浙江省2022届高三最新理科数学（精选试题17套+2022-2022五年浙江高考理科试题）分类汇编7：立体几何（1）一、选择题1．（浙江省“六市六校”联盟2022届高三下学期第一次联考数学（理）试题）如图所示,在正方体中,为上一点,且,是侧面上的动点,且平面,则与平面所成角的正切值构成的集合是（ ）A．B．C．D．1C（第10题图）【答案】C2．（浙江省新梦想新教育新阵地联谊学校2022届高三回头考联考数学（理）试题）棱长为2的正方体在空间直角坐标系中移动,但保持点（ ）A．B分别在x轴、y轴上移动,则点到原点O的最远距离为（ ）A．B．C．5D．4【答案】D3．（浙江省温岭中学2022届高三高考提优冲刺考试（三）数学（理）试题）某三棱锥的三视图如图所示,已知该三视图中正视图和俯视图均为边长为2的正三角形,侧视图为如图所示的直角三角形,则该三棱锥的体积为（ ）A．1B．3C．4D．5【答案】A22\n4．（浙江省建人高复2022届高三第五次月考数学（理）试题）设、是两条不同的直线,、是两个不同的平面.考查下列命题,其中正确的命题是（ ）A．B．C．D．【答案】B5．（2022年高考（浙江理））设,是两条不同的直线,是一个平面,则下列命题正确的是（ ）A．若,,则B．若,,则C．若,,则D．若,,则【答案】答案:B6．（浙江省绍兴市2022届高三教学质量调测数学（理）试题（word版））某四棱锥的底面为正方形,其三视图如图所示,则该四棱锥的体积等于（ ）A．B．C．D．【答案】B7．（浙江省金华十校2022届高三4月模拟考试数学（理）试题）设m,n是不同的直线,是不同的平面,下列命题中正确的是（ ）A．若m//B．若m//C．若m//D．若m//【答案】C8．（浙江省金华十校2022届高三4月模拟考试数学（理）试题）某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的体积是22\n（ ）A．B．4C．2D．【答案】B9．（浙江省绍兴市2022届高三教学质量调测数学（理）试题（word版））如图,正四面体的顶点在平面内,且直线与平面所成的角为,顶点在平面上的射影为点.当顶点与点的距离最大时,直线与平面所成角的正弦值等于（ ）A．B．C．D．【答案】A10．（2022年高考（浙江理））如图,是平面的斜线段,为斜足,若点在平面内运动,使得的面积为定值,则动点的轨迹是（ ）A．圆B．椭圆C．一条直线D．两条平行直线ABP【答案】B．11．（2022年高考（浙江理））已知矩形ABCD,AB=1,BC=.将ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻着,在翻着过程中,（ ）A．存在某个位置,使得直线AC与直线BD垂直B．存在某个位置,使得直线AB与直线CD垂直C．存在某个位置,使得直线AD与直线BC垂直D．对任意位置,三直线“AC与BD”,“AB与CD”,“AD与BC”均不垂直【答案】【答案】B【解析22\n】最简单的方法是取一长方形动手按照其要求进行翻着,观察在翻着过程,即可知选项B是正确的.12．（浙江省宁波市2022届高三第二次模拟考试数学（理）试题）已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是（ ）A．B．C．D．【答案】A二、填空题13．（浙江省杭州市2022届高三第二次教学质检检测数学（理）试题）一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为_______________________.【答案】14．（浙江省一级重点中学（六校）2022届高三第一次联考数学（理）试题）某几何体的三视图如图所示,根据图中标出的数据,则这个几何体的体积为_______.【答案】15．（2022年普通高等学校招生全国统一考试(浙江理)）若某几何体的三视图（单位：）如图所示，则此几何体的体积是．22\n【答案】提示：该几何体是由二个长方体组成，下面体积为，上面的长方体体积为，因此其几何体的体积为1816．（浙江省湖州市2022年高三第二次教学质量检测数学(理)试题(word版)）正方体的棱长为,是它的内切球的一条弦(把球面上任意两点之间的连线段称为球的弦),为正方体表面上的动点,当弦最长时,的取值范围是____【答案】17．