【高考复习方案】（新课标）2022届高考数学一轮复习第5单元数列课时作业文课时作业(二十七) [第27讲 数列的概念与简单表示法](时间：45分钟 分值：100分)基础热身1．下列可作为数列1，2，1，2，1，2，…的一个通项公式的是( )A．an＝1B．an＝C．an＝2－D．an＝2．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2(an－1)，则a2等于( )A．－2B．2C．1D．43．已知数列{an}满足a1＞0，2an＋1＝an，则数列{an}是( )A．递增数列B．递减数列C．常数列D．摆动数列4．[2022·濮阳一模]已知数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn)在函数y＝3×2x的图像上，则a5＝( )A．24B．48C．72D．965．数列{an}满足an＋1＝，a7＝，则a1＝________．6．数列{an}满足a1＋3a2＋5a3＋…＋(2n－1)·an＝(n－1)·3n＋1＋3(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为an＝________．能力提升7．数列0，1，0，－1，0，1，0，－1，…的一个通项公式是an＝( )A.B．cosC．cosπD．cosπ8．[2022·金丽衢十二校联考]已知函数y＝f(x)，数列{an}的通项公式是an＝f(n)(n∈N*)，那么“函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增”是“数列{an}是递增数列”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件9．数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn，则a6等于( )A．3×44B．3×44＋1C．45D．45＋110．若数列{an}满足a1＝19，an＋1＝an－3(n∈N*)，则数列{an}的前n项和的数值最大时，n的值为( )A．6B．7C．8D．911．数列{an}前n项和Sn＝n2＋2n－2，对数列{an}描述正确的是( )A．数列{an}为递增数列B．数列{an}为递减数列C．数列{an}为等差数列D．数列{an}为等比数列12．已知数列{an}的前n项和Sn＝，则an＝________．13．[2022·齐齐哈尔二模]已知数列{an}满足a1＝2，an＝－(n≥2且n∈N*)，若数列{an}的前n项和为Sn，则S2022＝________．14．(10分)已知数列{an}的通项公式是an＝n2－7n＋6.(1)求这个数列的第4项．21\n(2)150是不是这个数列的项？若是，它是第几项？(3)该数列从第几项开始各项都是正数？15．(13分)[2022·龙岩质检]已知数列{an}的前n项和为Sn，对一切正整数n，点Pn(n，Sn)都在偶函数f(x)＝x2＋bx的图像上．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝2n＋an，求数列{bn}的前n项和Tn.难点突破16．(12分)[2022·开封三模]已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1(n∈N*)．(1)证明：数列{an＋1}是等比数列；(2)若数列{bn}满足4b1－1·42b2－1·43b3－1·…·4nbn－1＝(an＋1)n，求数列{bn}的通项公式．21\n课时作业(二十八) [第28讲 等差数列及其前n项和](时间：45分钟 分值：100分)基础热身1．等差数列{an}中，a1＝2，a2＋a3＝13，则a4＋a5＋a6等于( )A．14B．42C．21D．272．[2022·吉林二模]已知等差数列的前n项和为Sn，且S3＝6，a3＝0，则公差d等于( )A．－1B．1C．2D．－23．[2022·石家庄二模]已知Sn为等差数列{an}的前n项和，a2＋a9＝a6，则S9＝( )A．－2B．0C．1D．24．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S4＋a25＝5，则一定有( )A．a6是常数B．S7是常数C．a13是常数D．S13是常数5．在等差数列{an}中，若a4＝3，则S7＝________．6．已知数列{an}是公差d不为零的等差数列，且a2＋a6＝a8，则＝________．能力提升7．等差数列{an}中，a4＋a8＝10，a10＝6，则a18＝( )A．8.5B．8C．7.5D．78．等差数列{an}中，a7＝，则tan(a6＋a7＋a8)等于( )A．－B．－C．－1D．19．[2022·安庆二模]已知Sn是数列{an}的前n项和，若an＋1＝an＋a2，且a3＝2，则S2022＝( )A．1006×2022B．1006×2022C．1007×2022D．1007×202210．已知Sn为等差数列{an}的前n项和，且S7＝S2，若a1＝1，ak＋a4＝0，则k的值是( )A．