课时规范练22 解三角形基础巩固组1.(2022安徽马鞍山一模,文3)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=3,b=2,A=60°,则c=( ) A.12B.1C.3D.22.(2022江西宜春中学3月模拟,文4)在△ABC中,已知acosA=bcosB,则△ABC的形状是( )A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形3.(2022河北邯郸一模,文5)已知△ABC的三个内角A,B,C依次成等差数列,BC边上的中线AD=7,AB=2,则S△ABC=( )A.3B.23C.33D.64.在△ABC中,B=π4,BC边上的高等于13BC,则sinA=( )A.310B.1010C.55D.310105.(2022辽宁抚顺重点校一模,文6)在△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcosA+acosB=c2,a=b=2,则△ABC的周长为( )A.7.5B.7C.6D.56.已知△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足(sinA-sinC)(a+c)b=sinA-sinB,则C= . 7.(2022河南南阳一模,文15)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2c·cosB=2a+b,若△ABC的面积为S=32c,则ab的最小值为 . 8.如图所示,长为3.5m的木棒AB斜靠在石堤旁,木棒的一端A在离堤足C处1.4m的地面上,另一端B在离堤足C处2.8m的石堤上,石堤的倾斜角为α,则坡度值tanα=.9.(2022北京海淀一模,文17)在△ABC中,A=2B.(1)求证:a=2bcosB;(2)若b=2,c=4,求B的值.9\n10.已知岛A南偏西38°方向,距岛A3nmile的B处有一艘缉私艇.岛A处的一艘走私船正以10nmile/h的速度向岛北偏西22°方向行驶,问缉私艇朝何方向以多大速度行驶,恰好用0.5h能截住该走私船?参考数据:sin38°=5314,sin22°=33149\n〚导学号24190901〛综合提升组11.(2022全国Ⅰ,文11)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sinB+sinA(sinC-cosC)=0,a=2,c=2,则C=( )A.π12B.π6C.π4D.π312.(2022河南濮阳一模,文8)在△ABC中,D为BC边上的一点,AD=BD=5,DC=4,∠BAD=∠DAC,则AC=( )A.9B.8C.7D.613.如图,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点,从点A测得点M的仰角∠MAN=60°,点C的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°;从点C测得∠MCA=60°.已知山高BC=100m,则山高MN= m. 〚导学号24190902〛14.(2022广东广州二模,文17)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bcosC+bsinC=a.(1)求角B的大小;(2)若BC边上的高等于14a,求cosA的值.9\n〚导学号24190903〛创新应用组15.(2022辽宁沈阳一模,文12)为了竖一块广告牌,要制造三角形支架,如图,要求∠ACB=60°,BC的长度大于1米,且AC比AB长0.5米,为了稳固广告牌,要求AC越短越好,则AC最短为( )A.1+32米B.2米C.(1+3)米D.(2+3)米16.(2022河南洛阳一模,文17)已知f(x)=3sin(π+ωx)·sin32π-ωx-cos2ωx(ω>0)的最小正周期为T=π.(1)求f4π3的值.(2)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若(2a-c)cosB=bcosC,求角B的大小以及f(A)的取值范围.答案：1.B 由已知及余弦定理,得3=4+c2-2×2×c×12,整理,得c2-2c+1=0,解得c=1.故选B.2.D ∵acosA=bcosB,∴sinAcosA=sinBcosB,∴sin2A=sin2B,∴A=B,或2A+2B=180°,即A+B=90°,∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.故选D.9\n3.C ∵A,B,C成等差数列,∴B=60°.在△ABD中,由余弦定理,得AD2=AB2+BD2-2AB·BD·cosB,即7=4+BD2-2BD,∴BD=3或-1(舍去),可得BC=6,∴S△ABC=12AB·BC·sinB=12×2×6×32=33.4.D (方法一)记角A,B,C的对边分别为a,b,c,则由题意,得S△ABC=12a·13a=12acsinB,即c=23a.由正弦定理,得sinC=23sinA.∵C=3π4-A,∴sinC=sin3π4-A=23sinA,即22cosA+22sinA=23sinA,整理,得sinA=-3cosA.∵sin2A+cos2A=1,∴sin2A+19sin2A=1,即sin2A=910,解得sinA=31010(排除负值).故选D.(方法二)记角A,B,C的对边分别为a,b,c,则由题意得S△ABC=12a·a3=12acsinB,∴c=23a.∴b2=a2+23a2-2a·2a3·22=5a29,即b=5a3.由正弦定理asinA=bsinB,得sinA=asinBb=a×225a3=31010.