课时规范练61 二项分布与正态分布一、基础巩固组1.某一批花生种子,如果每1粒发芽的概率为45,那么播下3粒这样的种子恰有2粒发芽的概率是( )A.12125B.16125C.48125D.961252.(2022辽宁沈阳三模,理8改编)在如图所示的矩形中随机投掷30000个点,则落在曲线C下方(曲线C为正态分布N(1,1)的正态曲线)的点的个数的估计值为( )(附:正态变量在区间(μ-σ,μ+σ),(μ-2σ,μ+2σ),(μ-3σ,μ+3σ)内取值的概率分别是0.6827,0.9545,0.9973.)A.4985B.8185C.9970D.245583.(2022福建厦门模拟)甲、乙两人进行乒乓球比赛,比赛采取五局三胜制,无论哪一方先胜三局,则比赛结束.假定甲每局比赛获胜的概率均为23,则甲以3∶1的比分获胜的概率为( )A.827B.6481C.49D.89〚导学号21500596〛4.(2022广西柳州模拟)把一枚硬币任意抛掷三次,事件A为“至少有一次出现反面”,事件B为“恰有一次出现正面”,则P(B|A)=( )A.37B.38C.78D.185.已知随机变量X服从正态分布N(2,32),且P(X≤1)=0.30,则P(2<X<3)等于( )A.0.20B.0.50C.0.70D.0.806.甲射击命中目标的概率是12,乙射击命中目标的概率是13,丙射击命中目标的概率是14.现在三人同时射击目标,则目标被击中的概率为( )A.34B.23C.45D.710〚导学号21500597〛7.一个正方形被平均分成9个小正方形,向大正方形区域随机地投掷一个点(每次都能投中).设投中最左侧3个小正方形区域的事件记为A,投中最上面3个小正方形或正中间的1个小正方形区域的事件记为B,则P(A|B)= . 8.(2022河北衡水质检)某班有50名学生,一次考试后数学成绩X(X∈N)服从正态分布N(100,102).已知P(90≤X≤100)=0.3,估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为 . 9.甲、乙两人进行围棋比赛,约定先连胜两局者直接赢得比赛,若赛完5局仍未出现连胜,则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为23,乙获胜的概率为13,各局比赛结果相互独立.(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率;(2)记X为比赛决出胜负时的总局数,求X的分布列.6\n10.(2022天津河东区一模,理16)一个箱中原来装有大小相同的5个球,其中3个红球,2个白球.规定:进行一次操作是指“从箱中随机取出一个球,若取出的是红球,则把它放回箱中;若取出的是白球,则该球不放回,并另补一个红球放到箱中”.(1)求进行第二次操作后,箱中红球个数为4的概率;(2)求进行第二次操作后,箱中红球个数的分布列和数学期望.〚导学号21500598〛二、综合提升组11.(2022广东广州模拟)设事件A在每次试验中发生的概率相同,且在三次独立重复试验中,若事件A至少发生一次的概率为6364,则事件A恰好发生一次的概率为( )A.14B.34C.964D.276412.(2022安徽黄山二模,理14)若随机变量X~N(2,32),且P(X≤1)=P(X≥a),则(x+a)2ax-1x5展开式中x3项的系数是 . 13.一款击鼓小游戏的规则如下:每盘游戏都需击鼓三次,每次击鼓要么出现一次音乐,要么不出现音乐;每盘游戏击鼓三次后,出现一次音乐获得10分,出现两次音乐获得20分,出现三次音乐获得100分,没有出现音乐则扣除200分(即获得-200分).设每次击鼓出现音乐的概率为12,且各次击鼓出现音乐相互独立.(1)设每盘游戏获得的分数为X,求X的分布列;(2)玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是多少?6\n三、创新应用组14.(2022河南洛阳模拟)甲、乙两名棋手比赛正在进行中,甲必须再胜2盘才最后获胜,乙必须再胜3盘才最后获胜,若甲、乙两人每盘取胜的概率都是12,则甲最后获胜的概率是( )A.34B.1116C.58D.916〚导学号21500599〛15.(2022山西实验中学3月模拟,理18)京剧是我国的国粹,是“国家级非物质文化遗产”,某机构在网络上调查发现各地京剧票友的年龄ξ服从正态分布N(μ,σ2),同时随机抽取100位参与某电视台《我爱京剧》节目的票友的年龄作为样本进行分析研究(全部票友的年龄都在[30,80]内),样本数据分布区间为[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80],由此得到如图所示的频率分布直方图.(1)若P(ξ<38)=P(ξ>68),求a,b的值;(2)现从样本年龄在[70,80]的票友中组织了一次有关京剧知识的问答,每人回答一个问题,答对赢得一台老年戏曲演唱机,答错没有奖品,假设每人答对的概率均为23,且每个人回答正确与否相互之间没有影响,用η表示票友们赢得老年戏曲演唱机的台数,求η的分布列及数学期望.〚导学号21500600〛6\n课时规范练61 二项分布与正态分布1.C 用X表示发芽的粒数,则X服从二项分布B3,45,P(X=2)=C32452·151=48125.2.D 由题意P(0<X<3)=0.6827+12(0.9545-0.6827)=0.8186,则落在曲线C下方的点的个数的估计值为30000×0.8186=24558,故选D.3.A 第四局甲第三次获胜,并且前三局甲获胜两次,故所求的概率为P=C32232×13×23=827.4.A 依题意得P(A)=1-123=78,P(AB)=323=38,因此P(B|A)=P(AB)P(A)=37,故选A.5.A ∵该正态密度曲线的对称轴方程为x=2,∴P(X≥3)=P(X≤1)=0.30,∴P(1<X<3)=1-P(X≥3)-P(X≤1)=1-2×0.30=0.40,∴P(2<X<3)=12P(1<X<3)=0.20.6.A 设“甲命中目标”为事件A,“乙命中目标”为事件B,“丙命中目标”为事件C,则击中目标表示事件A,B,C中至少有一个发生.∵P(ABC)=P(A)·P(B)·P(C)=[1-P(A)]·[1-P(B)]·[1-P(C)]=1-12×1-13×1-14=14.