【高考复习方案】（新课标）2022届高考数学一轮复习第8单元解析几何课时作业文课时作业(四十二) [第42讲 直线的倾斜角与斜率、直线的方程](时间：30分钟 分值：80分)基础热身1．下列命题中，为真命题的是( )A．若直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tanαB．若直线的斜率为tanα，则此直线的倾斜角为αC．任何一条直线都有倾斜角，但不是每一条直线都存在斜率D．若直线的斜率为0，则此直线的倾斜角为0或π2．过点M(－，)，N(－，)的直线的倾斜角是( )A.πB.C.D.3．如图K421所示，若图中直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则( )图K421A．k1<k2<k3B．k3<k1<k2C．k3<k2<k1D．k1<k3<k24．与直线2x－y＋1＝0关于x轴对称的直线方程为( )A．2x＋y＋1＝0B．2x－y－1＝0C．2x＋y－1＝0D．x－2y＋1＝05．[2022·江苏江阴模拟]直线x－y＋a＝0(a∈R，a为常数)的倾斜角α＝________．能力提升6．若直线ax＋by＋c＝0经过第一、三、四象限，则有( )A．ab>0，bc>0B．ab>0，bc<0C．ab<0，bc>0D．ab<0，bc<07．若经过A(4，2y＋1)，B(2，－3)两点的直线的倾斜角为，则y＝( )A．－1B．－3C．0D．28．已知点P(－1，2)，若直线2x－3y＋6＝0与x轴、y轴的交点分别为M，N，线段MN的中点为Q，则直线PQ的方程是( )A．2x＋y＋2＝0B．2x＋y＋4＝0C．2x－y＋2＝0D．2x－y＋4＝09．若0<a<1，则方程y＝ax＋表示的直线是( )44\n图K42210．[2022·山西康杰中学期中]已知直线l：ax＋(1－2a)y＋1－a＝0不经过第四象限，则a的取值范围是________．11．[2022·银川九中月考]直线l过点(－1，2)且在两坐标轴上的截距相等，则l的方程是________．12．(13分)过点M(0，1)作直线l，使它被两直线l1：x－3y＋10＝0，l2：y＝－2x＋8所截得的线段恰好被点M平分，求直线l的方程．难点突破13．(12分)过点A(1，4)作一条直线l，它与x轴、y轴正半轴的交点分别为(a，0)和(0，b)，当a＋b最小时，求直线l的方程．44\n课时作业(四十三) [第43讲 两直线的位置关系](时间：30分钟 分值：80分)基础热身1．已知直线l与过点M(，－)，N(－，)的直线垂直，则直线l的倾斜角是( )A．60°B．120°C．45°D．135°2．对任意实数a，直线y＝ax－3a＋2所经过的定点是( )A．(2，3)B．(3，2)C．(－2，3)D．(3，－2)3．长方形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0，1)，B(1，0)，C(3，2)，则顶点D的坐标为( )A．(2，3)B．(3，2)C．(－2，3)D．(3，－2)4．若点A(3，－4)与点A′(5，8)关于直线l对称，则直线l的方程为( )A．x＋6y＋16＝0B．6x－y－22＝0C．6x＋y＋16＝0D．x＋6y－16＝05．若过点A(4，sinα)和B(5，cosα)的直线与直线x－y＋c＝0平行，则|AB|＝________．能力提升6．[2022·福建两校联考]“a＝1”是“直线ax＋(2－a)y＝0与x－ay＝1垂直”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．与直线l：4x＋3y－2＝0关于点A(1，1)对称的直线l′的方程为( )A．4x＋3y－4＝0B．4x＋3y－12＝0C．4x－3y－4＝0D．4x－3y－12＝08．若直线l1：y＝kx＋k＋2与l2：y＝－2x＋4的交点在第一象限，则实数k的取值范围是( )A．k>－B．k<2C．－<k<2D．k<－或k>29．[2022·北京东城模拟]已知点A(2，0)，B(－2，4)，C(5，8)，若线段AB和CD有相同的垂直平分线，则点D的坐标是( )A．(6，7)B．(7，6)C．(－5，－4)D．(－4，－5)10．已知直线l到两直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0的距离相等，则l的方程为________．11．已知点A(2，1)，B(－3，2)，在x轴上找一点P，使|PA|＋|PB|最小，则点P的坐标为________．12．(13分)已知三条直线l1：4x＋y＝4，l2：mx＋y＝0，l3：2x－3my＝4，试判断这三条直线能否恒构成一个三角形．若不能，求出对应的实数m的值，并说明原因．44\n难点突破13．(12分)已知两直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4(0<a<2)与两坐标轴的正半轴围成四边形．当a为何值时，围成的四边形面积取最小值，并求最小值．44\n课时作业(四十四) [第44讲 圆的方程](时间：45分钟 分值：100分)基础热身1．若原点在圆(x＋k)2＋(y－k)2＝6的内部，则实数k的取值范围是( )A．－<k<B．－3<k<3C．－<k<D．0<k<22．若点P(1，1)是圆C：x2＋(y－3)2＝9的弦AB的中点，则直线AB的方程为( )A．x－2y＋1＝0B．x＋2y－3＝0C．2x＋y－3＝0D．2x－y－1＝03．设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为( )A．6B．4C．3D．24．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是( )A．(x－3)2＋(y－1)2＝1B．(x－2)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1D．(x－2)2＋(y－1)2＝15．过点A(1，－1)，B(－1，1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是________．6．若实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，则的最大值为________，最小值为________．能力提升7．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1，2)的圆的方程为( )A．(x－1)2＋(y－3)2＝1B．x2＋(y＋2)2＝1C．x2＋(y－2)2＝1D．x2＋(y－3)2＝18．若圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0关于直线2ax＋by＋6＝0对称，则由点(a，b)向圆所作的切线长的最小值是( )A．2B．4C．3D．69．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任意一点连线的中点的轨迹方程是( )A．(x－2)2＋(y＋1)2＝4B．(x－2)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4D．(x＋2)2＋(y－1)2＝110．[2022·衡水调研]从原点O向圆C：x2＋y2－6x＋＝0作两条切线，切点分别为P，Q，则圆C上两切点P，Q间的劣弧长为( )A.πB.44\nC．πD.11．在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0，1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为( )A．5B．10C．15D．2012．不过原点的直线l将圆x2＋y2－2x＋4y－4＝0平分，且直线l在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程是________．13．已知两点A(－2，0)，B(0，2)，点C是圆x2＋y2－2x＝0上的任意一点，则△ABC面积的最小值是________．14．(10分)如图K441所示，在四边形ABCO中，＝2，其中O为坐标原点，A(4，0)，C(0，2)．若M是线段OA上的一个动点(不含端点)，设点M的坐标为(a，0)，记△ABM的外接圆为圆P，求圆P的方程．图K44115．(13分)已知方程x2＋y2－2(m＋3)x＋2(1－4m2)y＋16m4＋9＝0表示一个圆．(1)求实数m的取值范围；(2)求该圆的半径r的取值范围．难点突破16．(12分)在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在第二象限，半径为2的圆C与直线y＝x相切于坐标原点O.(1)求圆C的方程．(2)试探求圆C上是否存在异于原点的点Q，使点Q到定点F(4，0)的距离等于线段OF的长．若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．44\n课时作业(四十五) [第45讲 直线与圆、圆与圆的位置关系](时间：45分钟 分值：100分)基础热身1．[2022·咸阳三模]直线l：x＋y－4＝0与圆C：x2＋y2＝4的位置关系是( )A．相交过圆心B．相交不过圆心C．相切D．相离2．若直线2x－y＋a＝0与圆(x－1)2＋y2＝1有公共点，则实数a的取值范围为( )A．－2－<a<－2＋B．－2－≤a≤－2＋C．－≤a≤D．－<a<3．[2022·合肥三模]已知圆C：(x－1)2＋y2＝1与直线l：x－2y＋1＝0相交于A，B两点，则|AB|＝( )A.B.C.D.4．对任意的实数k，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2的位置关系一定是( )A．