5B．6C．7D．811．设数列{an}是以3为公差的等差数列，Sn是其前n项和，若S10是数列{Sn}中的唯一最小项，则数列{an}的首项a1的取值范围是( )A．[－30，－27]B．(30，33)C．(－30，－27)D．[30，33]12．[2022·苏州一模]已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S5＝5，S9＝27，则S7＝________．13．在等差数列{an}中，首项a1＝0，公差d≠0，若am＝a1＋a2＋…＋a9，则m＝________．14．(10分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn.(1)若a1＝1，S10＝100，求数列{an}的通项公式；(2)若Sn＝n2－6n，解关于n的不等式Sn＋an>2n.15．(13分)设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝nan－2n(n－1)．(1)求证：数列{an}是等差数列；(2)设数列的前n项和为Tn，求Tn.难点突破16．(12分)已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，等式an＋an＋2＝2an＋1对任意n∈N*21\n均成立．(1)若a4＝10，求数列{an}的通项公式；(2)若a2＝1＋t，且存在m≥3(m∈N*)，使得am＝Sm成立，求t的最小值．21\n课时作业(二十九) [第29讲 等比数列及其前n项和](时间：45分钟 分值：100分)基础热身1．“1，x，16成等比数列”是“x＝4”成立的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝( )A.B．－C.D．－3．[2022·福州质检]记等比数列{an}的前n项积为Πn，若a4·a5＝2，则Π8＝( )A．256B．81C．16D．14．[2022·濮阳二模]设Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列，则等于( )A．1B．2C．3D．45．[2022·漳州质检]若等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a5＋a7＝160，则公比q＝________，前n项和Sn＝________．6．若公比为的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11＝16，则log2a16＝________．能力提升7．[2022·洛阳二模]已知{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．若a2a4＝16，S3＝7，则S4等于( )A．15B．31C．63D.8．已知公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a2a4＝16，则log2a1＝( )A．4B．0C．2D．19．公差不为零的等差数列{an}中，a2，a3，a6成等比数列，则该等比数列的公比为( )A．1B．2C．3D．410．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝，则＝( )A.B.C.D.11．设数列{an}是以2为首项，1为公差的等差数列，数列{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列，则ba1＋ba2＋ba3＋…＋ba6等于( )A．78B．84C．124D．12612．在公差不为零的等差数列{an}中，2a4－a＋2a12＝0，若数列{bn}是等比数列，且b8＝a8，则b5b11＝________．13．已知等比数列{an}是递增数列，Sn是数列{an}的前n项和，若a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的两个根，则S6＝__________．14．(10分)[2022·厦门质检]已知{an}是等差数列，Sn为其前n项和，n∈N*，且a7＝20，S3＝15.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若等比数列{bn}满足b1＝a1，b4＝a2＋a4，求数列{bn}的前n项和Tn.15．(13分)各项均为正数的数列{an}中，a1＝1，Sn是数列{an}的前n项和，21\n对任意n∈N*，2Sn＝2pa＋pan－p(p∈R)．(1)求常数p的值；(2)求数列{an}的前n项和Sn.难点突破16．(12分)在数列{an}中，a1＝，an＋1＝，n∈N*.(1)求证：数列为等比数列．(2)是否存在互不相等的正整数m，s，t，使m，s，t成等差数列，且am－1，as－1，at－1成等比数列？如果存在，求出所有符合条件的m，s，t的值；如果不存在，请说明理由．21\n课时作业(三十) [第30讲 数列求和](时间：45分钟 分值：100分)基础热身1．