课时提升作业(三十)等比数列及其前n项和一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2022·南昌模拟)等比数列x,3x+3,6x+6,…的第四项等于 ( )A.-24 B.0 C.12 D.24【解析】选A.由题意知(3x+3)2=x(6x+6),即x2+4x+3=0,解得x=-3或x=-1(舍去),所以等比数列的前3项是-3,-6,-12,则第四项为-24.【加固训练】(2022·福州模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn=x·3n-1-,则x的值为 ( )A.B.-C.D.-【解析】选C.当n=1时,a1=S1=x- ①,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=（x·3n-1-）-（x·3n-2-）=x·(3n-1-3n-2)=2x·3n-2,因为{an}是等比数列,所以由①②得x-=,解得x=.2.已知各项均为正数的等比数列{an}中,lg(a3a8a13)=6,则a1a15的值为 ( )A.100B.1000C.10000D.10【解析】选C.因为lg(a3a8a13)=6,所以a3a8a13==106,所以a8=100,所以a1a15==10000.3.(2022·昆明模拟)在等比数列{an}中,若a3,a7是方程x2+4x+2=0的两根,则a5的值是 ( )A.-2B.-C.±D.【解析】选B.根据根与系数之间的关系得a3+a7=-4,a3a7=2,由a3+a7=-4<0,a3a7>0,所以a3<0,a7<0,即a5<0,由a3a7=,所以a5=-=-.4.在等比数列{an}中,有a3a11=4a7,数列{bn}是等差数列,且b7=a7,则b5+b9等于 ( )A.2B.4C.8D.16-11-\n【解析】选C.因为a3a11==4a7,a7≠0,a7=4,所以b7=4.{bn}为等差数列,所以b5+b9=2b7=8,故选C.【加固训练】已知各项不为0的等差数列{an},满足2a3-+2a11=0,数列{bn}是等比数列,且b7=a7,则b6b8= ( )A.2B.4C.8D.16【解析】选D.因为数列{an}是等差数列,所以a3+a11=2a7由2a3-+2a11=0得4a7-=0,又an≠0,所以a7=4,所以b6b8==42=16.5.已知数列{an}的前n项和Sn=3n+k(k为常数),那么下述结论正确的是 ( )A.k为任意实数时,{an}是等比数列B.k=-1时,{an}是等比数列C.k=0时,{an}是等比数列D.{an}不可能是等比数列【解析】选B.因为Sn=3n+k(k为常数),所以a1=S1=3+k,n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n+k-(3n-1+k)=2×3n-1,当k=-1时,a1=2满足an=2×3n-1,{an}是等比数列,当k=0时,a1=3不满足an=2×3n-1,{an}不是等比数列.【加固训练】(2022·青岛模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn=3n+1+a,n∈N*,则实数a的值是( )A.-3B.3C.-1D.1【解题提示】由Sn求an,而后由a1=S1求a.【解析】选A.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n+1-3n=2·3n,当n=1时,a1=S1=9+a,因为{an}是等比数列,所以有9+a=2×3,解得a=-3.二、填空题(每小题5分,共15分)6.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若=3,则= .【解析】方法一:由已知=3,知=1+q3=3,所以q3=2,所以===.方法二:由已知=3,得S6=3S3,又因为S3,S6-S3,S9-S6为等比数列,所以(S6-S3)2=S3(S9-S6),则(2S3)2=S3(S9-3S3),化简即得S9=7S3,从而==.-11-\n答案:【加固训练】在正项等比数列{an}中,若++=81,则+= .【解析】因为a2a4=,a4a6=,=a3·a5.所以++=++=81,即又a3>0,a5>0,故+=9.答案:97.(2022·徐州模拟)若等比数列{an}满足:a2+a4=20,a3+a5=40,则公比q= ;前n项和Sn= .