相离B．相切C．相交但直线不过圆心D．相交且直线过圆心5．圆x2＋y2－4x＝0在点P(1，)处的切线方程为______________．6．[2022·武汉测试]已知圆C：(x－2t)2＋(y－t2)2＝1，当圆C到直线x＋y＋3＝0的距离最小时，圆心的坐标为________．能力提升7．已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是( )A．相切B．相交C．相离D．不确定8．若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝( )A．21B．19C．9D．－119．若直线y＝kx－1与圆x2＋y2＝1相交于P，Q两点，且∠POQ＝120°(其中O为原点)，则k的值为( )A.B．－C．±D．－110．[2022·天津一模]若直线xcosθ＋ysinθ－1＝0与圆(x－1)2＋(y－sinθ)2＝相切，且θ为锐角，则这条直线的斜率是( )A．－B．－C.D.11．若y＝kx与圆(x－2)2＋y2＝1的两个交点关于2x＋y＋b＝0对称，则( )A．k＝－，b＝－4B．k＝，b＝－4C．k＝－，b＝4D．k＝，b＝412．[2022·黄冈模拟]若点P(2，－1)为圆A：(x－3)2＋y2＝25的一条弦的中点，则该弦所在直线的方程为________________．44\n13．[2022·唐山调研]圆心在曲线y＝－(x>0)上，且与直线3x－4y＋3＝0相切的面积最小的圆的方程是________________．14．(10分)已知圆P：x2＋y2－4x＋2y－3＝0和圆外一点M(4，－8)．(1)过M作圆的割线交圆于A，B两点，若|AB|＝4，求直线AB的方程；(2)过M作圆的切线，切点为C，D，求切线长及CD所在直线的方程．15．(13分)已知半径为5的圆C的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且圆与直线4x＋3y－29＝0相切．(1)求圆C的方程．(2)设直线ax－y＋5＝0(a>0)与圆C相交于A，B两点，求实数a的取值范围．(3)在(2)的条件下，是否存在实数a，使得弦AB的垂直平分线l过点P(－2，4)？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．难点突破16．(12分)[2022·武汉调研]过点P(－10，0)作直线l与曲线y＝－相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积最大时，求直线l的斜率．44\n课时作业(四十六) [第46讲 椭圆](时间：45分钟 分值：100分)基础热身1．[2022·佛山一模]已知椭圆的两个焦点和短轴的两个端点恰好为一个正方形的四个顶点，则该椭圆的离心率为( )A.B.C.D.2．[2022·北京西城测试]若曲线ax2＋by2＝1为焦点在x轴上的椭圆，则实数a，b满足( )A．a2>b2B.<C．0<a<bD．0<b<a3．设F1，F2是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线x＝上的点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则椭圆E的离心率为( )A.B.C.D.4．已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且椭圆G上一点到其两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为( )A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝15．椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2.若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为________．6．已知椭圆＋＝1的一个焦点为F1.点P在椭圆上．如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标是________．能力提升7．已知曲线C上的动点M(x，y)．若向量a＝(x＋2，y)，b＝(x－2，y)满足|a|＋|b|＝6，则曲线C的离心率是( )A.B.C.D.8．已知圆(x＋2)2＋y2＝36的圆心为M，A为圆上任意一点，N(2，0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是( )A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线9．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为( )A．2B．3C．6D．844\n10．已知F1，F2分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是椭圆上位于第一象限内的点，点B也在椭圆上，且满足＋＝0(O为坐标原点)，·＝0.若椭圆的离心率等于，则直线AB的方程是( )A．y＝xB．y＝－xC．y＝－xD．y＝x11．设椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，右焦点为F(c，0)，方程ax2＋bx－c＝0的两个实根分别为x1和x2，则点P(x1，x2)( )A．必在圆x2＋y2＝2内B．必在圆x2＋y2＝2上C．必在圆x2＋y2＝2外D．以上三种情形都有可能12．[2022·乌鲁木齐诊断]在平面直角坐标系xOy中，椭圆C1和C2的方程分别为＋y2＝1和＋＝1，射线OA与椭圆C1和C2分别交于点A和点B，且＝2，则直线OA的斜率为________．13．已知P是椭圆上的定点，F1，F2分别是椭圆的左、右两个焦点，若∠PF1F2＝60°，∠PF2F1＝30°，则该椭圆的离心率为________．14．(10分)设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直．直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为，求C的离心率；(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b的值．15．(13分)[2022·江淮联考]已知直线x＋y－1＝0与椭圆＋＝1(a>b>0)相交于A，B两点，点M是线段AB上的一点，＝－，且点M在直线l：y＝x上．(1)求椭圆E的离心率；(2)若椭圆的焦点关于直线l的对称点在单位圆x2＋y2＝1上，求椭圆的方程．难点突破16．(12分)[2022·保定联考]椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F2(1，0)，离心率为，已知点M的坐标是(0，3)，点P是椭圆E上的动点．(1)求椭圆E的方程；(2)求|PM|＋|PF2|的最大值及此时P点的坐标．44\n课时作业(四十七) [第47讲 双曲线](时间：45分钟 分值：100分)基础热身1．设双曲线－＝1(a>0，b>0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为( )A．y＝±xB．y＝±2xC．y＝±xD．y＝±x2．[2022·郑州三模]已知双曲线－y2＝1(a>0)的实轴长为2，则双曲线的离心率为( )A.B.C.D.3．[2022·安庆二模]我们把离心率之差的绝对值小于的两条双曲线称为“相近双曲线”．已知双曲线C：－＝1，则下列双曲线中与C是“相近双曲线”的为( )A．x2－y2＝1B．x2－＝1C．y2－2x2＝1D.－＝14．若实数k满足0<k<5，则曲线－＝1与曲线－＝1的( )A．实半轴长相等B．虚半轴长相等C．离心率相等D．焦距相等5．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线与直线l：x＋y＝0垂直，C的一个焦点到l的距离为1，则C的方程为________．能力提升7．已知双曲线－＝1的一个焦点在圆x2＋y2－4x－5＝0上，则双曲线的渐近线方程为( )A．y＝±xB．y＝±xC．y＝±xD．y＝±x8．[2022·唐山摸底]已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，以|F1F2|为直径的圆与双曲线的渐近线的一个交点为P(3，4)，则此双曲线的方程为( )A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝19．已知双曲线－＝1(m>0，n>0)的离心率为2，该双曲线的一个焦点与抛物线y2＝16x的焦点重合，则mn的值为( )A．4B．12C．16D．4844\n10．[2022·邯郸摸底]若圆x2＋y2－4x－9＝0与y轴的两个交点A，B都在双曲线上，且A，B两点恰好将此双曲线的焦距三等分，则此双曲线的标准方程为( )A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝111．已知F1，F2分别为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，若点P在C上，且|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝( )A.B.C.D.12．[2022·枣庄模拟]设P是双曲线－＝1上的点，它的一条渐近线的方程为y＝x，两焦点间的距离为2，F1，F2分别是该双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝3，则|PF2|＝________．