已知数列{an}的通项公式是an＝2n－3()n，则其前20项和为( )A．380－(1－)B．400－(1－)C．420－(1－)D．440－(1－)2．[2022·重庆三模]已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝5，S5＝15，则数列的前100项和为( )A.B.C.D.3．若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n(2n－1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100＝( )A．－200B．－100C．200D．1004．若数列{an}的通项公式为an＝ncos，其前n项和为Sn，则S2022＝( )A．－1006B．1007C．－1008D．10095．[2022·南平质检]已知数列{an}的通项公式为an＝n＋，则数列{an}的前n项和Sn＝________．6．[2022·海口二模]设数列{an}的通项公式为an＝2n－1，则数列的前n项和Sn等于________．能力提升7．数列1，1＋2，1＋2＋4，…，1＋2＋22＋…＋2n－1，…的前n项和Sn>1020，那么n的最小值是( )A．7B．8C．9D．108．[2022·南宁一模]如果一个数列{an}满足an＋1＋an＝h(h为常数，n∈N*)，则称数列{an}为等和数列，h为公和．已知等和数列{an}中，Sn为其前n项和，a1＝2，h＝－1，则S2022等于( )A．－1007B．1005C．－1006D．10079．已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N*)，其前n项和Sn＝，则直线＋＝1与两坐标轴所围成的三角形的面积为( )A．36B．45C．50D．5510．已知函数f(x)＝xa的图像过点(4，2)，令an＝，n∈N*.记数列{an}的前n项和为Sn，则S2022＝( )A.－1B.－1C.－1D.＋111．定义为n个正数p1，p2，…，pn的“均倒数”．若正数数列{an}的前n项的“均倒数”为，且bn＝，则＋＋…＋＝( )21\nA.B.C.D.12．已知函数f(n)＝且an＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100等于________．13．在数列{an}中，a1＝1，an＋an＋1＝()n(n∈N*)，记Tn＝a1＋a2·4＋a3·42＋…＋an·4n－1，则5Tn－4nan＝__________．14．(10分)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a4＝2a3，S2＝6.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足bn＝an＋log2an，求数列{bn}的前n项和Tn.15．(13分)[2022·濮阳二模]设{an}是等差数列，{bn}是各项为正数的等比数列，且a1＝b1＝1，a3＋b5＝21，a5＋b3＝13.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)求数列的前n项和Sn.难点突破16．(12分)已知数列{an}的首项a1＝1，其前n项和为Sn，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝log3an＋1，求数列的前n项和Tn，并说明1≤Tn<.21\n课时作业(三十一) [第31讲 数列的综合问题](时间：45分钟 分值：100分)基础热身1．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a4＜0，a5＞|a4|，则使Sn＞0成立的最小正整数n为( )A．6B．7C．8D．92．已知a，b，c是三个不同的实数，若a，b，c成等差数列，且b，a，c成等比数列，则a∶b∶c为( )A．2∶1∶4B．－2∶1∶4C．1∶2∶4D．1∶(－2)∶43．在正项等比数列{an}中，a1＝1，前n项和为Sn，且－a3，a2，a4成等差数列，则S7的值为( )A．125B．126C．127D．1284．若数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＋2＝3an(n∈N*)，则an＝( )A．2n－1B．nC．2n－1D．()n－15．[2022·自贡一诊]一小区计划植树不少于1000棵，若第1天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N*)等于________．6．[2022·南昌一模]现有一根n节的竹竿，自上而下每节的长度依次构成等差数列，已知最上面一节的长为10，最下面的三节的长度之和为114，第6节的长度是首节与末节长度的等比中项，则n＝________．能力提升7．