【解析】由a2+a4=20,a3+a5=40,得即解得q=2,a1=2,所以Sn===2n+1-2.答案:2 2n+1-28.定义“等平方和数列”:在一个数列中,如果每一项与它的后一项的平方和都等于同一个常数,那么这个数列叫做等平方和数列,这个常数叫做该数列的平方和,已知数列{an}是等平方和数列,且a1=1,平方和为5,且an>0,则a2022= ,这个数列的前n项和Sn的计算公式为 .【解析】由定义知+=5,a1=1,所以=4,因为an>0,所以a2=2.又由+=5,所以=1,因为a3>0,所以a3=1,由此可知a4=2,a5=1,…即数列{an}的奇数项均为1,偶数项均为2,所以a2022=1.当n为偶数时,Sn=(a1+a2)=n,当n为奇数时,Sn=(a1+a2)+an=+1=.故Sn=-11-\n答案:1 Sn=三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2022·天津模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若S1,2S2,3S3成等差数列,且S4=.(1)求数列{an}的通项公式.(2)求证Sn<.【解析】(1)设等比数列{an}的公比为q.因为S1,2S2,3S3成等差数列,所以4S2=S1+3S3,即4(a1+a2)=a1+3(a1+a2+a3),所以a2=3a3,所以q==.又S4=,即=,解得a1=1,(2)由(1)得【方法技巧】等差数列与等比数列的联系与区别等差数列等比数列不同点(1)强调每一项与前一项的差(2)a1和d可以为0(1)强调每一项与前一项的比(2)a1与q均不为0-11-\n(3)任意两实数的等差中项唯一(4)当m+n=p+q(m,n,p,q∈N*)时am+an=ap+aq(3)两同号实数(不为0)的等比中项有两个值(4)当m+n=p+q(m,n,p,q∈N*)时aman=apaq-11-\n相同点(1)都强调每一项与其前一项的关系(2)结果都必须是常数(3)数列都可以由a1,d或a1,q确定联系(1)若{an}为正项等比数列,则{logman}为等差数列,其中m>0,且m≠1(2){an}为等差数列,则为等比数列(3)非零常数列既是等差数列又是等比数列10.设f1(x)=2x-1,f2(x)=x2,数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=f2(n),数列{bn}中,b1=2,bn=f1(bn-1).(1)求数列{an}的通项公式.(2)求证:数列{bn-1}是等比数列.【解析】(1)由题意知Sn=n2.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1,当n=1时,a1=S1=1也适合上式,故an=2n-1.(2)由题意知bn=2bn-1-1,即bn-1=2(bn-1-1),因为b1-1=1,所以{bn-1}是以2为公比,以1为首项的等比数列.(20分钟 40分)1.(5分)(2022·济南模拟)已知等比数列{an}的前三项依次为a-1,a+1,a+4,则an= ( )【解析】选C.由题意知(a+1)2=(a-1)(a+4),解得a=5,所以==,又a-1=4.-11-\n所以数列{an}是公比为,首项为4的等比数列,2.(5分)等比数列{an}的公比为q,则“a1>0,且q>1”是“对于任意正整数n,都有an+1>an”的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.易知,当a1>0,且q>1时,an>0,所以=q>1,表明an+1>an;若对任意自然数n,都有an+1>an成立,当an>0时,同除以an得q>1,但当an<0时,同除以an得q<1.3.(5分)(2022·唐山模拟)已知数列{an}是等比数列,a1,a2,a3依次位于下表中第一行,第二行,第三行中的某一格内,又a1,a2,a3中任何两个都不在同一列,则an= (n∈N*).第一列第二列第三列第一行1102第二行6144第三行9188【解析】观察题中的表格可知a1,a2,a3分别为2,6,18,即{an}是首项为2,公比为3的等比数列,所以an=2·3n-1.答案:2·3n-1【加固训练】下面给出一个“直角三角形数阵”,,,……满足每一列成等差数列,从第三行起,每一行的数成等比数列,且每一行的公比相等,记第i行第j列的数为aij(i≥j,i,j∈N*),则(1)anm= ,-11-\n(2)a83= .