13．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，由F向一条渐近线引垂线，垂足为P，若线段PF的中点在此双曲线上，则此双曲线的离心率为________．14．(10分)已知双曲线C：－y2＝1，P为C上的任意一点．(1)求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；(2)设点A的坐标为(3，0)，求|PA|的最小值．15．(13分)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点P(4，－)．(1)求双曲线的方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：·＝0；(3)在(2)的条件下，求△F1MF2的面积．难点突破16．(12分)已知P(x0，y0)(x0≠±a)是双曲线E：－＝1(a>0，b>0)上一点，M，N分别是双曲线E的左、右顶点，直线PM，PN的斜率之积为.(1)求双曲线的离心率；(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足＝λ＋，求λ的值．44\n课时作业(四十八) [第48讲 抛物线](时间：45分钟 分值：100分)基础热身1．抛物线y＝x2的准线方程是( )A．y＝－1B．y＝－2C．x＝－1D．x＝－22．[2022·石家庄质检]若抛物线y2＝2px上一点P(2，y0)到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为( )A．y2＝4xB．y2＝6xC．y2＝8xD．y2＝12x3．[2022·齐齐哈尔二模]若a∈R，则“a>3”是“方程y2＝(a2－9)x表示开口向右的抛物线”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．已知点A(－2，3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为( )A．－B．－1C．－D．－5．[2022·石家庄一模]抛物线y＝－4x2的焦点坐标为________．6．已知圆x2＋y2－6x－7＝0与抛物线y＝ax2(a>0)的准线相切，则a＝________．能力提升7．已知圆的方程x2＋y2＝4，若抛物线过点A(0，－1)，B(0，1)且以圆的切线为准线，则抛物线焦点的轨迹方程是( )A.＋＝1(y≠0)B.＋＝1(y≠0)C.＋＝1(x≠0)D.＋＝1(x≠0)8．已知点P为抛物线y2＝2x上的动点，点P在y轴上的射影是M，点A的坐标是(，4)，则|PA|＋|PM|的最小值是( )A.B．4C.D．59．动圆M经过双曲线x2－＝1的左焦点且与直线x＝2相切，则圆心M的轨迹方程是( )A．y2＝4xB．y2＝－4xC．y2＝8xD．y2＝－8x10．已知抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线x2－y2＝3相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝( )A．4B．5C．6D．811．已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为( )A．x2＝yB．x2＝C．x2＝8yD．x2＝16y12．若抛物线y2＝2px(p>0)的准线经过双曲线x2－y2＝1的左顶点，则p＝________．44\n图K48113．如图K481所示，直角三角形ABC的三个顶点在给定的抛物线y2＝2px(p>0)上，斜边AB平行于y轴，则AB边上的高|CD|＝________．14．(10分)如图K482所示，直线l：y＝x＋b与抛物线C：x2＝4y相切于点A.(1)求实数b的值；(2)求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程．图K48215．(13分)如图K483所示，已知抛物线C：x2＝4y，过点M(0，2)任作一直线与C相交于A，B两点，过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D(O为坐标原点)．(1)证明：动点D在定直线上；(2)作C的任意一条切线l(不含x轴)，与直线y＝2相交于点N1，与(1)中的定直线相交于点N2.证明：|MN2|2－|MN1|2为定值，并求此定值．图K483难点突破16．(12分)[2022·兰州诊断]已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，准线为l，A为抛物线C上一点，且以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点．(1)若∠BFD＝90°，且△BFD的面积为4，求p的值及圆F的方程；(2)若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到直线m、直线n的距离的比值．44\n课时作业(四十九) [第49讲 第1课时 直线与圆锥曲线的位置关系](时间：45分钟 分值：100分)基础热身1．双曲线x2－y2＝1的一条渐近线被抛物线x2＝2y截得的线段长为( )A．2B．2C.D.2．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，直线l过焦点F，且斜率为k，则直线l与双曲线C的左、右两支都相交的充要条件是( )A．k>－B．k<C．k<－或k>D．－<k<3．若直线mx＋ny＝4与⊙O：x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点的个数是( )A．至多为1B．2C．1D．04．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线y＝2x－4与抛物线C交于A，B两点，则cos∠AFB＝( )A.B.C．－D．－5．[2022·唐山摸底]已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线截圆x2＋y2－2y－1＝0所得弦长为2，则p＝________．6．[2022·武汉调研]已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0)，直线l与抛物线C相交于A，B两点．若线段AB的中点的坐标为(2，2)，则直线l的方程为________．能力提升7．过点A的直线l与抛物线y2＝x有且只有一个公共点，则这样的直线l的条数是( )A．0或1B．1或2C．0或1或2D．1或2或38．[2022·北京顺义区二模]已知点A在抛物线y2＝4x上，且点A到直线x－y－1＝0的距离为，则满足条件的点A的个数为( )A．1B．2C．3D．49．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则|AB|＝( )A.B．6C．12D．710．[2022·长春调研]双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，过F1作倾斜角为30°的直线交双曲线的右支于点M.若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率为( )A.B.C.D.11．设双曲线－＝1(a>0，b>0)，离心率e＝，右焦点F(c，0)．方程ax2－bx－c＝0的两个实数根分别为x1，x2，则点P(x1，x2)与圆x2＋y2＝8的位置关系是( )A．在圆内B．在圆上44\nC．在圆外D．不确定12．[2022·石家庄模拟]设抛物线x2＝8y的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的倾斜角等于60°，那么|PF|＝________．13．已知椭圆＋＝1(0<b<2)，左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若|AF2|＋|BF2|的最大值为5，则b＝________．14．(10分)在△ABC中，点A，B的坐标分别为A(－，0)，B(，0)，点C在x轴的上方．(1)若点C的坐标为(，1)，求以A，B为焦点且经过点C的椭圆的方程；(2)过点P(m，0)作倾斜角为的直线l交(1)中椭圆于M，N两点，若点Q(1，0)恰在以线段MN为直径的圆上，求实数m的值．15．(13分)[2022·太原模拟]已知抛物线C：y2＝2px(p>0)，点P(－1，0)是其准线与x轴的交点，过点P的直线l与抛物线C交于A，B两点．(1)当线段AB的中点在直线x＝7上时，求直线l的方程；(2)设F为抛物线C的焦点，当A为线段PB的中点时，求△FAB的面积．难点突破16．(12分)如图K491，在平面直角坐标系xOy中，椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD.当直线AB的斜率为0时，|AB|＋|CD|＝7.(1)求椭圆的方程；(2)求|AB|＋|CD|的取值范围．图K49144\n课时作业(四十九) [第49讲 第2课时 最值、范围、证明问题](时间：45分钟 分值：60分)基础热身1．(12分)[2022·广州联考]已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－1，0)，F2(1，0)，且经过点P(1，)，M为椭圆上的动点，以M为圆心，|MF2|为半径作圆M.(1)求椭圆C的方程；(2)若圆M与y轴有两个交点，求点M横坐标的取值范围．2．