题型专项训练5 三角函数与三角形(解答题专项)1.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知sinC+sin(B-A)=sin2A,A≠.(1)求角A的取值范围;(2)若a=1,△ABC的面积S=,C为钝角,求角A的大小.2.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且.(1)求角A的大小;(2)若4sinBsinC=3,试判断△ABC的形状,并说明理由.3.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足4cosC+cos2C=4cosCcos2.(1)求角C的大小;5\n(2)若=2,求△ABC面积的最大值.4.已知a=(sinx,cosx+sinx),b=(2cosx,sinx-cosx),f(x)=a·b.(1)求函数f(x)的单调递增区间;(2)当x∈时,对任意t∈R,不等式mt2+mt+3≥f(x)恒成立,求实数m的取值范围.5\n5.(2022浙江杭州一模,文16)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知cos2A+=2cosA.(1)求角A的大小;(2)若a=1,求△ABC的周长l的取值范围.6.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cos2A=3cos(B+C)+1.(1)求角A的大小;(2)若cosBcosC=-,且△ABC的面积为2,求a.答案题型专项训练5 三角函数与5\n三角形(解答题专项)1.解:(1)由sinC+sin(B-A)=sin2A,得sin(B+A)+sin(B-A)=2sinAcosA.即2sinBcosA=2sinAcosA.因为cosA≠0,所以sinB=sinA.由正弦定理,得b=a,故A必为锐角.又0<sinB≤1,所以0<sinA≤.因此角A的取值范围为.(2)由(1)及a=1得b=.又因为S=,所以×1×·sinC=.从而sinC=.因为C为钝角,故C=.由余弦定理,得c2=1+2-2×1×cos=1+2-2×1×=2+.故c=.由正弦定理,得sinA=.因此A=.2.解:(1)由正弦定理得(a+c)(a-c)=b(b-c),即a2=b2+c2-bc.由余弦定理得cosA=,又0<A<π,则A=.(2)由A=,4sinBsinC=3得4sinBsin=3,即4sinB=3,即sin2B+1-cos2B=3.即sin=1,又0<B<,则2B-,即B=.则A=B=C=,故△ABC是等边三角形.3.解:(1)由4cosC+cos2C=4cosCcos2得4cosC+2cos2C-1=2cosC(1+cosC),解得cosC=,因为0<C<π,所以C=.(2)取BC中点D,则=2=||.在△ADC中,AD2=AC2+CD2-2AC·CDcosC,即4=b2+≥2,所以ab≤8,当且仅当a=4,b=2时取等号.此时S△ABC=absinC=ab,其最大值为2.4.解:f(x)=a·b=2sinxcosx+(cosx+sinx)(sinx-cosx)=sin2x-cos2x=2sin.5\n(1)令-+2kπ≤2x-+2kπ,k∈Z得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,所以函数的单调递增区间为,k∈Z.(2)当x∈时,≤2x-,所以≤2sin≤2,因为对任意t∈R,不等式mt2+mt+3≥f(x)恒成立,所以mt2+mt+3≥f(x)max恒成立,即mt2+mt+3≥2,即mt2+mt+1≥0恒成立.若m=0,符合条件;若m≠0,则m>0且m2-4m≤0,即0<m≤4;所以实数m的取值范围为[0,4].5.解:(1)根据倍角公式:cos2x=2cos2x-1,得2cos2A+=2cosA,即4cos2A-4cosA+1=0,所以(2cosA-1)2=0,所以cosA=,因为0<A<π,所以A=.(2)根据正弦定理:,得b=sinB,c=sinC,所以l=1+b+c=1+(sinB+sinC).因为A=,所以B+C=,所以l=1+=1+2sin.因为0<B<,所以l∈(2,3].6.解:(1)由cos2A=3cos(B+C)+1得2cos2A+3cosA-2=0,即(2cosA-1)(cosA+2)=0,所以,cosA=或cosA=-2(舍去),因为A为三角形内角,所以A=.(2)由(1)知cosA=-cos(B+C)=,则cosBcosC-sinBsinC=-.由cosBcosC=-,得sinBsinC=,由正弦定理,有,即b=,c=,由三角形的面积公式,得S=bcsinA=a2,即a2=2,解得a=4.5