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a2a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项是，则S5等于( )A．35B．31C．33D．298．[2022·上饶二模]如图K311所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n个点，若第n个图案中总的点数记为an，则a1＋a2＋a3＋…＋a10＝( )图K311A．126B．135C．136D．1409．已知各项不为0的等差数列{an}满足a4－2a＋3a8＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b2b8b11等于( )A．1B．2C．4D．810．《张丘建算经》卷上第22题——“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同．已知第一天织布5尺，30天共织布390尺，则该女子织布每天增加( )A.尺B.尺C.尺D.尺21\n图K31211．如图K312所示，矩形AnBnCnDn的一边AnBn在x轴上，另外两个顶点Cn，Dn在函数f(x)＝x＋(x>0)的图像上，若点Bn的坐标为(n，0)(n≥2，n∈N＋)，记矩形AnBnCnDn的周长为an，则a2＋a3＋…＋a10＝( )A．208B．212C．216D．22012．[2022·蚌埠质检]在数列{an}中，an为正整数，an＋1＝若a1＝5，则a1＋a2＋a3＝________．13．已知数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，若S4＝20，S6－S2＝36，则Sn＝________．14．(10分)将函数y＝sinπx在区间(0，＋∞)内的全部零点按从小到大的顺序排成数列{an}．(1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn＝2nan，其中n∈N*，求数列{bn}的前n项和Tn.15．(13分)[2022·淄博二模]某市为控制大气中PM2.5的浓度，规定：每年大气中主要污染物的排放总量不能超过55万吨，否则将采取紧急限排措施．已知该市2022年的大气主要污染物的排放总量为40万吨，通过技术改造和倡导绿色低碳生活等措施，此后每年大气中主要污染物的排放总量比上一年的排放总量减少10%.同时，因经济发展和人口增加等因素，每年新增加大气主要污染物排放量m(m>0)万吨．(1)从2022年起，该市每年大气主要污染物的排放总量(万吨)依次构成数列{an}，求相邻两年主要污染物排放总量的关系式；(2)证明：数列{an－10m}是等比数列；(3)若该市始终不需要采取紧急限排措施，求m的取值范围．难点突破16．(12分)已知函数f(x)＝x＋(x＞0)，以点(n，f(n))为切点作函数图像的切线ln(n∈N*)，直线x＝n＋1与函数y＝f(x)的图像及切线ln分别相交于An，Bn，记an＝|AnBn|.(1)求切线ln的方程及数列{an}的通项公式；(2)设数列{nan}的前n项和为Sn，求证：Sn＜1.参考答案课时作业(二十七)1．C [解析]由an＝2－，可得a1＝1，a2＝2，a3＝1，a4＝2，…，故选C.2．D [解析]因为Sn＝2an－2，所以S1＝a1＝2a1－2，得a1＝2.又S2＝a1＋a2＝2a2－2，所以a2＝4.21\n3．B [解析]由已知a1＞0，2an＋1＝an，得an＞0，＝＜1，∴an＋1＜an，∴数列{an}是递减数列．4．B [解析]由点(n，Sn)在函数y＝3×2x的图像上，得Sn＝3×2n，则a5＝S5－S4＝3×25－3×24＝48.5. [解析]由an＋1＝知，a7＝＝，解得a6＝－1.由a6＝＝－1，解得a5＝2.由a5＝＝2，解得a4＝.依次类推，得a1＝.6．3n [解析]由a1＋3a2＋5a3＋…＋(2n－3)·an－1＋(2n－1)·an＝(n－1)·3n＋1＋3，得a1＋3a2＋5a3＋…＋(2n－3)·an－1＝(n－2)·3n＋3，两式相减，得an＝3n.7．D [解析]对选项进行逐一验证，易得D正确．8．A [解析]若函数递增，则对应的数列一定递增；若数列递增，则对应的函数不一定递增．9．A [解析]由an＋1＝3Sn，得an＋2＝3Sn＋1，∴an＋2－an＋1＝3Sn＋1－3Sn＝3an＋1，即an＋2＝4an＋1，∴该数列从第二项开始是以4为公比的等比数列．又a2＝3S1＝3a1＝3，则an＝∴当n＝6时，a6＝3×46－2＝3×44.10．B [解析]∵a1＝19，an＋1－an＝－3，∴数列{an}是以19为首项，－3为公差的等差数列，则an＝19＋(n－1)×(－3)＝22－3n.设数列{an}的前k(k∈N*)项和的数值最大，则有即∴≤k≤.∵k∈N*，∴k＝7.11.A [解析]由Sn＝n2＋2n－2，当n＝1时，S1＝1＝a1，当n>1时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1，从而可知，从第二项开始，数列{an}是公差为2的等差数列，为递增数列，又a2＝3>a1，所以数列{an}为递增数列．