(12分)[2022·天津一模]已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的长轴长为4，离心率为，F1，F2分别为其左、右焦点．一动圆过点F2，且与直线x＝－1相切，设动圆圆心轨迹为曲线C.(1)①求椭圆C1的方程；②求曲线C的方程；(2)在曲线C上有四个不同的点M，N，P，Q满足与共线，与共线，且·＝0，求四边形PMQN面积的最小值．能力提升3．(12分)[2022·佛山一模]已知椭圆C的左、右焦点分别为F1(－1，0)，F2(1，0)，且F2到直线x－y－9＝0的距离等于椭圆的短轴长．(1)求椭圆C的方程；(2)若圆P的圆心为P(0，t)(t>0)，且经过F1，F2两点，Q是椭圆C上的动点，且在圆P外，过点Q作圆P的切线，切点为M，当|QM|的最大值为时，求t的值．4．(12分)已知F1，F2分别是椭圆E：＋y2＝1的左、右焦点，F1，F2关于直线x＋y－2＝0的对称点是圆C的一条直径的两个端点．(1)求圆C的方程．(2)设过点F2的直线l被椭圆E和圆C所截得的弦长分别为a，b.当ab最大时，求直线l的方程．难点突破5．(12分)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，直线y＝x被椭圆C截得的线段长为.(1)求椭圆C的方程．(2)过原点的直线与椭圆C交于A，B两点(A，B不是椭圆C的顶点)．点D在椭圆C上，且AD⊥AB，直线BD与x轴、y轴分别交于M，N两点．(i)设直线BD，AM的斜率分别为k1，k2，证明存在常数λ，使得k1＝λk2，并求出λ的值；44\n(ii)求△OMN面积的最大值．44\n课时作业(四十九) [第49讲 第3课时 定点、定值、探索性问题](时间：45分钟 分值：60分)基础热身1．(12分)过抛物线y2＝2px(p>0)上一定点P(x0，y0)(y0≠0)分别作斜率为k和－k的直线l1，l2，设l1，l2与抛物线y2＝2px分别交于A，B两点，证明直线AB的斜率为定值．2．(12分)[2022·北京朝阳区二模]已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为，右焦点到右顶点的距离为1.(1)求椭圆C的标准方程．(2)如果直线l：mx＋y＋1＝0与椭圆C交于A，B两点，那么是否存在实数m，使|＋|＝|－|成立？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．能力提升3．(12分)[2022·沈阳质检]在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)．四点(－，)，(1，)，(，0)，(，－)中有三点在椭圆C上．(1)求椭圆C的方程．(2)动直线l过点A(2，0)，与y轴交于点R，与椭圆C交于点Q(Q不与A重合)．过原点O作直线l的平行线m，直线m与椭圆C的一个交点记为P.问：是否存在常数λ，使得|AQ|，λ|OP|，|AR|成等比数列？若存在，请求出实数λ的值；若不存在，请说明理由．4．(12分)[2022·武汉调研]已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，过右焦点F的直线l与C相交于A，B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为.(1)求a，b的值．(2)椭圆C上是否存在点P，使得当l绕点F转到某一位置时，有＝＋成立？若存在，请求出所有点P的坐标及l的方程；若不存在，请说明理由．难点突破5．(12分)椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，过其右焦点F与长轴垂直的弦长为1.(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆C的左、右顶点分别为A，B，点P是直线x＝1上的动点，直线PA与椭圆的另一交点为M，直线PB与椭圆的另一交点为N，求证：直线MN经过一定点．44\n图K491参考答案课时作业(四十二)1．C [解析]因为90°的正切值不存在，所以选项A错误；因为倾斜角的范围是[0，π)，所以选项B，D错误，只有选项C正确．2．B [解析]由斜率公式得k＝＝1，又倾斜角范围为[0，π)，所以倾斜角为.3．B [解析]显然直线l3的倾斜角为钝角，所以k3<0，因为直线l1，l2的倾斜角都是锐角，且l2的倾斜角较大，所以0<k1<k2，所以k3<k1<k2.4．A [解析]设A(x，y)为所求直线上的任意一点，则点A关于x轴的对称点A′(x，－y)在直线2x－y＋1＝0上，所以有2x＋y＋1＝0，此方程为所求方程．5. [解析]由已知得y＝x＋a，所以直线的斜率k＝tanα＝，因为α∈[0，π)，所以α＝.6．C [解析]直线的斜率为－，在y轴上的截距为－，由直线经过第一、三、四象限，可知－>0，－<0，即ab<0，bc>0.7．B [解析]由＝＝y＋2＝tan＝－1，得y＝－3.8．D [解析]由已知得M(－3，0)，N(0，2)，所以Q点坐标为(－，1)，又P(－1，2)，所以直线PQ的斜率k＝＝2，由直线方程的点斜式得y－2＝2(x＋1)，即直线PQ的方程为2x－y＋4＝0.9．C [解析]因为0<a<1，所以>1，又因为y＝ax＋在x轴、y轴上的截距分别为－和，且>，所以选项C中的图像符合要求．10. [解析]当1－2a≠0，即a≠时，y＝x＋，因为直线不过第四象限，所以≥0且≥0，解得<a≤1；当1－2a＝0，即a＝时，x＝－1，不经过第四象限．综上知a的取值范围是.11．2x＋y＝0或x＋y－1＝0 [解析]当直线l过原点时，设直线l的方程为y＝kx，因为直线l过点(－1，2)，所以可得k＝－2，所以直线l的方程为2x＋y＝0；当直线l不过原点时，设直线l的方程为＋＝1，代入点(－1，2)的坐标，得a＝1，所以直线l的方程为x＋y－1＝0.12．解：方法一：由题易知直线l存在斜率，故可设直线l的方程为y＝kx＋1，设它与直线l1，l2分别交于A，B两点，且A，B，M的横坐标分别为xA，xB，xM.44\n联立与得xA＝，xB＝，又因为M平分线段AB，所以xA＋xB＝2xM，即＋＝0，解得k＝－.故直线l的方程为y＝－x＋1.方法二：设直线l与l1，l2分别交于A，B两点，因为点B在直线l2：y＝－2x＋8上，所以可设B(t，8－2t)，因为M(0，1)是AB的中点，所以由中点坐标公式可得A点坐标为(－t，2t－6)，因为A点在直线l1：x－3y＋10＝0上，所以－t－3(2t－6)＋10＝0，解得t＝4，所以A(－4，2)，B(4，0)．由两点式得直线l的方程为＝，整理得x＋4y－4＝0.13．解：方法一：由题意，设直线l：y－4＝k(x－1)，k<0，则a＝1－，b＝4－k，所以a＋b＝5＋－－k≥5＋4＝9，当且仅当k＝－2时，等号成立．故直线l的方程为y＝－2x＋6.方法二：设直线l：＋＝1(a>0，b>0)，由于直线l经过点A(1，4)，所以＋＝1，所以a＋b＝(a＋b)·＋＝5＋＋≥9，当且仅当＝，即b＝2a时，等号成立，此时a＝3，b＝6.所以所求直线l的方程为＋＝1，即y＝－2x＋6.课时作业(四十三)1．C [解析]易得直线MN的斜率为－1，而直线l与直线MN垂直，所以直线l的斜率为1，故其倾斜角是45°.2．B [解析]直线y＝ax－3a＋2可化为a(x－3)＋(2－y)＝0.因为a∈R，所以解得所以定点为(3，2)．3．A [解析]设点D的坐标为(x，y)，因为长方形的对角线相交于中点，所以线段AC，BD的中点重合，所以得故点D的坐标为(2，3)．4．D [解析]因为点A与A′关于直线l对称，所以AA′的中点在直线l上，且kAA′·kl＝－1.因为kAA′＝6，所以kl＝－，又AA′的中点为(4，2)，所以直线l的方程为y－2＝－(x－4)，即x＋6y－16＝0.44\n5. [解析]由两直线平行易知＝1，得cosα－sinα＝1，则|AB|＝＝.6．A [解析]当a＝1时，两直线为x＋y＝0和x－y＝1，此时这两条直线垂直；若这两条直线垂直，则a－a(2－a)＝0，可得a＝0或a＝1.综上知“a＝1”是“直线ax＋(2－a)y＝0与x－ay＝1垂直”的充分不必要条件．7．B [解析]在直线l′上任取一点P(x，y)，则点P关于点A对称的点P′(x′，y′)必在直线l上．由得P′(2－x，2－y)，所以4(2－x)＋3(2－y)－2＝0，即直线l′的方程为4x＋3y－12＝0.8．C [解析]由得由题可知所以所以－<k<2.9．A [解析]因为线段AB的中点为(0，2)，直线AB的斜率k＝－1，所以线段AB的垂直平分线方程为y＝x＋2.设D(a，b)，则CD的中点(，)在直线y＝x＋2上，且kCD＝＝－1，由得所以点D的坐标是(6，7)．10．2x－y＋1＝0 [解析]因为直线l到两直线的距离相等，所以l一定与两直线平行．设直线l为2x－y＋m＝0，则由两条平行线间的距离公式得＝，解得m＝1.所以直线l的方程为2x－y＋1＝0.11.(，0) [解析]设点A关于x轴的对称点为A′(2，－1)，如图所示．易得直线A′B的方程为y＋1＝－(x－2)，即3x＋5y－1＝0.令y＝0，得x＝，则当点P的坐标为(，0)时，|PA|＋|PB|的值最小．12．解：(1)当其中两条直线平行时，三直线不能构成三角形，易知l2与l3不可能平行．①若l1∥l2，则＝1，所以m＝4；②若l1∥l3，则＝－，所以m＝－.(2)当三条直线过同一点时，不能构成三角形，44\n由得直线l1与l2的交点A，(m≠4)，由点A在直线l3上，得m＝或m＝－1.综合(1)(2)可知，当m＝－1，m＝－，m＝或m＝4时，三条直线不能构成三角形，而在其余情况下，三条直线能构成三角形．13．解：易知两直线l1：a(x－2)＝2(y－2)，l2：2(x－2)＝－a2(y－2)都过点(2，2)，如图所示．设两直线l1，l2的交点为C，且它们的斜率分别为k1和k2，则k1＝∈(0，1)，k2＝－∈(－∞，－).