课时规范练57 二项式定理一、基础巩固组1.(2022湖南邵阳模拟)在(1+3x)n的展开式中,若x5与x6的系数相等,则x4的二项式系数为( )A.21B.35C.45D.282.若Cn1+3Cn2+32Cn3+…+3n-2Cnn-1+3n-1=85,则n=( )A.6B.5C.4D.33.设n为正整数,x-1xx2n展开式中存在常数项,则n的一个可能取值为( )A.16B.10C.4D.24.(2022河南郑州一中质检一,理7)若a=π0sinxdx,则二项式ax-1x6展开式的常数项是( )A.160B.20C.-20D.-1605.(x2-3)1x2+15的展开式中的常数项是( )A.-2B.2C.-3D.36.若(1+3)4=a+b3(a,b为有理数),则a+b等于( )A.36B.46C.34D.447.(x2+3y-y2)7展开式中x12y2的系数为( )A.7B.-7C.42D.-428.(2022甘肃会宁月考)1-90C101+902C102-903C103+…+(-1)k90kC10k+…+9010C1010除以88的余数是( )A.-1B.1C.-87D.87〚导学号21500588〛9.(2022浙江,13)已知多项式(x+1)3(x+2)2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5,则a4= ,a5= . 10.(2022辽宁沈阳三模,理14)(1+2x)3(1-x)4展开式中x2的系数为 . 二、综合提升组11.(2022辽宁鞍山一模,理3)若(x2+m)x-2x6的展开式中x4的系数为30,则m的值为( )A.-52B.52C.-152D.15212.(2022江西宜春二模,理8)若x3+1xn的展开式中含有常数项,且n的最小值为a,则-aaa2-x2dx=( )A.0B.6863C.49π2D.49π〚导学号21500589〛13.在(x+2y)7的展开式中,系数最大的项是( )A.68y7B.112x3y4C.672x2y5D.1344x2y514.x+ax2x-1x5的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中的常数项为( )A.-40B.-20C.20D.4015.(2022河南重点校联考)在2x+3y-49的展开式中,不含x的各项系数之和为 . 三、创新应用组16.若多项式x3+x10=a0+a1(x+1)+…+a9(x+1)9+a10(x+1)10,则a9=( )A.9B.10C.-9D.-10〚导学号21500590〛17.在(1+x)6(1+y)4的展开式中,记xmyn项的系数为f(m,n),则f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)= .〚导学号21500591〛 3\n课时规范练57 二项式定理1.B ∵Tr+1=Cnr(3x)r=3rCnrxr,由已知得35Cn5=36Cn6,即Cn5=3Cn6,∴n=7.因此,x4的二项式系数为C74=35,故选B.2.C Cn1+3Cn2+…+3n-2Cnn-1+3n-1=13[(1+3)n-1]=85,解得n=4.3.B ∵x-1xx2n展开式的通项公式为Tk+1=C2nkx2n-k-1xxk=C2nk(-1)kx4n-5k2,令4n-5k2=0,得k=4n5,∴n可取10.4.D ∵a=π0sinxdx=-cosx|π0=2,∴ax-1x6=2x-1x6的展开式的通项为Tr+1=(-1)r26-r·C6rx3-r.令3-r=0,得r=3.故展开式的常数项是-8C63=-160,故选D.5.B ∵(x2-3)1x2+15=(x2-3)·(C50x-10+C51x-8+C52x-6+C53x-4+C54x-2+C55),∴展开式的常数项是x2·C54x-2-3C55=2.6.D (1+3)4=1+C41·3+C42(3)2+C43(3)3+(3)4=28+163,由题设可得a=28,b=16,故a+b=44.7.B 将(x2+3y-y2)7看作7个因式相乘,要得到x12y2项,需要7个因式中有6个因式取x2,1个因式取-y2,故x12y2的系数为C76×(-1)=-7.8.B 1-90C101+902C102-903C103+…+(-1)k90kC10k+…+9010C1010=(1-90)10=8910=(88+1)10=8810+C101889+…+C10988+1.∵前10项均能被88整除,∴余数是1.9.16 4 由二项式展开式可得通项公式为C3rx3-rC2mx2-m2m,分别取r=3,m=1和r=2,m=2可得a4=4+12=16,令x=0可得a5=13×22=4.10.-6 ∵展开式中x2项为C3013(2x)0·C4212(-x)2+C3112(2x)1·C4113(-x)1+C3211(2x)2·C4014(-x)0,∴所求系数为C30·C42+C31·2·C41·(-1)+C32·22·C40=6-24+12=-6.11.B x-2x6的展开式的通项公式为Tr+1=C6rx6-r-2xr=(-2)rC6rx6-2r,令6-2r=2,得r=2,所以x2项的系数为(-2)2C62=60,令6-2r=4,得r=1,所以x4项的系数为(-2)1C61=-12,所以(x2+m)x-2x6的展开式中x4的系数为60-12m=30,解得m=52,故选B.12.C 由题意知展开式的通项公式为Tr+1=Cnr(x3)n-r1xr=Cnrx3n-72r,因为展开式中含有常数项,所以3n-72r=0有整数解,所以n的最小值为7.故定积分-7772-x2dx=492π.13.C 设第r+1项的系数最大,则有C7r·2r≥C7r-1·2r-1,C7r·2r≥C7r+1·2r+1,即7!r!(7-r)!·2r≥7!(r-1)!(7-r+1)!·2r-1,7!r!(7-r)!·2r≥7!(r+1)!(7-r-1)!·2r+1,解得r≤163,r≥133.∵r∈Z,∴r=5,∴系数最大的项为T6=C75x2·25y5=672x2y5.故选C.14.D 在x+ax2x-1x5中,令x=1,得(1+a)(2-1)5=2,3\n即a=1.原式=x·2x-1x5+1x2x-1x5,故常数项为x·C53(2x)2-1x3+1x·C52(2x)3·-1x2=-40+80=40.15.-1 2x+3y-49的展开式中不含x的项为C99(2x)03y-49=3y-49,令y=1,得各项系数之和为(3-4)9=-1.16.D x3+x10=x3+[(x+1)-1]10,题中a9只是[(x+1)-1]10的展开式中(x+1)9的系数,故a9=C101·(-1)1=-10.17.120 ∵(1+x)6展开式的通项公式为Tr+1=C6rxr,(1+y)4展开式的通项公式为Th+1=C4hyh,∴(1+x)6(1+y)4展开式的通项可以为C6rC4hxryh.∴f(m,n)=C6mC4n.∴f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=C63+C62C41+C61C42+C43=20+60+36+4=120.3