12. [解析]当n＝1时，a1＝1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝.又a1＝1满足上式，所以该数列的通项公式是an＝.13．113 [解析]由已知得a1＝2，a2＝－，a3＝－，a4＝2，…，所以数列{an}是以3为周期的周期数列，所以S2022＝a1＋671×2－－＝113.14．解：(1)当n＝4时，a4＝42－4×7＋6＝－6.(2)令an＝150，即n2－7n＋6＝150，解得n＝16或n＝－9(舍去)，即150是这个数列的第16项．(3)令an＝n2－7n＋6>0，解得n>6或n<1(舍)．故该数列从第7项开始各项都是正数．15．解：(1)∵函数f(x)＝x2＋bx是偶函数，∴b＝0，∴f(x)＝x2.∵点Pn(n，Sn)在函数f(x)＝x2的图像上，∴Sn＝n2.21\n当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1，当n＝1时，a1＝S1＝1也符合上式，∴an＝2n－1.(2)∵bn＝2n＋an＝2n＋2n－1，∴Tn＝＋＝2n＋1＋n2－2.16．解：(1)证明：∵an＋1＝2an＋1，∴an＋1＋1＝2(an＋1)，故数列{an＋1}是首项为a1＋1＝2，公比为2的等比数列．(2)∵4b1－1·42b2－1·43b3－1·…·4nbn－1＝(an＋1)n，∴4b1＋2b2＋3b3＋…＋nbn－n＝(2n)n＝2n2，∴2(b1＋2b2＋…＋nbn)－2n＝n2，即2(b1＋2b2＋…＋nbn)＝n2＋2n.①当n≥2时，2[b1＋2b2＋…＋(n－1)bn－1]＝(n－1)2＋2(n－1)＝n2－1.②由①－②得，2nbn＝2n＋1(n≥2)，即bn＝1＋(n≥2)，当n＝1时，b1＝也满足上式，因此bn＝1＋.课时作业(二十八)1．B [解析]设等差数列{an}的公差为d，由题意可得解得则数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d＝3n－1，∴a4＋a5＋a6＝3a5＝3×14＝42.2．D [解析]由题意可得即解得3．B [解析]由a2＋a9＝a6，得a5＋a6＝a6，所以a5＝0，所以S9＝＝9a5＝0.4．D [解析]由S4＋a25＝5，得4a1＋d＋(a1＋24d)＝5，即a1＋6d＝1，∴S13＝＝13a7＝13(a1＋6d)＝13.5．21 [解析]在等差数列{an}中，a1＋a7＝2a4＝6，则S7＝＝21.6．3 [解析]由a2＋a6＝a8，得2a1＋6d＝a1＋7d，即a1＝d≠0，所以＝＝＝3.7．B [解析]设等差数列{an}的公差为d，由题意可得解得则a18＝a1＋17d＝＋17×＝8.8．C [解析]由等差数列的性质，得a6＋a8＝2a7.21\n又a7＝，所以tan(a6＋a7＋a8)＝tan＝－1.9．C [解析]在an＋1＝an＋a2中，令n＝1，则a2＝a1＋a2，得a1＝0.令n＝2，则a3＝2a2＝2，得a2＝1，所以an＋1－an＝1，则数列{an}是首项为0，公差为1的等差数列，所以S2022＝＝1007×2022.10．B [解析]设等差数列的公差为d.依题意得7a1＋21d＝2a1＋d，即a1＋4d＝0.又a1＝1，所以d＝－.由ak＋a4＝0，得a1＋(k－1)d＋(a1＋3d)＝0，解得k＝6.11．C [解析]因为公差d＝3>0，所以数列{an}是递增数列．又S10是{Sn}的唯一最小项，所以即得－30<a1<－27.12．14 [解析]设等差数列{an}的公差为d，由题意可得即解得则S7＝7a1＋d＝14.13．37 [解析]由题意可知，am＝＝＝9a5.又a1＝0，d≠0，所以(m－1)d＝9×4d，解得m＝37.14．解：(1)设等差数列{an}的公差为d，则S10＝10a1＋d＝100.又a1＝1，所以d＝2，则数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝2n－1.(2)Sn＝n2－6n，当n＝1时，a1＝S1＝1－6＝－5.当n≥2时，Sn－1＝(n－1)2－6(n－1)，所以an＝Sn－Sn－1＝2n－7，又a1＝－5适合上式，所以数列{an}的通项公式为an＝2n－7.故Sn＋an＝n2－4n－7，则不等式可化为n2－4n－7＞2n，即n2－6n－7＞0，解得n＜－1或n＞7.因为n∈N*，所以原不等式的解集是{n|n＞7，且n∈N*}．15．解：(1)证明：由Sn＝nan－2n(n－1)，得an＋1＝Sn＋1－Sn＝(n＋1)an＋1－nan－4n，即an＋1－an＝4，所以数列{an}是以1为首项，4为公差的等差数列．(2)由(1)知an＝4n－3.Tn＝＋…＋＝＋＋＋…＋＝(1－＋－＋－＋…＋－)＝(1－)＝.16．解：(1)由等式an＋an＋2＝2an＋1对任意n∈N*均成立，得数列{an}是等差数列．设等差数列{an}的公差为d.