因为直线l1与y轴的交点A的坐标为(0，2－a)，直线l2与x轴的交点B的坐标为(2＋a2，0)，所以S四边形OACB＝S△OAC＋S△OCB＝×(2－a)×2＋×(2＋a2)×2＝a2－a＋4＝a－2＋.所以当a＝时，四边形OACB的面积最小，且最小值为.课时作业(四十四)1．C [解析]由已知得k2＋k2<6，即k2<3，解得－<k<.2．A [解析]因为线段AB的中点为P(1，1)，又kCP＝＝－2，所以kAB＝，所以直线AB的方程为y－1＝(x－1)，即x－2y＋1＝0.3．B [解析]|PQ|的最小值为圆心到直线的距离减去半径．因为圆心为(3，－1)，半径为2，所以|PQ|的最小值为3－(－3)－2＝4.4．D [解析]由于圆心在第一象限且圆C与x轴相切，所以设圆心为(a，1)(a>0)，又圆与直线4x－3y＝0相切，所以＝1，解得a＝2，故圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.5．(x－1)2＋(y－1)2＝4 [解析]设圆心坐标为(a，b)．易知线段AB的中点C的坐标为(0，0)，直线AB的斜率为－1，则过点C且垂直于AB的直线方程为y＝x.圆心坐标(a，b)满足得从而可得圆的半径为＝2.因此，所求圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.6. － [解析]x2＋y2－4x＋1＝0可化为(x－2)2＋y2＝3.因为＝，所以表示过点P(－1，0)与圆(x－2)2＋y2＝3上的点的直线的斜率．44\n由图像知的最大值和最小值分别是过点P且与圆相切的直线PA，PB的斜率．因为kPA＝＝＝，kPB＝－＝－＝－，所以的最大值为，最小值为－.7．C [解析]由题意，设圆心坐标为(0，t)，则＝1，得t＝2，所以圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.8．B [解析]因为圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0关于直线2ax＋by＋6＝0对称，即圆心(－1，2)位于直线2ax＋by＋6＝0上，所以有a＝b＋3.又圆的切线长、圆的半径及点(a，b)到圆心的距离构成直角三角形的三边，所以切线长l满足l2＝(a＋1)2＋(b－2)2－()2＝2b2＋4b＋18＝2(b＋1)2＋16，当b＝－1时，l2取得最小值16，即切线长的最小值为4.故选B.9．B [解析]设圆上任意一点为Q(x0，y0)，线段PQ的中点为M(x，y)，则解得又因为点Q在圆x2＋y2＝4上，所以x＋y＝4，即(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，整理得所求的轨迹方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝1.10．C [解析]圆C的标准方程为(x－3)2＋y2＝，所以圆心C的坐标为(3，0)，半径为.在Rt△POC中，sin∠POC＝＝，所以∠POC＝，则劣弧PQ所对圆心角为，所以P，Q间的劣弧长为π×＝π.11．B [解析]圆的标准方程为(x－1)2＋(y－3)2＝10，则圆心为(1，3)，半径r＝.由题意知AC⊥BD，且|AC|＝2.因为圆心与点E的距离为＝，所以|BD|＝2＝2，所以四边形ABCD的面积S＝|AC||BD|＝×2×2＝10.12．x＋y＋1＝0 [解析]因为直线l不过原点，且在两坐标轴上的截距相等，所以设其方程为＋＝1(a≠0)．由直线l过圆x2＋y2－2x＋4y－4＝0的圆心(1，－2)，可得a＝－1，所以直线l的方程为x＋y＋1＝0.13．3－ [解析]圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝1，直线AB的方程为x－y＋2＝0，圆心(1，0)到直线AB的距离d＝＝，则点C到直线AB的最短距离为－1，又|AB|＝2，所以S△ABC的最小值为×2×－1＝3－.14．解：方法一：(用圆的标准方程)由已知得B点坐标为(2，2)，所以AB的中点坐标为(3，1)，kAB＝－1，所以AB的中垂线方程为y－1＝x－3，即y＝x－2.44\n又AM的中垂线方程为x＝，所以联立可得圆心P的坐标为，，半径r＝.所以圆P的方程为x－2＋y－2＝－22＋2，即x2＋y2－(a＋4)x－ay＋4a＝0.方法二：(用圆的一般方程)设圆P的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，由已知得B点坐标为(2，2)．因为点A，B，M在所求圆上，所以解得故圆P的方程是x2＋y2－(a＋4)x－ay＋4a＝0.15．解：(1)“方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆”的充要条件是“D2＋E2－4F>0”，所以有4(m＋3)2＋4(1－4m2)2－4(16m4＋9)＝－28m2＋24m＋4>0，解得－<m<1.(2)已知方程表示圆时，半径r＝＝＝.由(1)知，－<m<1，所以0<r≤.16．解：(1)设圆心C为(a，b)，由OC与直线y＝x垂直，知O，C两点连线的斜率kOC＝＝－1，故b＝－a.又|OC|＝2，所以＝2，解得或结合点C(a，b)位于第二象限，知所以圆C的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝8.(2)假设存在Q(m，n)满足条件，则解得故圆C上存在异于原点的点Q(，)符合题意．课时作业(四十五)1．C [解析]圆C的圆心为(0，0)，半径r＝2.因为圆心到直线l的距离d＝＝2，所以d＝r，所以直线l与圆相切．2．B [解析]若直线与圆有公共点，则直线与圆相交或相切，故有≤1，解得－2－≤a≤－2＋.3．A [解析]圆心C(1，0)到直线l的距离d＝＝，故|AB|＝244\n＝.4．C [解析]圆心C(0，0)到直线kx－y＋1＝0的距离d＝≤1<，所以直线与圆相交，但直线不过圆心．5．x－y＋2＝0 [解析]圆的方程可化为(x－2)2＋y2＝4，圆心坐标为(2，0)，半径为2，且点P在圆上．设切线方程为y－＝k(x－1)，即kx－y－k＋＝0，所以圆心到切线的距离d＝＝2，解得k＝，所以切线方程为x－y＋2＝0.6．(－2，1) [解析]圆心为(2t，t2)，圆心到直线x＋y＋3＝0的距离d＝＝，当t＝－1时，距离最小，此时圆心的坐标为(－2，1)．7．B [解析]点M(a，b)在圆x2＋y2＝1外，则满足a2＋b2>1，圆心到直线的距离d＝<1，故直线ax＋by＝1和圆O相交．8．C [解析]依题意可得C1(0，0)，C2(3，4)，则|C1C2|＝＝5.又r1＝1，r2＝，由r1＋r2＝＋1＝5，解得m＝9.9．C [解析]易知直线y＝kx－1过圆上一定点(0，－1)，不失一般性，记该点为P，又圆心为O，且|OP|＝|OQ|，∠POQ＝120°，故∠OPQ＝∠OQP＝30°，∠QOx＝120°－90°＝30°，所以∠QMx＝60°，即直线PQ的倾斜角为60°，斜率为k＝.又结合图像，由对称性知k＝－也符合题意，故k＝±.10．A [解析]依题意圆心(1，sinθ)到直线xcosθ＋ysinθ－1＝0的距离d＝＝，即|cosθ－cos2θ|＝.因为θ为锐角，所以0<cos2θ<cosθ<1，所以cos2θ－cosθ＋＝0，解得cosθ＝，所以sinθ＝，所以直线xcosθ＋ysinθ－1＝0的斜率k＝－＝－.11．B [解析]由题意知y＝kx与2x＋y＋b＝0互相垂直，故k＝.又由y＝kx与圆(x－2)2＋y2＝1的两个交点关于2x＋y＋b＝0对称，知2x＋y＋b＝0过圆心(2，0)，代入得b＝－4.12．x＋y－1＝0 [解析]因为圆心为A(3，0)，所以kAP＝＝1，则该弦所在直线的斜率k＝－1，所以所求直线的方程为y＋1＝－(x－2)，即x＋y－1＝0.13．(x－2)2＋y＋2＝9 [解析]因为圆心在曲线y＝－(x44\n>0)上，所以设圆心的坐标为a，－(a>0)，则半径r＝＝.因为a>0，所以由基本不等式得3a＋≥12，当且仅当a＝2时，等号成立，即当a＝2时，rmin＝3，故圆的面积最小时，圆心为(2，－)，半径为3，所以圆的方程为(x－2)2＋y＋2＝9.14．解：圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋1)2＝8，圆心为P(2，－1)，半径r＝2.(1)①若割线斜率存在，设直线AB的方程为y＋8＝k(x－4)，即kx－y－4k－8＝0.设AB的中点为N，则|PN|＝＝.由|PN|2＋2＝r2，得k＝－，所以直线AB的方程为45x＋28y＋44＝0.②若割线斜率不存在，则易得直线AB的方程为x＝4，代入圆的方程验证知，符合题意．综上，直线AB的方程为45x＋28y＋44＝0或x＝4.(2)切线长为＝＝3.易知以PM为直径的圆的方程为(x－2)(x－4)＋(y＋1)(y＋8)＝0，即x2＋y2－6x＋9y＋16＝0.又题中圆的方程为x2＋y2－4x＋2y－3＝0，两式相减，得2x－7y－19＝0，所以直线CD的方程为2x－7y－19＝0.15．解：(1)设圆心为M(m，0)(m∈Z)．由于圆与直线4x＋3y－29＝0相切，且半径为5，所以＝5，即|4m－29|＝25.因为m为整数，所以m＝1，故所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝25.(2)将直线方程ax－y＋5＝0与圆的方程联立，消去y，整理得(a2＋1)x2＋2(5a－1)x＋1＝0.由于直线ax－y＋5＝0交圆于A，B两点，所以Δ＝4(5a－1)2－4(a2＋1)>0，即12a2－5a>0.由a>0，解得a>，所以实数a的取值范围是(，＋∞).