第1讲集合的概念与运算1．(2022·信阳第二次联考)已知全集U＝R，集合A＝{x|0<x<9，x∈R}和B＝{x|－4<x<4，x∈Z}关系的Venn图如图所示，则阴影部分所示集合中元素的个数是( )A．2 B．3C．4D．6解析：选C.因为B＝{－3，－2，－1，0，1，2，3}，∁RA＝{x|x≤0或x≥9}，而阴影部分所示集合为B∩(∁RA)，所以阴影部分所示集合中含有－3，－2，－1，0，共4个元素．2．已知集合A＝，则集合A中的元素个数为( )A．2B．3C．4D．5解析：选C.因为∈Z，2－x的取值有－3，－1，1，3，又x∈Z，所以x值分别为5，3，1，－1，故集合A中的元素个数为4.3．(2022·潍坊模拟)集合A＝{x||x＋1|≤3}，B＝{y|y＝，0≤x≤4}，则下列关系正确的是( )A．A∪B＝RB．A⊆(∁RB)C．B⊆(∁RA)D．(∁RA)⊆(∁RB)解析：选D.因为A＝{x||x＋1|≤3}＝{x|－4≤x≤2}，B＝{y|y＝，0≤x≤4}＝{y|0≤y≤2}，所以∁RA＝{x|x<－4或x>2}，∁RB＝{y|y>2或y<0}，所以(∁RA)⊆(∁RB)，故选D.4．设集合A＝{－1，0，2}，集合B＝{－x|x∈A且2－x∉A}，则B＝( )A．{1}B．{－2}C．{－1，－2}D．{－1，0}解析：选A.当x＝－1时，2－x＝3∉A，此时－x＝1∈B，当x＝0时，2－0＝2∈A，当x＝2时，2－2＝0∈A，所以B＝{1}．5．(2022·南昌调研)已知集合A＝{x|x2＋2x<0}，B＝，则A∩∁RB＝( )A．(－2，－1)B．(－1，0)C．(－2，－1]D．[－1，0)解析：选B.因为A＝{x|－2<x<0}，B＝{x|2－x≥2}＝{x|x≤－1}，所以∁RB＝{x|x>－1}，故A∩∁RB＝{x|－1<x<0}．6．(2022·南昌月考)设集合P＝{a2，log2a}，Q＝{2a，b}，若P∩Q＝{0}，则P∪Q＝( )A．{0，1}B．{0，1，2}C．{0，2}D．{0，1，2，3}解析：选B.因为P∩Q＝{0}，所以0∈P，只能log2a＝0，所以a＝1，a2＝1，又0∈Q，因为2a＝21＝2≠0，所以b＝0，所以，P＝{0，1}，Q＝{2，0}，所以P∪Q＝{0，1，2}．7．(2022·贵州省七校第一次联考)已知集合A＝{0，1，2，3，4}，B＝{x|x＝，n∈A}，则A∩B的真子集个数为( )A．5B．6C．7D．8解析：选C.由题意，得B＝{0，1，，，2}，所以A∩B＝{0，1，2}，所以A∩B的真子集个数为23－1＝7，故选C.4\n8．(2022·临沂质检)已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－3x＋2>0}，B＝{x|x－a≤0}，若∁UB⊆A，则实数a的取值范围是( )A．(－∞，1)B．(－∞，2]C．[1，＋∞)D．[2，＋∞)解析：选D.因为x2－3x＋2>0，所以x>2或x<1.所以A＝{x|x>2或x<1}，因为B＝{x|x≤a}，所以∁UB＝{x|x>a}．因为∁UB⊆A，借助数轴可知a≥2，故选D.9．设全集U＝R，A＝{y|y＝tanx，x∈B}，B＝，则图中阴影部分表示的集合是( )A．[－1，1]B.C.∪D.∪解析：选C.图中阴影部分表示的集合为(∁UB)∩A＝∪.10．已知m∈A，n∈B，且集合A＝{x|x＝2a，a∈Z}，B＝{x|x＝2b＋1，b∈Z}，C＝{x|x＝4c＋1，c∈Z}，则有( )A．m＋n∈AB．m＋n∈BC．m＋n∈CD．m＋n不属于A，B，C中任意一个集合解析：选B.因为m∈A，所以设m＝2a1，a1∈Z，又n∈B，所以设n＝2b1＋1，b1∈Z，所以m＋n＝2(a1＋b1)＋1，而a1＋b1∈Z，所以m＋n∈B.11．设集合A＝，B＝{b，a＋b，－1}，若A∩B＝{2，－1}，则A∪B＝( )A．{－1，2，3，5}B．{－1，2，3}C．{5，－1，2}D．{2，3，5}解析：选A.由A∩B＝{2，－1}，可得或当时，此时B＝{2，3，－1}，所以A∪B＝{－1，2，3，5}；当时，此时不符合题意，舍去．12．