由题意可得a4＝a1＋3d＝10，又a1＝1，解得d＝3，21\n则数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝3n－2.(2)由a2＝1＋t，得d＝a2－a1＝t，∴an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)t，Sn＝na1＋d＝n＋t.由am＝Sm，得1＋(m－1)t＝m＋t，则2－2m＝(m2－3m＋2)t.又m≥3(m∈N*)，则t＝∈[－2，0)，故t的最小值为－2.课时作业(二十九)1．B [解析]若1，x，16成等比数列，则x2＝1×16，解得x＝±4.若x＝4，满足x2＝1×16，即1，x，16成等比数列，故选B.2．C [解析]设等比数列{an}的公比为q.∵S3＝a2＋10a1，∴a1＋a2＋a3＝a2＋10a1，即a3＝9a1，则q2＝＝9.由a5＝9，得a3q2＝9，即a3＝1，∴a1＝＝.3．C [解析]由题意可知，Π8＝a1·a2·…·a8＝(a4·a5)4＝16.4．C [解析]由S1，S2，S4成等比数列，得S1·S4＝S，即a1×4a1＋＝(a1＋a1＋d)2，化简得2a1d＝d2.又d≠0，所以2a1＝d，则＝＝3.5．2 2n＋1－2 [解析]由得即解得故Sn＝＝2n＋1－2.6．5 [解析]由已知得a3a11＝a＝16.又数列{an}的各项都为正数，∴a7＝4，∴a16＝a7×q9＝32，故log2a16＝5.7．A [解析]设等比数列{an}的公比为q，则q≠1，且q>0.由题意，得解得∴S4＝＝＝15.8．B [解析]依题意可得a＝a2a4＝16.因为公比为2，an>0，所以(a1·22)2＝16，得a1＝1，则log2a1＝log21＝0.9．C [解析]因为a2，a3，a6成等比数列，所以a＝a2a6.设等差数列{an}的公差为d(d≠0)，则(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋5d)，化简，得d＝－2a1，则a2＝－a1，a3＝－3a1，故公比为＝3.10．A [解析]由＝知，公比q≠1，且S10＝S5.由S5，S10－S5，S15－S10成等比数列，21\n得(S10－S5)2＝S5(S15－S10)，化简得S15＝S5，故选A.11．D [解析]由已知得，等差数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝n＋1，等比数列{bn}的通项公式为bn＝b1qn－1＝2n－1，则ban＝2n，∴ba1＋ba2＋ba3＋…＋ba6＝2＋22＋…＋26＝＝126.12．16 [解析]由已知得2a8＝a4＋a12＝，即a－4a8＝0，所以a8＝0(舍去)或a8＝4，所以b8＝a8＝4.又数列{bn}是等比数列，所以b5b11＝b＝16.13．63 [解析]由a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的两个根，得解得或又数列{an}是递增数列，所以a1＝1，a3＝4.设数列{an}的公比为q，则q2＝＝4，即q＝2，则S6＝＝＝63.14．解：(1)设等差数列{an}的公差为d.因为a7＝20，S3＝15，所以解得从而an＝a1＋(n－1)d＝2＋3(n－1)＝3n－1.(2)设等比数列{bn}的公比为q.由得解得从而Tn＝＝＝2n＋1－2.15．解：(1)由a1＝1及2Sn＝2pa＋pan－p(p∈R)，得2＝2p＋p－p，所以p＝1.(2)由(1)可知，2Sn＝2a＋an－1，①得2Sn＋1＝2a＋an＋1－1，②两式相减得2an＋1＝2(a－a)＋(an＋1－an)，即2(an＋1＋an)(an＋1－an)－(an＋1＋an)＝0，所以(an＋1＋an)(2an＋1－2an－1)＝0.由于数列{an}的各项均为正数，所以有2an＋1－2an－1＝0，即an＋1－an＝，则数列{an}是首项为1，公差为的等差数列，所以Sn＝na1＋d＝n＋＝.16．解：(1)证明：因为an＋1＝，所以＝＋，所以－1＝－1.因为a1＝，所以－1＝，所以数列是首项为，公比为的等比数列．21\n(2)由(1)知，－1＝×n－1＝，所以an＝.假设存在互不相等的正整数m，s，t满足条件，则有m＋t＝2s，(as－1)2＝(am－1)(at－1)．由an＝与(as－1)2＝(am－1)(at－1)，得－12＝－1－1，即3m＋t＋2×3m＋2×3t＝32s＋4×3s.因为m＋t＝2s，所以3m＋3t＝2×3s.又3m＋3t≥2＝2×3s，当且仅当m＝t时，等号成立，这与m，s，t互不相等矛盾，所以不存在互不相等的正整数m，s，t满足条件．课时作业(三十)1．C [解析]由an＝2n－3n，得S20＝2(1＋2＋…＋20)－3＋＋…＋＝2×－3×＝420－1－.2．A [解析]设等差数列{an}的公差为d.由S5＝＝5a3，得a3＝3.又a5＝5，则数列{an}的公差d＝(a5－a3)＝1，∴数列{an}的通项公式an＝n，∴＝＝－，则数列的前100项和为＋＋…＋＝－＋－＋…＋－＝1－＝.3．