(3)设符合条件的实数a存在，由于直线l为弦AB的垂直平分线，且直线AB的斜率为a，所以直线l的斜率为－，故直线l的方程为y＝－(x＋2)＋4，即x＋ay＋2－4a＝0.由于l垂直且平分弦AB，所以圆心M(1，0)必在l上，所以1＋0＋2－4a＝0，解得a＝，又∈(，＋∞)，所以存在实数a＝，使得弦AB的垂直平分线过点P(－2，4)．16．解：曲线y＝－表示如图所示的半圆，其方程为x2＋y2＝50(－5≤44\ny≤0)．设直线l的方程为y＝k(x＋10)，即kx－y＋10k＝0，若直线l与半圆有两个交点，则其斜率k<0.过点O作OM⊥AB于M.圆心O(0，0)到直线l的距离|OM|＝，所以|AB|＝＝，所以S△AOB＝|AB|·|OM|＝·＝50·(k<0)．令t＝k2，f(t)＝，t∈(0，＋∞)，则f′(t)＝，令f′(t)＝0，得t＝.因为当t∈(0，)时，f′(t)>0；当t∈(，＋∞)时，f′(t)<0，所以当t＝时，f(t)有最大值，此时S△AOB取得最大值，所以k2＝，解得k＝－或k＝(舍去)，即△ABC的面积最大时，直线l的斜率为－.课时作业(四十六)1．D [解析]依题意，椭圆的焦距和短轴长相等，即b＝c，所以a2－c2＝c2，得e＝.2．C [解析]将椭圆方程变为＋＝1，由已知得>>0，所以0<a<b.3．C [解析]根据题意知|PF2|＝|F1F2|＝2c，直线PF2的倾斜角是60°，所以－c＝c，得e＝.4．C [解析]依题意设椭圆G的方程为＋＝1(a>b>0)．因为椭圆上一点到两个焦点的距离之和为12，所以2a＝12，得a＝6.因为椭圆的离心率为，所以＝，则b2＝9，所以椭圆G的方程为＋＝1.44\n5. [解析]依题意得|F1F2|2＝|AF1||BF1|，即4c2＝(a－c)(a＋c)＝a2－c2，整理得5c2＝a2，所以e＝＝.6．± [解析]设椭圆的另一个焦点为F2，由题意知F2P垂直于x轴．不妨设P的坐标为(3，y0)，则有＋＝1，所以y0＝±，故点M的纵坐标为±.7．A [解析]因为|a|＋|b|＝6表示动点M(x，y)到两点(－2，0)和(2，0)的距离的和为6，所以曲线C是椭圆，且长轴长2a＝6，即a＝3，又c＝2，所以e＝.8．B [解析]点P在线段AN的垂直平分线上，故|PA|＝|PN|，又AM是圆的半径，所以|PM|＋|PN|＝|PM|＋|PA|＝|AM|＝6>|MN|，由椭圆的定义知，点P的轨迹是椭圆．9．C [解析]由椭圆＋＝1可得点F(－1，0)，点O(0，0)．设P(a，b)，－2≤a≤2，则·＝a2＋a＋b2＝a2＋a＋31－＝a2＋a＋3＝(a＋2)2＋2，当且仅当a＝2时，·取得最大值6.10．A [解析]设A(x1，y1)．因为＋＝0，所以B(－x1，－y1)，＝(c－x1，－y1)，＝(2c，0)．又因为·＝0，所以(c－x1，－y1)·(2c，0)＝0，得x1＝c，代入椭圆方程得y1＝.因为离心率e＝，所以a＝c，b＝c，则Ac，，所以直线AB的方程是y＝x.11．A [解析]因为e＝，所以＝.因为a2＝b2＋c2，所以b2＝a2.因为x1＋x2＝－，x1x2＝－，所以x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝＋1＝＝<2.所以P点在圆x2＋y2＝2内．12．±1 [解析]设点A(x1，y1)，B(x2，y2)．由＝2，得x2＝2x1，y2＝2y1.因为点B在椭圆C2上，所以＋＝1①，又点A在椭圆C1上，所以＋y＝1②，由①②可得＝±1.所以直线OA的斜率为±1.13.－1 [解析]在△PF1F2中，由正弦定理得＝＝，即＝，即＝2c，所以e＝＝－1.14．解：(1)根据c＝及题设知M，故kMN＝＝，即2b2＝3ac.将b2＝a2－c2代入2b2＝3ac，44\n解得＝或＝－2(舍去)．故C的离心率为.(2)由题意知，原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴，所以直线MF1与y轴的交点D(0，2)是线段MF1的中点，故＝4，即b2＝4a.①由|MN|＝5|F1N|得|DF1|＝2|F1N|.设N(x1，y1)，由题意知y1<0，则即代入C的方程，得＋＝1.②将①及c＝代入②得＋＝1，解得a＝7，b2＝4a＝28，故a＝7，b＝2.15．解：(1)由＝－知，M是线段AB的中点．设A，B两点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)．由得(a2＋b2)x2－2a2x＋a2－a2b2＝0，则x1＋x2＝，y1＋y2＝－(x1＋x2)＋2＝，所以M点的坐标为(，)，又M点在直线l上，所以－＝0，所以a2＝2b2＝2(a2－c2)，所以a2＝2c2，所以e＝＝.(2)由(1)知b＝c，根据对称性，不妨设椭圆的右焦点F(b，0)关于直线l：y＝x的对称点的坐标为(x0，y0)，则有解得由已知得x＋y＝1，所以b2＋b2＝1，得b2＝1，所以所求椭圆的方程为＋y2＝1.16．解：(1)由题可得c＝1，e＝＝，解得a＝2，则b＝＝，所以椭圆E的方程为＋＝1.(2)设点C是圆M：x2＋(y－3)2＝1上的动点，所以|PM|≤|PC|＋1，椭圆的左焦点为44\nF1(－1，0)．依据椭圆的定义知，|PF2|＝4－|PF1|，所以|PM|＋|PF2|≤|PC|＋1＋4－|PF1|＝|PC|－|PF1|＋5≤|CF1|＋5.当点P是CF1的延长线与椭圆的交点时，|PC|－|PF1|取得最大值|CF1|＝－1(此时|PM|＝|PC|＋1)，所以|PM|＋|PF2|的最大值为＋4，故此时直线CF1的方程是y＝3x＋3.联立消去y得13x2＋24x＋8＝0，解得x＝，根据图像可知xP＝，yP＝，故此时的P点坐标为(，).课时作业(四十七)1．C [解析]由题意得b＝1，c＝，所以a＝，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x，即y＝±x.2．D [解析]依题意2a＝2，所以a＝1，又b＝1，所以c＝，所以双曲线的离心率e＝＝.3．B [解析]双曲线C的离心率为2.对于选项A，其离心率为，不符合题意；对于选项B，其离心率为，符合题意；对于选项C，其离心率为，不符合题意；对于选项D，其离心率为3，不符合题意．4．D [解析]∵0<k<5，∴5－k>0，16－k>0.对于双曲线－＝1，其焦距是2＝2；对于双曲线－＝1，其焦距是2＝2.故焦距相等．5.x2－＝1 [解析]双曲线C的一条渐近线与直线l：x＋y＝0垂直，从而渐近线方程为y＝±x，即＝，从而离心率e＝＝2.又双曲线C的一个焦点到l的距离为1，即＝1，所以c＝2，a＝1，b＝，所以C的方程为x2－＝1.6．x2－＝1 [解析]由题意可知＝，即b＝a，又抛物线的焦点坐标为(，0)，则双曲线的右焦点的坐标为(，0)，即c＝，于是可解得a＝1，b＝，所以双曲线方程为x2－＝1.7．B [解析]显然m>0，依题意a2＝9，所以c＝，所以双曲线的右焦点为(，0)，代入圆的方程，得m＋9－4－5＝0，解得m＝16，所以双曲线方程为－＝1，其渐近线方程为±＝0，即y＝±x.8．C [解析]由已知得2r＝|F1F2|＝2c，即r＝c，而r＝|OP|＝544\n，双曲线的渐近线方程为y＝±x，点P(3，4)在y＝x上，所以c＝5且＝，得a＝3，b＝4，所以双曲线方程为－＝1.9．D [解析]由已知得e2＝＝4，即n＝3m.又由题意可知，m＋n＝16，联立，解得所以mn＝48.10．B [解析]令x＝0，则y＝－3或y＝3，则不妨令A(0，－3)，B(0，3)．由题意可知，在双曲线中，a＝3，2c＝3×2a＝18，所以c＝9，得b2＝81－9＝72，因此，双曲线的标准方程是－＝1.11．C [解析]由|PF1|＝2|PF2|及|PF1|－|PF2|＝2得|PF2|＝2，|PF1|＝4，又|F1F2|＝4，所以cos∠F1PF2＝＝.12．7 [解析]依题意＝，又2c＝2＝2，解得a＝2，b＝3.由双曲线定义得||PF2|－|PF1||＝2a＝4，所以|PF2|＝7.13. [解析]不失一般性，设P点位于第一象限内，由渐近线的性质易知P点坐标为(，)，从而PF的中点坐标为(，)，将其代入双曲线方程，得－＝1，解之得c2＝2a2，即离心率e＝.14．解：(1)证明：设P(x1，y1)是双曲线上任意一点，则x－4y＝4.该双曲线的两条渐近线的方程分别是x－2y＝0和x＋2y＝0.点P(x1，y1)到两条渐近线的距离分别是和，其乘积是·＝＝.所以点P到双曲线的两条渐近线的距离的乘积是一个常数．(2)由(1)可知，|PA|2＝(x1－3)2＋y＝(x1－3)2＋－1＝x1－2＋.因为|x1|≥2，所以当x1＝时，|PA|2的最小值为，即|PA|取得最小值.15．解：(1)因为e＝，所以可设双曲线的方程为x2－y2＝λ(λ≠0)．因为双曲线过点P(4，－)，所以16－10＝λ，即λ＝6.所以双曲线的方程为x2－y2＝6.(2)证明：由(1)可知，在双曲线中，a＝b＝，所以c＝2，所以可令F1(－2，0)，F2(2，0)，所以kMF1＝，kMF2＝，所以kMF1·kMF2＝＝－.因为点M(3，m)在双曲线上，所以9－m2＝6，得m2＝3.故kMF1·kMF2＝－1，所以MF1⊥MF2，44\n所以·＝0.(3)△F1MF2的底边|F1F2|＝4，底边F1F2上的高为|m|＝，所以S△F1MF2＝6.16．解：(1)由点P在双曲线－＝1上，得－＝1.①又由题意得，·＝，②由①②可得a2＝5b2，c2＝a2＋b2＝6b2，则e＝＝.(2)由已知得化简整理得4x2－10cx＋35b2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则设＝(x3，y3)．由＝λ＋得又C为双曲线E上一点，即x－5y＝5b2，即(λx1＋x2)2－5(λy1＋y2)2＝5b2，化简得λ2(x－5y)＋(x－5y)＋2λ(x1x2－5y1y2)＝5b2.