故目标被击中的概率为P=1-P(ABC)=34.7.14 如图,n(Ω)=9,n(A)=3,n(B)=4,∴n(AB)=1,∴P(AB)=19,P(A|B)=n(AB)n(B)=14.8.10 由题意,知P(X>110)=1-2P(90≤X≤100)2=0.2,所以估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为0.2×50=10.9.解用A表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”,Ak表示“第k局甲获胜”,Bk表示“第k局乙获胜”,则P(Ak)=23,P(Bk)=13,k=1,2,3,4,5.(1)P(A)=P(A1A2)+P(B1A2A3)+P(A1B2A3A4)=P(A1)P(A2)+P(B1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)=232+13×232+23×13×232=5681.(2)X的可能取值为2,3,4,5.P(X=2)=P(A1A2)+P(B1B2)=P(A1)P(A2)+P(B1)P(B2)=59,P(X=3)=P(B1A2A3)+P(A1B2B3)=P(B1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(B2)P(B3)=29,P(X=4)=P(A1B2A3A4)+P(B1A2B3B4)=P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)+P(B1)P(A2)P(B3)P(B4)=1081,P(X=5)=1-P(X=2)-P(X=3)-P(X=4)=881.故X的分布列为X2345P592910818816\n10.解(1)设A1表示事件“第一次操作从箱中取出的是红球”,B1表示事件“第一次操作从箱中取出的是白球”,A2表示事件“第二次操作从箱中取出的是红球”,B2表示事件“第二次操作从箱中取出的是白球”.则A1B2表示事件“第一次操作从箱中取出的是红球,第二次操作从箱中取出的是白球”.由条件概率计算公式得P(A1B2)=P(A1)P(B2|A1)=35×25=625.B1A2表示事件“第一次操作从箱中取出的是白球,第二次操作从箱中取出的是红球”.由条件概率计算公式得P(B1A2)=P(B1)P(A2|B1)=25×45=825.A1B2+B1A2表示“进行第二次操作后,箱中红球个数为4”,又A1B2与B1A2是互斥事件,故P(A1B2+B1A2)=P(A1B2)+P(B1A2)=625+825=1425.(2)设进行第二次操作后,箱中红球个数为X,则X=3,4,5.P(X=3)=35×35=925,P(X=4)=1425,P(X=5)=25×15=225.进行第二次操作后,箱中红球个数X的分布列为X345P9251425225进行第二次操作后,箱中红球个数X的数学期望E(X)=3×925+4×1425+5×225=9325.11.C 假设事件A在每次试验中发生说明试验成功,设每次试验成功的概率为p,由题意得事件A发生的次数X~B(3,p),则有1-(1-p)3=6364,得p=34,故事件A恰好发生一次的概率为C31×34×1-342=964.12.1620 ∵随机变量X~N(2,32),均值是2,且P(X≤1)=P(X≥a),∴a=3,∴(x+a)2ax-1x5=(x+3)2·3x-1x5=(x2+6x+9)3x-1x5.又3x-1x5展开式的通项公式为Tr+1=C5r·(3x)5-r·-1xr=(-1)r·35-r·C5r·x5-3r2,令5-3r2=1,解得r=83,不合题意,舍去;令5-3r2=2,解得r=2,对应x2的系数为(-1)2·33·C52=270;令5-3r2=3,解得r=43,不合题意,舍去.∴展开式中x3项的系数是6×270=1620.13.解(1)X可能的取值为10,20,100,-200.根据题意,有P(X=10)=C31×121×1-122=38,P(X=20)=C32×122×1-121=38,P(X=100)=C33×123×1-120=18,P(X=-200)=C30×120×1-123=18.所以X的分布列为X1020100-200P38381818(2)设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件Ai(i=1,2,3),则P(A1)=P(A2)=P(A3)=P(X=-200)=18.6\n所以,“三盘游戏中至少有一次出现音乐”的概率为1-P(A1A2A3)=1-183=1-1512=511512.因此,玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是511512.14.B 甲、乙再打2局,甲胜的概率为12×12=14;甲、乙再打3局,甲胜的概率为2×12×12×12=14;甲、乙再打4局,甲胜的概率为3×124=316,所以甲最后获胜的概率为14+14+316=1116,故选B.15.解(1)根据正态曲线的对称性,由P(ξ<38)=P(ξ>68),得μ=38+682=53.再由频率分布直方图得(0.01+0.03+b+0.02+a)×10=1,0.1×35+0.3×45+10b×55+0.2×65+10a×75=53,解得a=0.005,b=0.035.(2)样本年龄在[70,80]的票友共有0.05×100=5(人),由题意η=0,1,2,3,4,5,所以P(η=0)=C501-235=1243,P(η=1)=C51231-234=10243,P(η=2)=C522321-233=40243,P(η=3)=C532331-232=80243,P(η=4)=C542341-231=80243,P(η=5)=C55235=32243,所以η的分布列为η012345P12431024340243802438024332243所以E(η)=0×1243+1×10243+2×40243+3×80243+4×80243+5×32243=103,或根据题设,η~B5,23,P(η=k)=C5k23k1-235-k(k=0,1,2,3,4,5),所以E(η)=5×23=103.6