D [解析]由题意知，a1＋a2＋a3＋…＋a100＝－1＋3－5＋…＋(－1)100(2×100－1)＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋(－197＋199)＝2×50＝100.4．C [解析]由数列{an}的通项公式为an＝ncos，得S2022＝cos＋2cos＋3cos＋…＋2022cos＝0－2＋0＋4＋0－6＋…＋2022＋0－2022＝－(2＋6＋…＋2022)＋(4＋8＋…＋2022)＝－1008.5.n2＋n＋1－ [解析]由an＝n＋，得Sn＝a1＋a2＋…＋an＝1＋＋2＋＋…＋n＋＝(1＋2＋…＋n)＋＋＋…＋＝n2＋n＋1－.6．3－ [解析]由an＝2n－1，得＝，21\n所以Sn＝＋＋…＋，Sn＝＋＋…＋＋，两式相减，得Sn＝＋＋＋…＋－＝＋1－－＝－，所以Sn＝3－.7．D [解析]由题意可知，该数列的通项公式为an＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝＝2n－1，∴Sn＝(2＋22＋…＋2n)－n＝－n＝2n＋1－2－n.若Sn>1020，则2n＋1－2－n>1020，解得n≥10，故选D.8．A [解析]在等和数列{an}中，an＋1＋an＝h，其前2022项和S2022＝a1＋a2＋…＋a2022＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a2022＋a2022)＝1007h＝1007×(－1)＝－1007.9．B [解析]由an＝＝－，得Sn＝＋＋…＋＝1－＋－＋…＋－＝1－＝.又Sn＝，∴＝，解得n＝9，则直线方程为＋＝1，故直线与两坐标轴的交点坐标分别为(10，0)和(0，9)，故所求三角形的面积为×10×9＝45.10．C [解析]由f(4)＝2可得4a＝2，解得a＝，则f(x)＝x，∴an＝＝＝－，∴S2022＝a1＋a2＋a3＋…＋a2022＝(－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)＝－1.11．C [解析]依题意有＝，即Sn＝n(2n＋1)＝2n2＋n.当n＝1时，a1＝S1＝3.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4n－1，又a1＝3满足上式，所以an＝4n－1，所以bn＝＝n.因为＝＝－，所以＋＋…＋＝1－＋－＋…＋－＝.12．100 [解析]由an＝f(n)＋f(n＋1)，得a1＋a2＋a3＋…＋a100＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－1002＋1012＝－(1＋2)＋(3＋2)－…－(99＋100)＋(101＋100)＝－(1＋2＋…＋99＋100)＋(2＋3＋…＋100＋101)＝100.21\n13．n [解析]由Tn＝a1＋a2·4＋a3·42＋…＋an·4n－1，得4Tn＝a1·4＋a2·42＋a3·43＋…＋an·4n，两式相加，得5Tn＝a1＋(a1＋a2)·4＋(a2＋a3)·42＋(a3＋a4)·43＋…＋(an－1＋an)·4n－1＋an·4n＝1＋×4＋×42＋…＋×4n－1＋an·4n＝n＋an·4n，故5Tn－4n·an＝n.14．解：(1)设等比数列{an}的公比为q.由得解得所以数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1＝2n.(2)由(1)可知，bn＝an＋log2an＝2n＋log22n＝2n＋n，所以数列{bn}的前n项和Tn＝(21＋1)＋(22＋2)＋…＋(2n＋n)＝(21＋22＋…＋2n)＋(1＋2＋…＋n)＝＋＝2n＋1＋－2.15．解：(1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，则依题意有q>0.由得所以d＝q＝2，所以an＝2n－1，bn＝2n－1.(2)由(1)可知，＝，所以Sn＝1＋＋＋…＋＋，2Sn＝2＋3＋＋…＋＋，两式相减得Sn＝2＋2＋1＋＋＋…＋－＝4＋－＝6－.16．解：(1)由题意得an＋1＝2Sn＋1，an＝2Sn－1＋1(n≥2)，两式相减得an＋1－an＝2(Sn－Sn－1)＝2an，即an＋1＝3an(n≥2)，所以当n≥2时，数列{an}是以3为公比的等比数列．因为a2＝2S1＋1＝2a1＋1＝3，所以＝3，所以＝3对任意正整数成立，所以{an}是首项为1，公比为3的等比数列，所以an＝3n－1.(2)由(1)得an＝3n－1，所以bn＝log3an＋1＝log33n＝n，则＝＝n·n－1，故Tn＝1＋2×＋3×2＋4×3＋…＋n×n－1，①Tn＝1×＋2×2＋3×3＋…＋(n－1)×n－1＋n×n，②①－②，得Tn＝1＋＋2＋3＋…＋n－1－n×n＝－n×n，21\n所以Tn＝－＋nn.因为＋nn>0，所以Tn＝－＋n·n<.又因为Tn＋1－Tn＝>0，所以数列{Tn}递增，所以(Tn)min＝T1＝1，所以1≤Tn<.课时作业(三十一)1．C [解析]由题意知，a4＋a5>0，∴S7＝＝7a4<0，S8＝＝>0，故选C.2．