（浙江省“六市六校”联盟2022届高三下学期第一次联考数学（理）试题）一个空间几何体的三视图如图所示,其中正视图为等腰直角三角形,侧视图与俯视图为正方形,则该几何体的体积为________.444正视图俯视图（第11题图）侧（左）视图【答案】3218．（浙江省永康市2022年高考适应性考试数学理试题）如图,斜边长为4的直角,,且在平面上,,在平面的同侧,为的中点.若在平面上的射影是以为直角顶点的三角形,则到平面的距离的取值范围是____22\n【答案】19．（浙江省宁波市十校2022届高三下学期能力测试联考数学（理）试题）一个组合体的三视图如图,则其体积为______________【答案】20．（浙江省五校联盟2022届高三下学期第二次联考数学（理）试题）如图是某几何体的三视图,其中正视图和侧视图是全等的矩形,底边长为2,高为3,俯视图是半径为1的圆,则该几何体的体积是_______.【答案】三、解答题21．（浙江省绍兴市2022届高三教学质量调测数学（理）试题（word版））如图,在梯形中,,,.点在平面上的射影为点,且,二面角为.(Ⅰ)求直线与平面所成角的大小;22\n(Ⅱ)若,求三棱锥的体积.【答案】解:(Ⅰ)方法1:∵,∴点在平面上的射影在线段的中垂线上,设的中点为,连接,∴,∴为二面角的平面角,∴在等腰△中,∵,∴,又,∴.在△中,得以为原点,分别以平行于,的直线为轴、轴建立空间直角坐标系,则,,所以,∵轴,故可取一个的平行向量.设平面的法向量是,则即E取∴直线与平面所成角满足,所以直线与平面所成角为方法2:过点作,垂足为,连接.过作,垂足为,连接.平面,∴.,∴平面.又平面,∴,又,∴平面.∴就是与平面所成角22\n∵,∴点在平面上的射影在线段的中垂线上,设的中点为,连接,∴,∴为二面角的平面角,∴.在等腰△中,∵,∴,又,∴.在△中,得,∴.又,,在△中,可得∴,∴所以直线与平面所成角为(Ⅱ)设,则,连接.在△中,,又由(Ⅰ)得,,∴,∴在△中,,又,∴,得,即∴三棱锥的体积22．（浙江省一级重点中学（六校）2022届高三第一次联考数学（理）试题）如图:在直三棱柱中,,.(Ⅰ)若异面直线与所成的角为,求棱柱的高;(Ⅱ)设是的中点,与平面所成的角为,当棱柱的高变化时,求的最大值.【答案】解法1:(Ⅰ)由三棱柱是直三棱柱可知,即为高,如图1,因为,所以是异面直线与所成的角或其补角,22\n连接,因为,所以.在Rt△中,由,,可得又异面直线与所成的角为,所以,即△为正三角形.于是.在Rt△中,由,得,即棱柱的高为(Ⅱ)设,如图1,过点在平面内作于F,则由平面,平面,得.而,所以平面.故就是与平面所成的角,即在△中,由,得,在△中,由,,得,在△中,22\n令,(Ⅰ)因为异面直线与所成的角,所以,即,得,解得(Ⅱ)由是的中点,得,于是.设平面的法向量为,于是由,,可得即可取,于是.而令,因为,当且仅当,即时,等号成立.所以,故当时,的最大值23．（2022年高考（浙江理））如图,在三棱中,AB=AC,D为BC的中点,PO⊥平面ABC,垂足O落在线段AD上,已知BC=8,PO=4,AO=3,OD=2.(1)证明:AP⊥BC;(2)在线段AP上是否存在点M,使得二面角为直二面角?若存在,求出AM的长;若不存在,请说明理由.PABCDO22\n【答案】本题主要考查空间点、线、面位置关系,二面角等基础知识,空间向量的应用,同事考查想象能力和运算求解能力.满分15分.方法以:(Ⅰ)证明:如图,以O为原点,以射线OP为z轴的正半轴,建立空间直角坐标系O-xyz则O(0,0,0),A(0,-3,0),B(4,2,0),C(-4,2,0)P(0,0,4)由此可得所以⊥,即AP⊥BC.(Ⅱ)解:设设平面BMC的法向量平面APC的法向量由得即可取由即得可取由,得解得,故AM=3综上所述,存在点M符合题意,AM=3.方法二:(Ⅰ)证明:由AB=AC,D是BC的中点,得AD⊥BC,又PO⊥平面ABC,得PO⊥BC.22\n因为PO∩BC=0,所以BC⊥平面PAD故BC⊥PA.(Ⅱ)解:如图,在平面PAD内作BM⊥PA于M,连CM.由(Ⅰ)中知AP⊥BC,得AP⊥平面BMC.又AP平面APC,所以平面BMC⊥平面APC.在Rt⊿ADB中,AB2=AD2+BD2=41,得AB=在Rt⊿POD中,PB2=PO2+OD2,在Rt⊿PDB中,PB2=PD2+BD2,所以PB2=PO2+OD2+BD2=36,得PB=6.