课时规范练7 函数的奇偶性与周期性一、基础巩固组1.函数f(x)=1x-x的图象关于( )A.y轴对称B.直线y=-x对称C.坐标原点对称D.直线y=x对称2.(2022河北武邑中学模拟,理3)在下列函数中,既是偶函数,又在区间[0,1]上单调递增的函数是( )A.y=cosxB.y=-x2C.y=12|x|D.y=|sinx|3.(2022河北百校联考)已知f(x)满足对任意x∈R,f(-x)+f(x)=0,且当x≥0时,f(x)=ex+m(m为常数),则f(-ln5)的值为( )A.4B.-4C.6D.-64.(2022福建名校模拟)若函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在(-∞,0]上f(x)是减函数.若f(2)=0,则使得f(x)<0的x的取值范围是( )A.(-∞,2)B.(-2,2)C.(-∞,-2)∪(2,+∞)D.(2,+∞)5.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且满足f(x+2)=f(x).若当x∈[0,1)时,f(x)=2x-2,则f(log1242)的值为( )A.0B.1C.2D.-26.(2022江西三校联考)定义在R上的偶函数f(x)满足:对任意的x1,x2∈(-∞,0)(x1≠x2),都有f(x1)-f(x2)x1-x2<0,则下列结论正确的是( )A.f(0.32)<f(20.3)<f(log25)B.f(log25)<f(20.3)<f(0.32)C.f(log25)<f(0.32)<f(20.3)D.f(0.32)<f(log25)<f(20.3)〚导学号21500510〛7.已知定义域为R的函数f(x)在(8,+∞)内为减函数,且函数y=f(x+8)为偶函数,则( )A.f(6)>f(7)B.f(6)>f(9)C.f(7)>f(9)D.f(7)>f(10)8.(2022河南南阳模拟)已知函数f(x)是周期为4的偶函数,当x∈[0,2]时,f(x)=x-1,则不等式xf(x)>0在[-1,3]上的解集为( )A.(1,3)B.(-1,1)C.(-1,0)∪(1,3)D.(-1,0)∪(0,1)4\n9.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x-2).若当x∈[-3,0]时,f(x)=6-x,则f(919)= . 10.(2022湖南衡阳三次联考,理16)已知函数f(x)=log1ex2+1e-xe,则使得f(x+1)<f(2x-1)成立的x的取值范围是 . 11.已知定义在R上的奇函数y=f(x)在(0,+∞)内单调递增,且f12=0,则f(x)>0的解集为 . 12.(2022河北衡水模拟)已知y=f(x)+x2是奇函数,且f(1)=1,若g(x)=f(x)+2,则g(-1)= . 二、综合提升组13.已知偶函数f(x)满足f(x)=x3-8(x≥0),则{x|f(x-2)>0}=( )A.{x|x<-2或x>4}B.{x|x<0或x>4}C.{x|x<0或x>6}D.{x|x<-2或x>2}14.(2022山东青岛模拟)已知奇函数f(x)的定义域为R,若f(x+1)为偶函数,且f(1)=2,则f(4)+f(5)的值为( )A.2B.1C.-1D.-215.(2022安徽安庆二模,理10)已知定义在R上的奇函数f(x)满足:f(x+1)=f(x-1),且当-1<x<0时,f(x)=2x-1,则f(log220)等于( )A.14B.-14C.-15D.15〚导学号21500511〛16.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+2)=f(x),当x∈[0,1]时,f(x)=3x.若12<a<34,则在区间[-3,2]上,关于x的方程ax+3a-f(x)=0不相等的实数根的个数为 . 三、创新应用组17.如果存在正实数a,使得f(x-a)为奇函数,f(x+a)为偶函数,那么我们称函数f(x)为“和谐函数”.给出下列四个函数:①f(x)=(x-1)2+5;②f(x)=cos2x-π4;③f(x)=sinx+cosx;④f(x)=ln|x+1|.其中“和谐函数”的个数为 .〚导学号21500512〛 课时规范练7 函数的奇偶性与周期性4\n1.C ∵f(-x)=-1x+x=-1x-x=-f(x),且定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),∴f(x)为奇函数.∴f(x)的图象关于坐标原点对称.2.D 四个函数都是偶函数,在[0,1]上递增的只有D,而A,B,C中的三个函数在[0,1]上都递减,故选D.3.B 由题意知函数f(x)是奇函数.