第2讲一元二次不等式1．(2022·高考上海卷)下列不等式中，与不等式<2解集相同的是( )A．(x＋8)(x2＋2x＋3)<2 B．x＋8<2(x2＋2x＋3)C.<D.>解析：选B.依题意，注意到x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2>0，因此不等式<2等价于x＋8<2(x2＋2x＋3)，故选B.2．已知关于x的不等式(ax－1)(x＋1)<0的解集是(－∞，－1)∪，则a＝( )A．2B．－2C．－D.解析：选B.根据不等式与对应方程的关系知－1，－是一元二次方程ax2＋x(a－1)－1＝0的两个根，所以－1×＝－，所以a＝－2，故选B.3．已知函数f(x)＝则不等式f(x)≥x2的解集为( )A．[－1，1]B．[－2，2]C．[－2，1]D．[－1，2]解析：选A.法一：当x≤0时，x＋2≥x2，所以－1≤x≤0；①当x>0时，－x＋2≥x2，所以0<x≤1.②由①②得原不等式的解集为{x|－1≤x≤1}．法二：作出函数y＝f(x)和函数y＝x2的图像，如图，由图知f(x)≥x2的解集为[－1，1]．4．(2022·广东省联合体联考)已知函数f(x)＝则使f(x)≥1的x的取值范围为( )A.B.C．(－∞，1)∪D．(－∞，1]∪解析：选D.不等式f(x)≥1等价于或解之得x≤1或≤x≤3，所以不等式的解集为(－∞，1]∪，故选D.3\n5．关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0的解集中，恰有3个整数，则a的取值范围是( )A．(4，5)B．(－3，－2)∪(4，5)C．(4，5]D．[－3，－2)∪(4，5]解析：选D.原不等式可化为(x－1)(x－a)<0，当a>1时得1<x<a，此时解集中的整数为2，3，4，则4<a≤5，当a<1时得a<x<1，则－3≤a<－2，故a∈[－3，－2)∪(4，5]．6．若不等式mx2＋2mx－4<2x2＋4x对任意x均成立，则实数m的取值范围是( )A．(－2，2]B．(－2，2)C．(－∞，－2)∪[2，＋∞)D．(－∞，2]解析：选A.原不等式等价于(m－2)x2＋2(m－2)x－4<0，①当m＝2时，对任意的x不等式都成立；②当m－2<0时，Δ＝4(m－2)2＋16(m－2)<0，所以－2<m<2，综合①②，得m的取值范围是(－2，2]．7．(2022·合肥一模)已知函数f(x)＝则不等式f(x)<0的解集为________．解析：若x>0，由f(x)<0得x2－1<0，解得0<x<1.若x≤0，由f(x)<0得－|x＋1|<0，解得x≤0且x≠－1，综上不等式的解为x<1且x≠－1，即不等式的解集为(－∞，－1)∪(－1，1)．答案：(－∞，－1)∪(－1，1)8．若0<a<1，则不等式(a－x)>0的解集是________．解析：原不等式即(x－a)<0，由0<a<1得a<，所以a<x<.答案：9．(2022·九江一模)若关于x的不等式x2－4x－2－a>0在区间(1，4)内有解，则实数a的取值范围是________．解析：不等式x2－4x－2－a>0在区间(1，4)内有解等价于a<(x2－4x－2)max，令g(x)＝x2－4x－2，x∈(1，4)，所以g(x)<g(4)＝－2，所以a<－2.答案：(－∞，－2)10．已知a∈[－1，1]，不等式x2＋(a－4)x＋4－2a>0恒成立，则实数x的取值范围为________．解析：把不等式的左端看成关于a的一次函数，记f(a)＝(x－2)a＋(x2－4x＋4)，则由f(a)>0对于任意的a∈[－1，1]恒成立，易知只需f(－1)＝x2－5x＋6>0，且f(1)＝x2－3x＋2>0即可，联立不等式解得x<1或x>3.答案：{x|x<1或x>3}11．若不等式ax2＋5x－2>0的解集是.(1)求实数a的值；(2)求不等式ax2－5x＋a2－1>0的解集．解：(1)由题意知a<0，且方程ax2＋5x－2＝0的两个根为，2，代入解得a＝－2.(2)由(1)知不等式为－2x2－5x＋3>0，即2x2＋5x－3<0，解得－3<x<，即不等式ax2－5x＋a2－1>0的解集为.1．已知集合A＝{x|x2－2x－3>0}，B＝{x|x2＋ax＋b≤0}，若A∪B＝R，A∩B＝(3，4]，则有( )3\nA．a＝3，b＝4B．a＝3，b＝－4C．a＝－3，b＝4D．a＝－3，b＝－4解析：选D.法一：由题意得集合A＝{x|x<－1或x>3}，又A∪B＝R，A∩B＝(3，4]，所以集合B为{x|－1≤x≤4}，由一元二次不等式与一元二次方程的关系，可得a＝－3，b＝－4.法二：易知A＝{x|x<－1或x>3}，又A∩B＝(3，4]，可得4为方程x2＋ax＋b＝0的一个根，则有16＋4a＋b＝0，经验证可知选项D正确．2．(2022·西安交大附中模拟)已知f(x)＝x2－2ax＋2(a∈R)，当x∈[－1，＋∞)时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围．解：法一：f(x)＝(x－a)2＋2－a2，此二次函数图像的对称轴为x＝a.①当a∈(－∞，－1)时，f(x)在[－1，＋∞)上单调递增，f(x)min＝f(－1)＝2a＋3.要使f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a，即2a＋3≥a，解得－3≤a<－1；②当a∈[－1，＋∞)时，f(x)min＝f(a)＝2－a2，由2－a2≥a，解得－1≤a≤1.综上所述，所求a的取值范围是[－3，1]．法二：令g(x)＝x2－2ax＋2－a，由已知，得x2－2ax＋2－a≥0在[－1，＋∞)上恒成立，即Δ＝4a2－4(2－a)≤0或解得－3≤a≤1，所以a的取值范围是[－3，1]．3．某同学要把自己的计算机接入因特网，现有两家ISP公司可供选择．公司A每小时收费1.5元；公司B在用户每次上网的第1小时内收费1.7元，第2小时内收费1.6元，以后每小时减少0.1元(若用户一次上网时间超过17小时，按17小时计算)．假设该同学一次上网时间总是小于17小时，那么该同学如何选择ISP公司较省钱？解：假设一次上网x(x<17)小时，则公司A收取的费用为1.5x元，公司B收取的费用为1.7＋(1.7－0.1)＋(1.7－0.2)＋…＋[1.7－(x－1)×0.1]＝(元)．由>1.5x(0<x<17)，整理得x2－5x<0，解得0<x<5，故当0<x<5时，公司A收费低于公司B收费，当x＝5时，A，B两公司收费相等，当5<x<17时，公司B收费低，所以当一次上网时间在5小时以内时，选择公司A的费用少；为5小时时，选择公司A与公司B费用一样多；超过5小时小于17小时时，选择公司B的费用少．3
