第4讲专题求解平衡问题的常用方法及特例1.图2－4－10如图2－4－10所示，用绳OA、OB和OC吊着重物P处于静止状态，其中绳OA水平，绳OB与水平方向成θ角．现用水平向右的力F缓慢地将重物P拉起，用FA和FB分别表示绳OA和绳OB的张力，那么( )A．FA、FB、F均增大B．FA增大，FB不变，F增大C．FA不变，FB减小，F增大D．FA增大，FB减小，F减小解析：把OA、OB和OC三根绳和重物P看作一个整体，整体受到重力mg，A点的拉力FA，方向沿着OA绳水平向左，B点的拉力FB，方向沿着OB绳斜向右上方，水平向右的拉力F而处于平衡状态，有：FA＝F＋FBcosθ，FBsinθ＝mg，因为θ不变，所以FB不变．再以O点进展研究，O点受到OA绳的拉力，方向不变，沿着OA绳水平向左，OB绳的拉力，大小和方向都不变，OC绳的拉力，大小和方向都可以变化，O点处于平衡状态，因此这三个力构成一个封闭的矢量三角形(如图)，刚开场FC由竖直方向逆时针旋转到图中的虚线位置，因此FA和FC同时增大，又FA＝F＋FBcosθ，FB不变，所以F增大，所以B正确．答案：B2.图2－4－11外表光滑、半径为R的半球固定在水平地面上，球心O的正上方O′处有一无摩擦的定滑轮，轻质细绳两端各系一个小球挂在定滑轮上，如图2－4－11所示，两小球平衡时，假设滑轮两侧细绳的长度分别为L1＝2.4R和L2＝2.5R，那么这两个小球的质量之比m1∶m2为(不计球的大小)( )A．24∶1B．25∶14/4\nC．24∶25D．25∶24解析：对小球2进展受力分析，如右图所示，显然△O′OP与△PBQ相似．设OO′＝H，OP＝R，O′P＝L2，由相似三角形的性质有m2g/H＝FN/R＝F2/L2，那么m2＝F2H/(gL2)，同理可得m1＝F1H/(gL1)而F1＝F2，于是m1/m2＝L2/L1＝25∶24.答案：D3.图2－4－12如图2－4－12所示，一根弹性细绳原长为l，劲度系数为k，将其一端穿过一个光滑小孔O(其在水平地面上的投影点为O′)，系在一个质量为m的滑块A上，A放在水平地面上．小孔O离绳固定端的竖直距离为l，离水平地面高度为h(h<mg/k)，滑块A与水平地面间的最大静摩擦力为正压力的μ倍．问：(1)当滑块与O′点距离为r时，弹性细绳对滑块A的拉力为多大？(2)滑块处于怎样的区域内时可以保持静止状态？解析：(1)当滑块与O′点的距离为r时，弹性细绳的伸长量为Δx＝.由胡克定律知，弹性绳的拉力F＝kΔx＝k(2)设OA与水平面的夹角为α，分析物体受力如以下图，由平衡条件得：FN＋Fsinα＝mgFcosα＝Ff.而F＝k，Ffm＝μFN4/4\n所以有：k·cosα＝Ff≤Ffm＝μ(mg－Fsinα)＝μ(mg－kh)其中cosα＝r，故r≤答案：(1)k(2)以O′为圆心，以为半径的圆内的任何位置4.图2－4－13如图2－4－13所示，在质量为1kg的重物上系着一条长30cm的细绳，细绳的另一端连着套在水平棒上可以滑动的圆环，环与棒间的动摩擦因数为0.75，另有一条细绳，其一端跨过定滑轮，定滑轮固定在距离圆环0.5m的地方．当细绳的端点挂上重物G，而圆环将要滑动时，试问：(1)长为30cm的细绳的张力是多少？(2)圆环将要开场滑动时，重物G的质量是多少？(3)角φ多大？(环的重力忽略不计)解析：因为圆环将要开场滑动，所以可以判定此题是在共点力作用下物体的平衡问题．由平衡条件Fx＝0，Fy＝0，建立方程有：μFN－FTcosθ＝0，FN－FTsinθ＝0.所以tanθ＝，θ＝arctan＝arctan.设想：过O作OA的垂线与杆交于B′点，由AO＝30cm，tanθ＝得，B′O的长为40cm.在直角三角形中，由三角形的边长条件得AB′＝50cm，但据题设条件AB＝50cm，故B′点与定滑轮的固定处B点重合，即得φ＝90°.(1)如以下图，选取坐标系，根据平衡条件有：Gcosθ＋FTsinθ－mg＝0FTcosθ－Gsinθ＝0.即 FT＝8N.4/4\n(2)圆环将要滑动时，得：mGg＝FTcotθ，mG＝0.6kg.(3)前已证明φ为直角，故φ＝90°.答案：(1)8N (2)0.6kg (3)90°4/4