【解题提示】先求出成等差数列的第一列的通项,然后再求出第三行数列的公比.【解析】由已知第一列数列的通项为,从第三行起各行等比数列的公比为.答案:4.(12分)已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+n+1,设bn=an+n+2(1)证明:数列{bn}是等比数列.(2)设数列{an}的前n项和为Sn,求an和Sn.【解析】(1)由bn=an+n+2,则===2,又b1=a1+3=4,故{bn}是首项为4,公比为2的等比数列.(2)由(1)得bn=4·2n-1=2n+1,所以an=2n+1-n-2,故Sn=a1+a2+…+an=(22+23+…+2n+1)-(1+2+3+…+n)-2n=--2n=2n+2--4.【加固训练】已知数列{an}中,a1=1,a2=2,且an+1=(1+q)an-qan-1(n≥2,q≠0).(1)设bn=an+1-an(n∈N*),证明:{bn}是等比数列.(2)求数列{an}的通项公式.(3)若a3是a6与a9的等差中项,求q的值,并证明:对任意的n∈N*,an是an+3与an+6的等差中项.【解析】(1)由题设an+1=(1+q)an-qan-1(n≥2),得an+1-an=q(an-an-1),即bn=qbn-1,n≥2.由b1=a2-a1=1,q≠0,所以{bn}是首项为1,公比为q的等比数列.(2)由(1),a2-a1=1,a3-a2=q,…,an-an-1=qn-2(n≥2),将以上各式相加,得an-a1=1+q+…+qn-2(n≥2),即an=a1+1+q+…+qn-2(n≥2).-11-\n上式对n=1显然成立.(3)由(2),当q=1时,显然a3不是a6与a9的等差中项,故q≠1,由a3-a6=a9-a3,可得q5-q2=q2-q8,由q≠0得q3-1=1-q6, ①整理得(q3)2+q3-2=0,解得q3=-2.于是q=-.由①可得an-an+3=an+6-an,所以对任意的n∈N*,an是an+3与an+6的等差中项.5.(13分)(能力挑战题)已知等比数列{an}满足:|a2-a3|=10,a1a2a3=125.(1)求数列{an}的通项公式.(2)是否存在正整数m,使得++…+≥1?若存在,求m的最小值;若不存在,说明理由.【解析】(1)设等比数列{an}的公比为q,则由已知可得故an=·3n-1,或an=-5·(-1)n-1.(2)若an=·3n-1,则=·故{}是首项为,公比为的等比数列,-11-\n若an=(-5)·(-1)n-1,则=-(-1)n-1,故{}是首项为-,公比为-1的等比数列,综上,对任何正整数m,总有<1.故不存在正整数m,使得++…+≥1成立.【方法技巧】解决数列探索性问题基本方法(1)对于条件开放的探索性问题,往往采用分析法,从结论和部分已知条件入手,执果索因,导出所需的条件.(2)对于结论探索性问题,需要先得出一个结论,再进行证明.注意含有两个变量的问题,变量归一是常用的解题思想,一般把其中的一个变量转化为另一个变量,根据题目条件,确定变量的值.数列中大小关系的探索问题可以采用构造函数,根据函数的单调性进行证明,这是解决复杂问题常用的方法.(3)处理规律探索性问题,应充分利用已知条件,先求出数列的前几项,根据前几项的特点透彻分析,发现规律、猜想结论.【加固训练】已知数列{an}满足:a1=1,a2=a(a>0).数列{bn}满足bn=anan+1(n∈N*).(1)若{an}是等差数列,且b3=12,求a的值及{an}的通项公式.(2)若{an}是等比数列,求{bn}的前n项和Sn.(3)当{bn}是公比为a-1的等比数列时,{an}能否为等比数列?若能,求出a的值;若不能,请说明理由.-11-\n【解析】(1)因为{an}是等差数列,a1=1,a2=a,所以an=1+(n-1)(a-1).又因为b3=12,所以a3a4=12,即(2a-1)(3a-2)=12.解得a=2或a=-.因为a>0,所以a=2.所以an=n.(2)因为数列{an}是等比数列,a1=1,a2=a(a>0),所以an=an-1.所以bn=anan+1=a2n-1.因为=a2,所以数列{bn}是首项为a,公比为a2的等比数列.当a=1时,Sn=n;当a≠1时,Sn=(3)数列{an}不能为等比数列.因为bn=anan+1,所以则=a-1.所以a3=a-1.假设数列{an}能为等比数列.由a1=1,a2=a,得a3=a2.所以a2=a-1,此方程无解,故数列{an}一定不能为等比数列.-11-
