Ⅲ）设，函数，求证：在区间上的最大值不小于.7\n【答案】（Ⅰ）递减区间为，递增区间为，.（Ⅱ）略（Ⅲ）略5.【导数的运算；利用导数求函数的单调性、最值，解决恒成立问题】【2022，四川文科】设函数，，其中，e=2.718…为自然对数的底数.（Ⅰ）讨论f(x)的单调性；（Ⅱ）证明：当x＞1时，g(x)＞0；（Ⅲ）确定的所有可能取值，使得在区间（1，+∞）内恒成立.【答案】（1）当时，<0，单调递减；当时，>0，单调递增；（2）证明详见解析；（3）.6.【导数的综合应用】【2022，福建，文22】已知函数．(Ⅰ)求函数的单调递增区间；（Ⅱ）证明：当时，；（Ⅲ）确定实数的所有可能取值，使得存在，当时，恒有．【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）．2022年真题1.【导函数的图象】【2022浙江，7】函数y=f(x)的导函数的图像如图所示，则函数y=f(x)的图像可能是（）7\n【答案】D【名师点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与轴的交点为，且图象在两侧附近连续分布于轴上下方，则为原函数单调性的拐点，运用导数知识来讨论函数单调性时，由导函数的正负，得出原函数的单调区间．2.【导数的综合应用】【2022课标1，文21】已知函数=ex(ex﹣a)﹣a2x．（1）讨论的单调性；（2）若，求a的取值范围．【答案】（1）当，在单调递增；当，在单调递减，在单调递增；当，在单调递减，在单调递增；（2）．当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增．7\n③若，则由得．当时，；当时，，故在单调递减，在单调递增．（2）①若，则，所以．②若，则由（1）得，当时，取得最小值，最小值为．从而当且仅当，即时，．③若，则由（1）得，当时，取得最小值，最小值为．从而当且仅当，即时．综上，的取值范围为．【名师点睛】本题主要考查导数的两大方面的应用：（一）函数单调性的讨论：运用导数知识来讨论函数单调性时，首先考虑函数的定义域，再求出，有的正负，得出函数的单调区间；（二）函数的最值（极值）的求法：由确认的单调区间，结合极值点的定义及自变量的取值范围，得出函数极值或最值．3.【利用导数求函数单调区间，利用导数研究不等式恒成立】【2022课标II，文21】设函数.（1）讨论的单调性；（2）当时，，求的取值范围.【答案】（Ⅰ）在和单调递减，在单调递增（Ⅱ）所以在和单调递减，在单调递增7\n(2)当a≥1时，设函数h(x)=（1-x）ex，h’(x)=-xex＜0（x＞0），因此h(x)在[0，+∞)单调递减，而h(0)=1，故h(x)≤1，所以f(x)=（x+1）h(x)≤x+1≤ax+1当0＜a＜1时，设函数g（x）=ex-x-1，g’（x）=ex-1＞0（x＞0），所以g（x）在在[0，+∞)单调递增，而g(0)=0，故ex≥x+1当0＜x＜1，，，取则当时，取综上，a的取值范围[1，+∞）【名师点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.4.【利用导数求单调性，利用导数证不等式】【2022课标3，文21】已知函数=lnx+ax2+(2a+1)x．（1）讨论的单调性；（2）当a﹤0时，证明．【答案】（1）当时，在单调递增；当时，则在单调递增，在单调递减；（2）详见解析（2）由（1）知，当时，，7\n，令（），则，解得，∴在单调递增，在单调递减，∴，∴，即，∴.【名师点睛】利用导数证明不等式常见类型及解题策略
(1)构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.5.【导数的几何意义，导数求函数的单调区间，导数的综合应用】【2022天津，文19】设，.已知函数，.（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）已知函数和的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线，（i）求证：在处的导数等于0；（ii）若关于x的不等式在区间上恒成立，求b的取值范围.【答案】（Ⅰ）递增区间为，，递减区间为.（2）（ⅰ）在处的导数等于0.（ⅱ）的取值范围是.【解析】当变化时，，的变化情况如下表：7\n所以，的单调递增区间为，，单调递减区间为.（II）（i）因为，由题意知，所以，解得.所以，在处的导数等于0.（ii）因为，，由，可得.又因为，，故为的极大值点，由（I）知.另一方面，由于，故，由（I）知在内单调递增，在内单调递减，故当时，在上恒成立，从而在上恒成立.由，得，.令，，所以，令，解得（舍去），或.因为，，，故的值域为.所以，的取值范围是.【名师点睛】本题本题考点为导数的应用，本题属于中等问题，第一问求导后要会分解因式，并且根据条件能判断两个极值点的大小关系，避免讨论，第二问导数的几何意义，要注意切点是公共点，切点处的导数相等的条件，前两问比较容易入手，但第三问，需分析出，同时根据单调性判断函数的最值，涉及造函数解题较难，这一问思维巧妙，有选拔优秀学生的功能.7