③又A(x1，y1)，B(x2，y2)在双曲线E上，所以x－5y＝5b2，x－5y＝5b2，又x1x2－5y1y2＝x1x2－5(x1－c)(x2－c)＝－4x1x2＋5c(x1＋x2)－5c2＝10b2，所以③式可变为λ2＋4λ＝0，解得λ＝0或λ＝－4.课时作业(四十八)1．A [解析]因为抛物线y＝x2的标准方程为x2＝4y，所以其准线方程为y＝－1.2．C [解析]显然p>0，依题意2＋＝4，得p＝4，所以抛物线的标准方程为y2＝8x.3．A [解析]由抛物线y2＝(a2－9)x开口向右可得a2－9>0，即a>3或a<－3，所以“a>3”是“方程y2＝(a2－9)x表示开口向右的抛物线”的充分不必要条件．4．C [解析]因为抛物线C：y2＝2px的准线为x＝－，且点A(－2，3)在准线上，故＝－2，解得p＝4，所以y2＝8x，所以焦点F的坐标为(2，0)，这时直线AF的斜率kAF＝＝－.5．(0，－) [解析]将抛物线方程化为x2＝－y，所以p＝，故焦点的坐标为(0，－)＝(0，－).6. [解析]抛物线的准线方程为y＝－，圆的方程可转化为(x－3)2＋y2＝16，由圆与准线相切，可得到＝4，所以a＝.7．C [解析]设抛物线的焦点为F，过A，B作抛物线准线的垂线AA1，BB1，由抛物线的定义知，|AF|＋|BF|＝|AA1|＋|BB1|.由梯形中位线的性质知，|AA1|＋|BB1|＝4，即|AF44\n|＋|BF|＝4.由椭圆的定义知，点F在以A，B为焦点的椭圆上，其中c＝1，a＝2，所以F的轨迹方程为＋＝1.又抛物线的焦点不在准线上，所以x≠0，故选C.8．C [解析]焦点F，0，当P，A，F三点共线时，|PA|＋|PM|取得最小值，此时|PA|＋|PM|＝|PA|＋|PF|－，即|PA|＋|PM|的最小值为|FA|－＝－＝5－＝.9．D [解析]双曲线x2－＝1的焦点在x轴上且左焦点的坐标为(－2，0)，则圆心M到定点(－2，0)与到定直线x＝2的距离相等，满足抛物线的定义，故动圆圆心M的轨迹方程是y2＝－8x.10．C [解析]由x2＝2py(p>0)得焦点F0，，准线l：y＝－，所以抛物线的准线与双曲线x2－y2＝3的交点为A(－，－)，B(，－)，所以|AB|＝，则|AF|＝|AB|＝，所以＝sin，即＝，解得p＝6.11．D [解析]依题意，得双曲线C1的离心率e＝＝＝2，得b＝a，因此双曲线C1的渐近线方程为y＝±x＝±x.根据对称性，不妨取其中一条渐近线x－y＝0.抛物线C2的焦点坐标为(0，)，该点到双曲线渐近线x－y＝0的距离d＝＝＝2，所以p＝8，所以抛物线C2的方程为x2＝16y.12．2 [解析]双曲线x2－y2＝1的左顶点为(－1，0)，抛物线y2＝2px(p>0)的准线方程为x＝－，故－＝－1，得p＝2.13．2p [解析]设A(，n)，B(，－n)，C(，t)(t≠n)，则由AC⊥BC，得·＝0，即－－＋(t－n)(t＋n)＝0，得t2＝n2－4p2，所以|CD|＝－＝＝2p.14．解：(1)由得x2－4x－4b＝0(*)．因为直线l与抛物线C相切，所以Δ＝(－4)2－4×(－4b)＝0，解得b＝－1.(2)由(1)可知b＝－1，故方程(*)为x2－4x＋4＝0，解得x＝2.将其代入x2＝4y，得y＝1，故点A(2，1)．因为圆A与抛物线C的准线相切，所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y＝－1的距离，即r＝|1－(－1)|＝2，所以圆A的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.15．解：(1)证明：依题意可设AB的方程为y＝kx＋2，代入x2＝4y，得x2＝4(kx＋2)，即x2－4kx－8＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1x2＝－8.44\n直线AO的方程为y＝x，BD的方程为x＝x2，解得交点D的坐标为.注意到x1x2＝－8及x＝4y1，则有y＝＝＝－2，因此D点在定直线y＝－2上(x≠0)．(2)依题意，切线l的斜率存在且不等于0.设切线l的方程为y＝ax＋b(a≠0)，代入x2＝4y得x2＝4(ax＋b)，即x2－4ax－4b＝0.由Δ＝0得(4a)2＋16b＝0，化简整理得b＝－a2.故切线l的方程可写为y＝ax－a2.分别令y＝2，y＝－2，得N1，N2的坐标为N1，N2，则|MN2|2－|MN1|2＝＋42－＝8，即|MN2|2－|MN1|2为定值8.16．解：(1)如图所示，由已知可得△BFD为等腰直角三角形，|BD|＝2p，点F到直线l的距离为p.因为△BFD的面积为4，所以×2p×p＝4，得p＝2，所以F(0，1)，|BF|＝2，因此圆F的方程为x2＋(y－1)2＝8.(2)因为A，B，F三点在同一直线m上，所以AB为圆F的直径，所以∠ADB＝90°.由抛物线的定义知|AD|＝|AF|＝|AB|，所以∠ABD＝30°，故直线m的斜率为或－.当m的斜率为时，由已知可设直线n：y＝x＋b，代入x2＝2py，得x2－px－2pb＝0.由于直线n与C只有一个公共点，故Δ＝p2＋8pb＝0，解得b＝－.因为直线m在y轴上的截距b1＝，所以＝3，于是坐标原点到直线m、直线n的距离的比值为3.当m的斜率为－时，由图形的对称性知，坐标原点到直线m、直线n的距离的比值也为3.课时作业(四十九)(第1课时)1．A [解析]由对称性可知，不妨取双曲线的一条渐近线y＝x，代入抛物线方程，得x2－2x＝0，得x＝0或x44\n＝2，所以所截线段的两端点的坐标分别为(0，0)，(2，2)．由两点间距离公式得线段长为2.2．D [解析]由题易知，－<k<.3．B [解析]由题意知>2，即<2，所以点P(m，n)在椭圆＋＝1的内部，因此直线与椭圆有2个交点．4．D [解析]将直线方程代入抛物线方程，消去y得x2－5x＋4＝0，解得x＝1或x＝4.不妨设A点在x轴的上方，于是A，B两点的坐标分别为(4，4)，(1，－2)，又F(1，0)，可求得|AB|＝3，|AF|＝5，|BF|＝2.在△ABF中，由余弦定理可得cos∠AFB＝＝－.5．2 [解析]抛物线y2＝2px(p>0)的准线方程为x＝－，而圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝2，则圆心的坐标为(0，1)，r＝，圆心到准线的距离为，所以2＋2＝()2，即p＝2.6．y＝x [解析]由于抛物线的焦点坐标为F(1，0)，所以抛物线的方程为y2＝4x.显然当直线的斜率不存在或为零时不满足题意，故设直线l的方程为y－2＝k(x－2)，其中k≠0，将直线方程与抛物线方程联立，消去y得k2x2＋[4k(1－k)－4]x＋4(1－k)2＝0，显然＝2，解得k＝1.故直线l的方程为y＝x.7．D [解析]抛物线将坐标平面划分为三个部分：内部、外部及抛物线上．当点A在内部时，满足条件的直线只有1条，即平行于抛物线的对称轴的直线；当点A在外部时，满足条件的直线有3条，其中2条为切线，1条为平行于抛物线的对称轴的直线；当点A在抛物线上时，满足条件的直线只有2条，其中1条为切线，1条为平行于抛物线的对称轴的直线．故选D.8．C [解析]与直线x－y－1＝0的距离为的直线方程为x－y＋1＝0和x－y－3＝0.易知直线x－y－3＝0与抛物线y2＝4x相交，有两个交点；直线x－y＋1＝0与抛物线y2＝4x相切，有一个公共点．因此满足条件的点A的个数是3.9．C [解析]抛物线的焦点坐标为F，直线AB的斜率k＝tan30°＝，所以直线AB的方程为y＝x－.由得x2－x＋＝0，故x1＋x2＝，x1x2＝，所以|AB|＝·|x1－x2|＝·＝12.10．A [解析]在Rt△MF1F2中，|F1F2|＝2c，则|MF2|＝，|MF1|＝.由双曲线定义可知|MF1|－|MF2|＝2a，即＝2a，化简得＝.11．A [解析]因为离心率e＝，所以a＝b，c＝a.又方程ax2－bx－c＝0的两个实数根分别为x1，x2，所以x2＋x1＝＝1，x2·x1＝－＝－，所以x＋x＝(x2＋x1)2－4x2·x1＝1＋4＜8，故点P(x1，x2)在圆内．12. [解析]在△APF中，|PA|＝|PF|，由抛物线方程x2＝8y知，p＝4，所以|AF|sin60°＝p＝4，得|AF|＝.又∠PAF＝∠PFA＝30°，所以|AF|＝|PA|cos30°，得|PA|＝44\n，故|PF|＝.13. [解析]由椭圆的方程，可知长半轴长a＝2.由椭圆的定义，可知|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a＝8，所以|AB|＝8－(|AF2|＋|BF2|)≥3.由椭圆的性质，可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，即＝3，可求得b2＝3，即b＝.14．解：(1)设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，由题意知c＝，2a＝|AC|＋|BC|＝4，所以b＝，所以椭圆的方程为＋＝1.(2)易知直线l的方程为y＝－(x－m)，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，易知x1≠x2≠1.联立直线的方程与椭圆的方程，得3x2－4mx＋2m2－4＝0，所以由Δ＝16m2－12(2m2－4)>0，得－<m<.若Q(1，0)恰在以线段MN为直径的圆上，则·＝－1，即m2＋1－(m＋1)(x1＋x2)＋2x1·x2＝0，即3m2－4m－5＝0，解得m＝，因为∈(－，)，∈(－，)，所以m＝符合题意．15．解：(1)因为抛物线的准线方程为x＝－1，所以p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l的方程为y＝k(x＋1)，依题意知k存在，且k≠0，将直线方程代入抛物线方程，消去y得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0，(*)所以x1＋x2＝，x1x2＝1，所以线段AB的中点的横坐标为，即＝7，所以k2＝，此时(*)式判别式大于零，所以直线l的方程为y＝±(x＋1)．