B [解析]由于a，b，c成等差数列，则设a＝m－d，b＝m，c＝m＋d，d≠0.又因为b，a，c成等比数列，所以a2＝bc，即(m－d)2＝m(m＋d)，化简，得d＝3m，则a＝－2m，b＝m，d＝4m，所以a∶b∶c＝－2∶1∶4.3．C [解析]由－a3，a2，a4成等差数列，得2a2＝－a3＋a4.设等比数列{an}的公比为q，则2a1q＝－a1q2＋a1q3.由q>0，得q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍去)，∴S7＝＝127.4．D [解析]由Sn＋2＝3an，得Sn－1＋2＝3an－1(n≥2)，两式相减得，2an＝3an－1(n≥2)，即＝(n≥2)．又当n＝1时，S1＋2＝3a1＝a1＋2，解得a1＝1，所以数列{an}是首项为1，公比为的等比数列，则an＝n－1.5．9 [解析]设第n天植树的棵数为an.依题意，每天植树的棵数组成等比数列{an}，公比为2，则Sn＝＝2n＋1－2≥1000，即2n＋1≥1002.又n∈N*，得n≥9，故需要的最少天数n(n∈N*)等于9.6．16 [解析]设自上而下每节的长度依次构成的等差数列为{an}，公差为d，则a1＝10，an＋an－1＋an－2＝114，a＝a1an.由an＋an－1＋an－2＝114，得3an－1＝114，即an－1＝38>a1，所以d>0.由a＝a1an，得(a1＋5d)2＝a1(an－1＋d)，即(10＋5d)2＝10(38＋d)，解得d＝2，则an－1＝a1＋(n－2)d＝38，即10＋2(n－2)＝38，解得n＝16.7．B [解析]在等比数列{an}中，由等比数列的性质，有a2a3＝a1a4，又a2a3＝2a1，则a4＝2.∵a4与2a7的等差中项是，∴a4＋2a7＝×2＝，则a7＝.设等比数列{an}的公比为q，由a4＝2，a7＝得，21\n解得则S5＝＝31.8．C [解析]从第2项起，该数列是等差数列，且公差为3，所以a1＋a2＋a3＋…＋a10＝1＋9a2＋×3＝1＋27＋108＝136.9．D [解析]设等差数列{an}的公差为d.由已知，得2a＝a4＋3a8，即a1＋3d＋3a1＋21d＝4a1＋24d＝4(a1＋6d)＝4a7＝2a，∴a7＝2或a7＝0(舍去)，∴b7＝2，则b2b8b11＝b1q·b1q7·b1q10＝bq18＝(b1q6)3＝b＝8.10．B [解析]由题意可知，该女子每天织布的数量组成等差数列{an}，其中a1＝5，数列的前30项和S30＝390.设公差为d，则S30＝30a1＋d＝390，解得d＝，即该女子织布每天增加尺．11．C [解析]因为四边形AnBnCnDn是矩形，Bn(n，0)，所以|AnDn|＝|BnCn|＝n＋.设点Dn的坐标为x，n＋，则有x＋＝n＋，得x＝(舍去x＝n)，即An，0，则|AnBn|＝n－，所以矩形的周长an＝2(|AnBn|＋|BnCn|)＝2n－＋2n＋＝4n，则a2＋a3＋…＋a10＝4(2＋3＋4＋…＋10)＝216.12．29 [解析]依题意，得a1＝5，a2＝3a1＋1＝16，a3＝＝8，所以a1＋a2＋a3＝29.13．n2＋n [解析]由题意，得a1＋a2＋a3＋a4＝20，a3＋a4＋a5＋a6＝36，作差可得8d＝16，即d＝2，于是可得a1＝2，所以Sn＝2×n＋×2＝n2＋n.14．解：(1)由y＝sinπx＝0(x∈(0，＋∞))，得πx＝nπ，所以x＝n(n∈N*)，所以函数在区间(0，＋∞)内的全部零点构成以1为首项，1为公差的等差数列，所以an＝n.(2)由(1)可知，bn＝2nan＝n·2n.因为Tn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n·2n，所以2Tn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n·2n＋1，两式相减得，－Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1＝－n·2n＋1＝(1－n)2n＋1－2，所以Tn＝(n－1)2n＋1＋2.15．解：(1)由已知，得a1＝40×0.9＋m，an＋1＝0.9an＋m(n≥1)．(2)由(1)得，an＋1－10m＝0.9an－9m＝0.9(an－10m)，所以数列{an－10m}是以a1－10m＝36－9m为首项，0.9为公比的等比数列．(3)由(2)得，an－10m＝(36－9m)·0.9n－1，即an＝(36－9m)·0.9n－1＋10m.由(36－9m)·0.9n－1＋10m≤55，得m≤＝＝＋4(n∈N*)恒成立，所以m≤5.5.又m>0，综上可得，m∈(0，5.5]．21\n16．解：(1)对f(x)＝x＋(x＞0)求导，得f′(x)＝1－，则切线ln的方程为y－n＋＝1－(x－n)，即y＝1－x＋.易知Ann＋1，n＋1＋，Bnn＋1，n＋1＋，由an＝|AnBn|，知an＝＝.(2)证明：由(1)可知，nan＝＝－，∴Sn＝a1＋a2＋…＋an＝1－＋－＋…＋－＝1－＜1.21