已知A＝{x∈N|x2－2x－3≤0}，B＝{1，3}，定义集合A，B之间的运算“*”：A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，则A*B中的所有元素数字之和为( )A．15B．16C．20D．21解析：选D.由x2－2x－3≤0，得(x＋1)(x－3)≤0，得A＝{0，1，2，3}．因为A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，所以A*B中的元素有：0＋1＝1，0＋3＝3，1＋1＝2，1＋3＝4，2＋1＝3(舍去)，2＋3＝5，3＋1＝4(舍去)，3＋3＝6，所以A*B＝{1，2，3，4，5，6}，所以A*B中的所有元素数字之和为21.4\n13．集合A＝{0，2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0，1，2，4，16}，则a的值为________．解析：根据并集的概念，可知{a，a2}＝{4，16}，故只能是a＝4.答案：414．(2022·宿州质检)已知集合A＝{x|x2－2x＋a>0}，且1∉A，则实数a的取值范围是________．解析：因为1∉{x|x2－2x＋a>0}，所以1∈{x|x2－2x＋a≤0}，即1－2＋a≤0，所以a≤1.答案：(－∞，1]15．已知A＝{x|x2－3x＋2＜0}，B＝{x|1＜x＜a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是________．解析：因为A＝{x|x2－3x＋2＜0}＝{x|1＜x＜2}⊆B，所以a≥2.答案：[2，＋∞)16．已知集合A＝{x|1≤x<5}，C＝{x|－a<x≤a＋3}，若C∩A＝C，则a的取值范围是________．解析：因为C∩A＝C，所以C⊆A.①当C＝∅时，满足C⊆A，此时－a≥a＋3，得a≤－；②当C≠∅时，要使C⊆A，则解得－<a≤－1.综上，可得a的取值范围是(－∞，－1]．答案：(－∞，－1]1．(2022·唐山统考)已知a、b均为实数，设集合A＝，B＝，且A、B都是集合{x|0≤x≤1}的子集．如果把n－m(n>m)叫做集合{x|m≤x≤n}的“长度”，那么集合A∩B的“长度”的最小值是( )A.B.C.D.解析：选D.结合题意可知，A∩B的“长度”的最小值为＋－1＝.2．已知集合M＝{1，2，3，4}，集合A、B为集合M的非空子集，若∀x∈A、y∈B，x<y恒成立，则称(A，B)为集合M的一个“子集对”，则集合M的“子集对”共有________个． 解析：当A＝{1}时，B有23－1＝7种情况，当A＝{2}时，B有22－1＝3种情况，当A＝{3}时，B有1种情况，当A＝{1，2}时，B有22－1＝3种情况，当A＝{1，3}，{2，3}，{1，2，3}时，B均有1种情况，所以满足题意的“子集对”共有7＋3＋1＋3＋1＋1＋1＝17个．答案：173．已知集合A＝{－4，2a－1，a2}，B＝{a－5，1－a，9}，分别求适合下列条件的a的值．(1)9∈(A∩B)；(2){9}＝A∩B.解：(1)因为9∈(A∩B)，所以2a－1＝9或a2＝9，所以a＝5或a＝3或a＝－3.4\n当a＝5时，A＝{－4，9，25}，B＝{0，－4，9}；当a＝3时，a－5＝1－a＝－2，不满足集合元素的互异性；当a＝－3时，A＝{－4，－7，9}，B＝{－8，4，9}，所以a＝5或a＝－3.(2)由(1)可知，当a＝5时，A∩B＝{－4，9}，不合题意，当a＝－3时，A∩B＝{9}．所以a＝－3.4．(2022·徐州模拟)已知集合A＝{x|1<x<3}，集合B＝{x|2m<x<1－m}．(1)当m＝－1时，求A∪B；(2)若A⊆B，求实数m的取值范围；(3)若A∩B＝∅，求实数m的取值范围．解：(1)当m＝－1时，B＝{x|－2<x<2}，则A∪B＝{x|－2<x<3}．(2)由A⊆B知得m≤－2，即实数m的取值范围为(－∞，－2]．(3)由A∩B＝∅，得①若2m≥1－m，即m≥时，B＝∅，符合题意；②若2m<1－m，即m<时，需或得0≤m<或∅，即0≤m<.综上知m≥0，即实数m的取值范围为[0，＋∞)．4