因为f(0)=e0+m=1+m=0,解得m=-1,所以f(-ln5)=-f(ln5)=-eln5+1=-5+1=-4,故选B.4.B 由题意知f(-2)=f(2)=0,当x∈(-2,0]时,f(x)<f(-2)=0.由对称性知,当x∈[0,2)时,f(x)为增函数,f(x)<f(2)=0,故x∈(-2,2)时,f(x)<0,故选B.5.A 因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(log1242)=f(-log2252)=f-52=-f52.又因为f(x+2)=f(x),所以f52=f12=212-2=0.所以f(log1242)=0.6.A ∵对任意x1,x2∈(-∞,0),且x1≠x2,都有f(x1)-f(x2)x1-x2<0,∴f(x)在(-∞,0)内是减函数,又f(x)是R上的偶函数,∴f(x)在(0,+∞)内是增函数.∵0<0.32<20.3<log25,∴f(0.32)<f(20.3)<f(log25).故选A.7.D 由y=f(x+8)为偶函数,知函数f(x)的图象关于直线x=8对称.又因为f(x)在(8,+∞)内为减函数,所以f(x)在(-∞,8)内为增函数.可画出f(x)的草图(图略),知f(7)>f(10).8.C f(x)的部分图象如图所示.当x∈[-1,0)时,由xf(x)>0,得x∈(-1,0);当x∈[0,1)时,由xf(x)>0,得x∈⌀;当x∈[1,3]时,由xf(x)>0,得x∈(1,3).故x∈(-1,0)∪(1,3).9.6 由f(x+4)=f(x-2)知,f(x)为周期函数,且周期T=6.因为f(x)为偶函数,所以f(919)=f(153×6+1)=f(1)=f(-1)=61=6.10.(0,2) 由题意得函数f(x)的定义域是R,∵f(-x)=log1ex2+1e-xe=f(x),∴函数f(x)是偶函数.∵偶函数f(x)在(0,+∞)内单调递减,且f(x+1)<f(2x-1),∴|x+1|>|2x-1|,解得0<x<2.11.x-12<x<0或x>12 由奇函数y=f(x)在(0,+∞)内单调递增,且f12=0,可知函数y=f(x)在(-∞,0)内单调递增,且f-12=0.由f(x)>0,可得x>12或-12<x<0.12.-1 ∵y=f(x)+x2是奇函数,且f(1)=1,∴f(-1)+(-1)2=-[f(1)+12],∴f(-1)=-3.因此g(-1)=f(-1)+2=-1.13.B ∵f(x)是偶函数,∴f(x-2)>0等价于f(|x-2|)>0=f(2).∵f(x)=x3-8在[0,+∞)内为增函数,∴|x-2|>2,解得x<0或x>4.14.A ∵f(x+1)为偶函数,f(x)是奇函数,∴f(-x+1)=f(x+1),f(x)=-f(-x),f(0)=0,∴f(x+1)=f(-x+1)=-f(x-1),4\n∴f(x+2)=-f(x),f(x+4)=f(x+2+2)=-f(x+2)=f(x),则f(4)=f(0)=0,f(5)=f(1)=2,∴f(4)+f(5)=0+2=2,故选A.15.D 由f(x+1)=f(x-1),得f(x+2)=f[(x+1)+1]=f(x),∴f(x)是周期为2的周期函数.∵log232>log220>log216,∴4<log220<5,∴f(log220)=f(log220-4)=flog254=-f-log254.∵当x∈(-1,0)时,f(x)=2x-1,∴f-log254=-15,故f(log220)=15.16.5 ∵f(x+2)=f(x),∴函数f(x)是周期为2的函数.当x∈[-1,0]时,-x∈[0,1],此时f(-x)=-3x.由f(x)是偶函数,可知f(x)=f(-x)=-3x.由ax+3a-f(x)=0,得a(x+3)=f(x).设g(x)=a(x+3),分别作出函数f(x),g(x)在区间[-3,2]上的图象,如图所示.因为12<a<34,且当a=12和a=34时,对应的g(x)为图中的两条虚线,所以由图象知两个函数的图象有5个不同的交点,故方程有5个不同的根.17.1 ①因为对任意x∈R,都有f(x)≥5,所以当x=a时,f(x-a)≥5,不满足f(0)=0,所以无论正数a取什么值,f(x-a)都不是奇函数,故不是“和谐函数”;②因为f(x)=cos2x-π2=sin2x,所以f(x)的图象左右平移π4时为偶函数,f(x)的图象左右平移π2时为奇函数,故不是“和谐函数”;③因为f(x)=sinx+cosx=2sinx+π4,所以fx-π4=2sinx是奇函数,fx+π4=2cosx是偶函数,故是“和谐函数”;④因为f(x)=ln|x+1|,所以只有f(x-1)=ln|x|为偶函数,而f(x+1)=ln|x+2|为非奇非偶函数,故不存在正数a,使得函数f(x)是“和谐函数”.综上可知,①②④都不是“和谐函数”,只有③是“和谐函数”.故答案为1.4