在Rt⊿POA中,PA2=AO2+OP2=25,得PA=5又从而所以综上所述,存在点M符合题意,AM=3.24．（浙江省温岭中学2022届高三高考提优冲刺考试（三）数学（理）试题）已知四棱锥,底面,,与交于点,又,.(1)求证:平面;(2)求二面角的余弦值.【答案】.证明:以AB为x轴,AD为y轴,AP为z轴,A为坐标原点,建立空间直角坐标系.则底面平面;(2)设的法向量为22\n的法向量为,[由题可知二面角为锐角,故余弦值为注:也可以25．（2022年高考（浙江理））如图,在四棱锥P—ABCD中,底面是边长为的菱形,且∠BAD=120°,且PA⊥平面ABCD,PA=,M,N分别为PB,PD的中点.(Ⅰ)证明:MN∥平面ABCD;(Ⅱ)过点A作AQ⊥PC,垂足为点Q,求二面角A—MN—Q的平面角的余弦值.【答案】【解析】本题主要考察线面平行的证明方法,建系求二面角等知识点.(Ⅰ)如图连接BD.∵M,N分别为PB,PD的中点,∴在PBD中,MN∥BD.又MN平面ABCD,∴MN∥平面ABCD;(Ⅱ)如图建系:A(0,0,0),P(0,0,),M(,,0),N(,0,0),C(,3,0).设Q(x,y,z),则.22\n∵,∴.由,得:.即:.对于平面AMN:设其法向量为.∵.则.∴.同理对于平面AMN得其法向量为.记所求二面角A—MN—Q的平面角大小为,则.∴所求二面角A—MN—Q的平面角的余弦值为.【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ).22\n22\n【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ).26．（浙江省金华十校2022届高三4月模拟考试数学（理）试题）如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,底面ABCD是菱形,∠BAD=60°,O为AC与BD的交点,E为PB上任意一点.(I)证明:平面EAC⊥平面PBD;(II)若PD∥平面EAC,并且二面角B-AE-C的大小为45°,求PD:AD的值.【答案】22\n27．（浙江省宁波市十校2022届高三下学期能力测试联考数学（理）试题）如图,中,两点分别在线段.现将沿折成直二面角.(1)求证:当时,;(2)当时,二面角的大小能否等于?若能,求出的值;若不能,请说明理由.22\nABCDEABCDE【答案】28．（浙江省永康市2022年高考适应性考试数学理试题）如图,在三棱锥中,直线平面,且,又点,,分别是线段,,的中点,且点是线段上的动点.(Ⅰ)证明:直线平面;(Ⅱ)若=8,且二面角的平面角的余弦值为,试求的长度.22\n[【答案】(Ⅰ)连结QM,因为点,,分别是线段,,的中点所以QM∥PA且MN∥AC,从而QM∥平面PAC且MN∥平面PAC又因为MN∩QM=M,所以平面QMN∥平面PAC而QK平面QMN所以QK∥平面PAC(Ⅱ)方法1:过M作MH⊥AK于H,连QH,则∠QHM即为二面角的平面角,设,且则,又,且,所以,解得,所以的长度为方法2:以B为原点,以BC、BA所在直线为x轴y轴建空间直角坐标系,则A(0,8,0),M(0,4,0),N(4,0,0),P(0,8,8),Q(0,4,4),设K(a,b,0),则a+b=4,=(0,-4,4),记,则取则,则,又平面AKM的一个法向量,设二面角的平面角为则|cos|=,解得,所以所以的长度为22\n29．（浙江省宁波市2022届高三第二次模拟考试数学（理）试题）如图,已知四棱锥P—ABCD的底面为菱形,且∠ABC=60°,AB=PC=2,AP=BP=.(1)求证:平面PAB⊥平面ABCD;(2)求二面角A—PC—D的平面角的余弦值.【答案】22\n30．（浙江省杭州高中2022届高三第六次月考数学（理）试题）如图,已知长方形中,,为的中点.将沿折起,使得平面平面.(1)求证:(2)点是线段上的一动点,当二面角大小为时,试确定点的位置.A【答案】取AM的中点O,AB的中点B,则两两垂直,以O为原点建立空间直角坐标系,如图.根据已知条件,得,,,(1)由于,则,故.(2)设存在满足条件的点E,并设,则则点E的坐标为.(其中)易得平面ADM的法向量可以取,设平面AME的法向量为,则22\n,则则,取*由于二面角大小为,则,由于,故解得.故当E位于线段DB间,且时,二面角大小为22
