课时规范练7 函数的奇偶性与周期性基础巩固组1.函数f(x)=1x-x的图像关于( ) A.y轴对称B.直线y=-x对称C.坐标原点对称D.直线y=x对称2.(2020广东湛江模拟)已知函数g(x)=f(2x)-x2为奇函数,且f(2)=1,则f(-2)=( )A.-2B.-1C.1D.23.若函数y=f(2x-1)是偶函数,则函数y=f(2x+1)的图像的对称轴是( )A.x=-1B.x=0C.x=12D.x=-124.已知定义域为R的奇函数f(x)的图像关于直线x=1对称,且当0≤x≤1时,f(x)=x3,则f52=( )A.-278B.-18C.18D.2785.已知函数y=f(x)满足y=f(-x)和y=f(x+2)是偶函数,且f(1)=π3,设F(x)=f(x)+f(-x),则F(3)=( )A.π3B.2π3C.πD.4π36.已知函数f(x)=ln(x2+1-x)+sinx-2,则f(2020)+f(-2020)=( )A.2B.0C.-2D.-47.已知定义在R上的函数f(x)满足fx+32=f12-x,且当x<1时,f'(x)<0,若a=f(-log132),b=f(log32),c=f(21.5),则( )A.a>c>bB.c>b>aC.a>b>cD.c>a>b8.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,其最小正周期为4,且当x∈-32,0时,f(x)=log2(-3x+1),则f(2021)等于( )A.4B.2C.-2D.log279.(2019全国2,理14)已知f(x)是奇函数,且当x<0时,f(x)=-eax.若f(ln2)=8,则a= . 10.(2020山东潍坊临朐模拟一,14)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+4)=f(x),且当x∈(0,2)时,f(x)=x2+1,则f(7)的值为 . 综合提升组11.(2020河北衡水中学质检)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=f(-x),且当x∈[0,1]时,f(x)=2x-cosx,则下列结论正确的是( )\nA.f20203<f20192<f(2018)B.f(2018)<f20203<f20192C.f(2018)<f20192<f20203D.f20192<f20203<f(2018)12.已知函数g(x)=f(x)+x2是奇函数,当x>0时,函数f(x)的图象与函数y=log2x的图像关于y=x对称,则g(-1)+g(-2)=( )A.-7B.-9C.-11D.-1313.已知函数f(x)=ex-1-e-x+1,则下列说法正确的是( )A.函数f(x)的最小正周期是1B.函数f(x)是单调递减函数C.函数f(x)关于直线x=1轴对称D.函数f(x)关于(1,0)中心对称14.若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)>0,f(x+2)=1f(x)对任意x∈R恒成立,则f(2023)= . 15.函数y=f(x)对任意x∈R都有f(x+2)=f(-x)成立,且函数y=f(x-1)的图像关于点(1,0)对称,f(1)=4,则f(2020)+f(2021)+f(2022)的值为 . 创新应用组16.已知对任意实数x,满足f(1+x)=f(1-x),当x∈(1,+∞)时,函数f(x)=sin2x-x,设a=f-12,b=f(3),c=f(0),则a,b,c的大小关系为( )A.a<b<cB.c<a<bC.b<c<aD.b<a<c17.(2020湖南常德一模,文10)已知定义在R上的函数y=f(x),对任意x∈R,都有f(x+2)=1f(x),且当x∈(0,4]时,f'(x)>f(x)x,则6f(2017),3f(2018),2f(2019)的大小关系是( )A.6f(2017)<3f(2018)<2f(2019)B.3f(2018)<6f(2017)<2f(2019)C.2f(2019)<3f(2018)<6f(2017)D.2f(2019)<6f(2017)<3f(2018)参考答案课时规范练7 函数的奇偶性与周期性1.C ∵f(-x)=-1x+x=-1x-x=-f(x),且定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),∴f(x)为奇函数.\n∴f(x)的图像关于坐标原点对称.2.C 因为g(x)为奇函数,且f(2)=1,所以g(-1)=-g(1),即f(-2)-1=-f(2)+1=-1+1=0,所以f(-2)=1.3.A 因为函数y=f(2x-1)是偶函数,所以函数y=f(2x-1)的图像关于y轴对称,因为函数y=f(2x+1)的图像是由函数y=f(2x-1)的图像向左平移一个单位长度得到的,故y=f(2x+1)的图像关于x=-1对称.4.B ∵f(x)是奇函数,且图像关于x=1对称,∴f(2-x)=f(x).又0≤x≤1时,f(x)=x3,∴f52=f2-52=f-12=-f12=-18.