故选D.5.D ∵bcosA+acosB=c2,a=b=2,∴由余弦定理可得b×b2+c2-a22bc+a×a2+c2-b22ac=c2,整理可得2c2=2c3,解得c=1,则△ABC的周长为a+b+c=2+2+1=5.故选D.6.π3 在△ABC中,∵(sinA-sinC)(a+c)b=sinA-sinB,∴(a-c)(a+c)b=a-b,∴a2+b2-c2=ab,∴cosC=a2+b2-c22ab=12,9\n∴C=π3.7.12 在△ABC中,由条件并结合正弦定理可得2sinCcosB=2sinA+sinB=2sin(B+C)+sinB,即2sinCcosB=2sinBcosC+2sinCcosB+sinB,∴2sinBcosC+sinB=0,∴cosC=-12,C=2π3.由于△ABC的面积为S=12ab·sinC=34ab=32c,∴c=12ab.再由余弦定理可得c2=a2+b2-2ab·cosC,整理可得14a2b2=a2+b2+ab≥3ab,当且仅当a=b时,取等号,∴ab≥12,故答案为12.8.2315 在△ABC中,AB=3.5m,AC=1.4m,BC=2.8m,且α+∠ACB=π.由余弦定理,可得AB2=AC2+BC2-2·AC·BC·cos∠ACB,即3.52=1.42+2.82-2×1.4×2.8×cos(π-α),解得cosα=516,则sinα=23116,所以tanα=sinαcosα=2315.9.(1)证明因为A=2B,所以由正弦定理asinA=bsinB,得asin2B=bsinB,所以a=2bcosB.(2)解由余弦定理,a2=b2+c2-2bccosA,因为b=2,c=4,A=2B,所以16cos2B=4+16-16cos2B,所以cos2B=34,因为A+B=2B+B<π,所以B<π3,所以cosB=32,所以B=π6.10.解设缉私艇在C处截住走私船,D为岛A正南方向上的一点,缉私艇的速度为xnmile/h,则BC=0.5xnmile,AC=5nmile,依题意,∠BAC=180°-38°-22°=120°,由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos120°,解得BC2=49,BC=0.5x=7,解得x=14.9\n又由正弦定理得sin∠ABC=ACsin∠BACBC=5×327=5314,所以∠ABC=38°.又∠BAD=38°,所以BC∥AD.故缉私艇以14nmile/h的速度向正北方向行驶,恰好用0.5h截住该走私船.11.B 由题意结合三角形的内角和,可得sin(A+C)+sinA(sinC-cosC)=0,整理得sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC-sinAcosC=0,则sinC(sinA+cosA)=0,因为sinC>0,所以sinA+cosA=0,即tanA=-1,因为A∈(0,π),所以A=3π4.由正弦定理asinA=csinC,得2sin3π4=2sinC,即sinC=12,所以C=π6,故选B.12.D 设∠B=θ,则∠ADC=2θ,在△ADC中,由DCsinθ=ACsin2θ,所以AC=8cosθ,在△ABC中,由ACsinθ=9sin2θ,可得8cosθsinθ=9sin2θ,所以16cos2θ=9,可得cosθ=34,所以AC=8×34=6.故选D.13.150 在Rt△ABC中,∠CAB=45°,BC=100m,所以AC=1002m.在△AMC中,∠MAC=75°,∠MCA=60°,从而∠AMC=45°,由正弦定理,得ACsin45°=AMsin60°,因此AM=1003m.在Rt△MNA中,AM=1003m,∠MAN=60°,由MNAM=sin60°,得MN=1003×32=150(m).14.解(1)因为bcosC+bsinC=a,由正弦定理,得sinBcosC+sinBsinC=sinA.因为A+B+C=π,所以sinBcosC+sinBsinC=sin(B+C).即sinBcosC+sinBsinC=sinBcosC+cosBsinC.因为sinC≠0,所以sinB=cosB.因为cosB≠0,所以tanB=1.9\n因为B∈(0,π),所以B=π4.(2)设BC边上的高线为AD,则AD=14a.因为B=π4,则BD=AD=14a,CD=34a.所以AC=AD2+DC2=104a,AB=24a.由余弦定理得cosA=AB2+AC2-BC22AB·AC=-55.15.D 设BC的长度为x米,AC的长度为y米,则AB的长度为(y-0.5)米,在△ABC中,依余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos∠ACB,即(y-0.5)2=y2+x2-2yx×12,化简得y(x-1)=x2-14,∵x>1,∴x-1>0,因此y=x2-14x-1,y=(x-1)+34(x-1)+2≥3+2,当且仅当x-1=34(x-1)时,取“=”号,即x=1+32时,y有最小值2+3.16.解(1)f(x)=3sin(π+ωx)·sin3π2-ωx-cos2ωx=3sinωx·cosωx-cos2ωx=32sin2ωx-12cos2ωx-12=sin2ωx-π6-12.∵最小正周期为T=π,∴2π2ω=π,即ω=1.∴f(x)=sin2x-π6-12,∴f4π3=sin2×4π3-π6-12=12.(2)∵(2a-c)cosB=bcosC,∴(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC,2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin(B+C)=sinA.∵sinA>0,∴cosB=12.∵B∈(0,π),∴B=π3.∴A∈0,2π3,2A-π6∈-π6,7π6,,∴sin2A-π6∈-12,1.9\nf(A)的取值范围是-1,12.9