(2)因为A为线段PB的中点，所以＝x1，＝y1.由A，B为抛物线上的点，得2＝4×，且y＝4x2，解得x2＝2，y2＝±2.当y2＝2时，y1＝；当y2＝－2时，y1＝－.44\n所以△FAB的面积S△FAB＝S△PFB－S△PFA＝|PF|·|y2－y1|＝.16．解：(1)由题意知，e＝＝，当直线AB的斜率为0时，|AB|＝2a，故|CD|＝7－2a，所以a2＝4c2，b2＝3c2.因为点(c，)在椭圆上，即＋＝1，所以c＝1.所以椭圆的方程为＋＝1.(2)①当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，由题意知|AB|＋|CD|＝7.②当两弦斜率均存在且不为0时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，且设直线AB的方程为y＝k(x－1)，则直线CD的方程为y＝－(x－1)．将直线AB的方程代入椭圆方程中，并整理得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，所以|AB|＝|x1－x2|＝.同理，|CD|＝＝.所以|AB|＋|CD|＝＋＝.令t＝k2＋1，则t>1，3＋4k2＝4t－1，3k2＋4＝3t＋1，设f(t)＝＝－＋＋12＝－(－)2＋，因为t>1，所以∈(0，1)，所以f(t)∈(12，]，所以|AB|＋|CD|＝∈[，7)．综合①与②可知，|AB|＋|CD|的取值范围是[，7]．课时作业(四十九)(第2课时)1．解：(1)由椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝2a，即2a＝＋＝4，所以a＝2，又c＝1，所以b2＝a2－c2＝3，44\n所以椭圆方程为＋＝1.(2)设M(x0，y0)，则圆M的半径r＝，圆心M到y轴的距离d＝|x0|.若圆M与y轴有两个交点，则有r>d，即>|x0|，化简得y－2x0＋1>0.因为M为椭圆上的点，所以y＝3－x，代入上述不等式，得3x＋8x0－16<0，解得－4<x0<.又因为－2≤x0≤2，所以－2≤x0<，即点M横坐标的取值范围为.2．解：(1)①由已知可得所以于是b2＝a2－c2＝3，所以椭圆C1的方程为＋＝1.②根据已知条件和抛物线定义知动圆圆心的轨迹为抛物线，且抛物线C的焦点为(1，0)，准线方程为x＝－1，所以动圆圆心轨迹C的方程为y2＝4x.(2)由题设知直线MN，PQ的斜率均不为零，设直线MN的斜率为k(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则直线MN的方程为y＝k(x－1)与y2＝4x联立，消去y，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.由抛物线定义知|MN|＝|MF2|＋|NF2|＝x1＋1＋x2＋1＝＋2＝＋4，同理可得|PQ|＝4＋4k2.又S四边形PMQN＝|MM|·|PQ|＝4＋(4＋4k2)＝82＋k2＋≥32，当且仅当k＝±1时取等号，所以四边形PMQN面积的最小值为32.3．解：(1)设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，依题意知，2b＝＝4，所以b＝2，又c＝1，所以a2＝b2＋c2＝5，所以椭圆C的方程为＋＝1.(2)设Q(x0，y0)(－2≤y0≤2)，圆P的方程为x2＋(y－t)2＝t2＋1.因为PM⊥QM，所以|QM|＝＝＝，若－4t≤－2，则t≥，则当y0＝－2时，|QM|取得最大值，且|QM|max＝＝，解得t＝<(舍去)．44\n若－4t>－2，则0<t<，则当y0＝－4t时，|QM|取得最大值，且|QM|max＝＝，解得t2＝，又0<t<，所以t＝.综上可知，当t＝时，|QM|取得最大值.4．解：(1)由题设知，F1，F2的坐标分别为(－2，0)，(2，0)，圆C的半径为2，圆心为原点O关于直线x＋y－2＝0的对称点．设圆心的坐标为(x0，y0)，由解得所以圆C的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝4.(2)由题意，可设直线l的方程为x＝my＋2，则圆心到直线l的距离d＝，所以b＝2＝.由得(m2＋5)y2＋4my－1＝0.设l与E的两个交点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则y1＋y2＝－，y1y2＝－.于是a＝＝＝＝＝.从而ab＝＝＝≤＝2.当且仅当＝，即m＝±时等号成立．故当m＝±时，ab最大，此时，直线l的方程为x＝y＋2或x＝－y＋2，即x－y－2＝0或x＋y－2＝0.5．解：(1)由题意知，＝，可得a2＝4b2.椭圆C的方程可简化为x2＋4y2＝a2.44\n将y＝x代入可得x＝±.因此×＝，即a＝2，所以b＝1，所以椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)(i)设A(x1，y1)(x1y1≠0)，D(x2，y2)，则B(－x1，－y1)．因为直线AB的斜率kAB＝，且AB⊥AD，所以直线AD的斜率k＝－.设直线AD的方程为y＝kx＋m，由题意知k≠0，m≠0.由消去y，得(1＋4k2)x2＋8mkx＋4m2－4＝0，所以x1＋x2＝－，因此y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝.由题意知x1≠－x2，所以k1＝＝－＝.所以直线BD的方程为y＋y1＝(x＋x1)．令y＝0，得x＝3x1，即M(3x1，0)．可得k2＝－.所以k1＝－k2，即λ＝－.因此，存在常数λ＝－使得结论成立．(ii)直线BD的方程y＋y1＝(x＋x1)，令x＝0，得y＝－y1，即N.由(i)知M(3x1，0)，所以△OMN的面积S＝×3|x1|×|y1|＝|x1||y1|.因为|x1||y1|≤＋y＝1，当且仅当＝|y1|＝时，等号成立，此时S取得最大值，所以△OMN面积的最大值为.课时作业(四十九)(第3课时)44\n1．证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)．联立消去x得y2－y＋－2px0＝0，由韦达定理得y0＋y1＝，所以y1＝－y0①，同理y0＋y2＝－，得y2＝－－y0②，由①②得y1＋y2＝－2y0，所以kAB＝＝＝＝－，故直线AB的斜率为定值．2．解：(1)设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，半焦距为c，依题意得解得所以b2＝a2－c2＝3，所以椭圆C的标准方程是＋＝1.(2)不存在实数m，使|＋|＝|－|，证明如下：把y＝－mx－1代入椭圆C：3x2＋4y2＝12中，整理得(3＋4m2)x2＋8mx－8＝0.由于直线l恒过椭圆内定点(0，－1)，所以判别式Δ>0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1·x2＝.依题意，若|＋|＝|－|，则·＝0，即x1x2＋y1y2＝x1x2＋(－mx1－1)·(－mx2－1)＝0，整理得(m2＋1)x1x2＋m(x1＋x2)＋1＝0，所以(m2＋1)－＋1＝0，整理得m2＝－，矛盾．所以不存在实数m，使|＋|＝|－|.3．解：(1)由于椭圆是对称图形，所以点－，，，－必在椭圆上，于是有＋＝1，①若点(，0)在椭圆上，则a＝，此时＋>1，矛盾，所以点(1，)在椭圆上，即＋＝1，②由①②解得a2＝4，b2＝3，所以椭圆C的方程为＋＝1.③(2)设直线l：y＝k(x－2)，④直线m：y＝kx，⑤44\n③④联立得(3＋4k2)x2－16k2x＋16k2－12＝0，|AQ|＝＝.又由④可得R(0，－2k)，所以|AR|＝2.联立方程③⑤，消去y得(3＋4k2)x2－12＝0，所以2|OP|＝，|OP|＝.要使|AQ|，λ|OP|，|AR|成等比数列，只需|AQ|·|AR|＝(λ|OP|)2，即×2＝，整理得λ2＝2，所以存在λ＝±满足条件．4．解：(1)设F(c，0)，当l的斜率为1时，其方程为x－y－c＝0，所以O到l的距离为＝，由已知，得＝，所以c＝1.由e＝＝，得a＝，b＝＝.(2)假设椭圆C上存在点P，使得当l绕点F转到某一位置时，有＝＋成立．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P(x1＋x2，y1＋y2)，由(1)知C的方程为＋＝1.由题意知，l的斜率一定不为0，故不妨设l：x＝ty＋1.联立消去x，得(2t2＋3)y2＋4ty－4＝0.由根与系数的关系，得y1＋y2＝－，所以x1＋x2＝ty1＋1＋ty2＋1＝t(y1＋y2)＋2＝－＋2＝，所以P(，－).因为点P在椭圆C上，所以＋＝1，化简整理，得4t4＋4t2－3＝0，即(2t2＋3)(2t2－1)＝0，解得t2＝.当t＝时，P(，－)，此时l的方程为x－y－＝0；当t＝－时，P（，)，此时l的方程为x＋y－＝0.44\n5．解：(1)依题意e＝＝，过右焦点F与长轴垂直的直线x＝c与椭圆＋＝1相交于两点，得弦长为＝1.由＝，＝1得b＝1，a＝2.所以椭圆的方程＋y2＝1.(2)证明：设P(1，t)，kPA＝＝，直线lPA：y＝(x＋2)，联立得即(4t2＋9)x2＋16t2x＋16t2－36＝0，可知－2xM＝，所以xM＝，则同理得到由椭圆的对称性可知这样的定点在x轴上，不妨设这个定点为Q(m，0)，又kMQ＝，kNQ＝，kMQ＝kNQ，所以(8m－32)t2－6m＋24＝0，即(m－4)(4t2－3)＝0，m＝4.44