故选B.5.B 由y=f(-x)和y=f(x+2)是偶函数知f(-x)=f(x),且f(x+2)=f(-x+2),则f(x+2)=f(x-2).∴f(x+4)=f(x),则y=f(x)的周期为4.所以F(3)=f(3)+f(-3)=2f(3)=2f(-1)=2f(1)=2π3.6.D 由题意f(x)=ln(x2+1-x)+sinx-2,则f(-x)=ln(x2+1+x)-sinx-2,所以f(x)+f(-x)=ln(x2+1-x)+ln(x2+1+x)-4=ln1-4=-4,所以f(2020)+f(-2020)=-4.故选D.7.D 由fx+32=f12-x,得f(x+1)=f(1-x),故直线x=1为函数f(x)图像的一条对称轴.易知函数f(x)在(-∞,1)上递减,故在(1,+∞)上递增,a=f(-log132)=f(log32)=f(2-log32),b=f(log32)=f(log34).因为2-log32-log34=2-log38>0,所以21.5>2>2-log32>log34>1,故c>a>b.8.C 因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,其最小正周期为4,所以f(2021)=f(4×505+1)=f(1)=-f(-1).因为-1∈-32,0,且当x∈-32,0时,f(x)=log2(-3x+1),所以f(-1)=log2[-3×(-1)+1]=2,所以f(2021)=-f(-1)=-2.9.-3 ∵ln2∈(0,1),f(ln2)=8,f(x)是奇函数,∴f(-ln2)=-8.∵当x<0时,f(x)=-eax,∴f(-ln2)=-e-aln2=-8,∴e-aln2=8,∴-aln2=ln8,∴-a=3,∴a=-3.10.-2 因为f(x+4)=f(x),所以f(x)的周期为4.又因为f(x)是奇函数,所以f(7)=f(8-1)=f(-1)=-f(1),由题意f(1)=12+1=2,所以f(7)=-2,故答案为-2.11.C 因为f(x)是R上的奇函数,所以f(x+2)=f(-x)=-f(x),故f(x+4)=f(x),f(x)的周期为4.因此f(2018)=f(2)=f(0),f20192=f32=f12,f20203=f43=f23.又因为当x∈[0,1]时,f(x)=2x-cosx递增,所以f(0)<f12<f23,故f(2018)<f20192<f20203.12.C ∵x>0时,f(x)的图像与函数y=log2x的图像关于y=x对称,∴x>0时,f(x)=2x,∴x>0时,g(x)=2x+x2.\n又g(x)是奇函数,∴g(-1)+g(-2)=-[g(1)+g(2)]=-(2+1+4+4)=-11.故选C.13.D 函数f(x)=ex-1-e-x+1,即f(x)=ex-1-1ex-1,可令t=ex-1,则t>0.由y=t-1t在(0,+∞)上递增,t=ex-1在R上递增,可得函数f(x)在R上为增函数,则A,B均错;由函数f(x)的图像向左平移1个单位长度,得函数的解析式为y=ex-e-x,显然此函数为奇函数,图像关于原点对称,所以函数f(x)的图像关于(1,0)中心对称,则C错误,D正确.故选D.14.1 因为f(x)>0,f(x+2)=1f(x),所以f(x+4)=f[(x+2)+2]=1f(x+2)=11f(x)=f(x),则函数f(x)的周期为4,所以f(2023)=f(506×4-1)=f(-1).因为函数f(x)为偶函数,所以f(2023)=f(-1)=f(1).当x=-1时,f(-1+2)=1f(-1),得f(1)=1f(1).由f(x)>0,得f(1)=1,所以f(2023)=f(1)=1.15.4 因为函数y=f(x-1)的图像关于点(1,0)对称,所以函数y=f(x)的图像关于原点对称,所以f(x)是R上的奇函数.因为f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),故f(x)的周期为4.所以f(2021)=f(505×4+1)=f(1)=4,所以f(2020)+f(2022)=f(2020)-f(2020)=0.所以f(2020)+f(2021)+f(2022)=4.16.D 由f(1+x)=f(1-x)可得f(x)的图像关于x=1对称.当x∈(1,+∞)时,可得f'(x)=2sinxcosx-1=sin2x-1≤0,所以f(x)在(1,+∞)上递减,结合对称性可得距离对称轴x=1越近,函数值越大,所以f(3)<f-12<f(0).故选D.17.A 由f(x+2)=1f(x),可得f(x+4)=1f(x+2)=f(x),∴f(x)是周期为4的函数.6f(2017)=6f(1),3f(2018)=3f(2),2f(2019)=2f(3).令g(x)=f(x)x,x∈(0,4],则g'(x)=xf'(x)-f(x)x2.∵当x∈(0,4]时,f'(x)>f(x)x,即xf'(x)>f(x),∴g'(x)>0,g(x)在(0,4]上递增.∴f(1)<f(2)2<f(3)3,可得6f(1)<3f(2)<2f(3),即6f(2017)<3f(2018)<2f(2019).故选A.
