第04节数列的综合应用A基础巩固训练1．【2022届山西省大同市第一中学高三11月月考】在等差数列{an}中，a1=2，公差为d，则“d=4”是“a1，a2，a3成等比数列”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D2．【2022届湖南常德一中高三上月考三】已知数列满足：，若，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由数列满足：，所以数列为等比数列，设等比数列的公比为，则，又，即，解得，则，故选C．3．【2022届江西抚州市七校高三上联考】若数列满足，且，则数列的前项中，能被整除的项数为（）A.B.C.D.【答案】B10\n4．公比不为1的等比数列的前n项和为，且成等差数列，若＝1，则＝（）A．－5B．0C．5D．7【答案】A【解析】设公比为，因为成等差数列且＝1，所以，即，解得或（舍去），所以.5．已知an是递减等比数列，a2=2,a1+a3=5，则a1a2+a2a3+...+anan+1n∈N*的取值范围是()A.12,16B.8,323C.8,16D.163,323【答案】B【解析】a22=a1⋅a3=4,a1+a3=5，∴a1和a3是方程x2-5x+4=0的两根，解得x=1或4，∵an是递减等比数列，∴a1>a3，∴a1=4,a3=1,∴q2=a3a1=14，∵an是递减等比数列，∴q>0,∴q=12，∴Sn=a1a2+a2a3+...+anan+1=a12q+a12q3+a12q5+...+a12q2n-1=81-14n1-14=3231-14n<323，∵a12q2n-1是正项等比数列，∴Sn的最小项为S1=8，∴a1a2+a2a3+...+anan+1n∈N*的取值范围是8,323，故选B.B能力提升训练1．【2022届重庆市第八中学高三文上第二次考试】若数列满足，则称为“梦想数列”，已知正项数列为“梦想数列”，且，则（）A．4B．16C．32D．64【答案】C10\n【解析】依题意为等比数列，公比为，所以.2．在圆x2+y2﹣5y=0内，过点作n条弦（n∈N+），它们的长构成等差数列{an}，若a1为过该点最短的弦，an为过该点最长的弦，且公差，则n的值为（）A.4B.5C.6D.7【答案】B3．“泥居壳屋细莫详，红螺行沙夜生光．”是宋代诗人欧阳修对鹦鹉螺的描述，美丽的鹦鹉螺呈现出螺旋线的迷人魅力．假设一条螺旋线是用以下方法画成（如图）：△ABC是边长为1的正三角形，曲线分别以A、B、C为圆心，为半径画的弧，曲线称为螺旋线，然后又以A为圆心，为半径画弧......如此下去，则所得螺旋线的总长度为()A.B.C.D.【答案】A10\n4．【2022届山西山西大学附中高三理上期中】已知数列的前项和为，且满足.（Ⅰ）求；（Ⅱ）设，数列的前项和为，求证：.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析【解析】试题分析：（Ⅰ）（Ⅰ）由和项求数列通项，主要利用得，化简得，即得，也可利用叠乘法求：（Ⅱ）由于，所以利用放缩结合裂项相消法求证不等式：试题解析：解（1）;,（1）（2）10\n（1）-（2）,得,,，（2）,5．已知数列中各项都大于1，前项和为，且满足.（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和；（3）求使得对所有都成立的最小正整数.【答案】（1）；（2）；（3）.试题解析：（1）当时，，解之得，（舍去）由①得②②-①得即由于，故可见数列为等差数列，公差是3，首项是2，10\n所以.（2），所以即数列的前项和.（3）使得对所有都成立的必须满足，即，故满足要求的最小正整数为6.C思维拓展训练1.3．已知一次函数的图像经过点和，令，记数列的前项和为，当时，的值等于（）A．B．C．D．【答案】A2.设数列an的前n项和为Sn，点(n,Snn)（n∈N*）均在直线y=x+12上．若bn=3an+12，则数列bn的前n项和Tn=__________．【答案】9n+1-98【解析】依题意得Snn=n+12，即Sn=n2+12n10\n当n≥2时，an=Sn-Sn-1=（n2+12n）-[（n-1）2+12（n-1）]=2n-12当n=1时，a1=S1=32符合an=2n-12，所以an=2n-12（n∈N*）则bn=3an+12=32n，由bn+1bn=32(n+1)32n=9，可知{bn}为等比数列，b1=9故Tn=9(1-9n)1-9=9n+1-98.3.【2022届湖北省黄石市第三中学（稳派教育）高三阶段性检测】下表给出一个“三角形数阵”：，，，……已知每一列的数成等差数列；从第三行起，每一行的数成等比数列，每一行的公比都相等.记第行第列的数为，则（1）_________；（2）前20行中这个数共出现了________次．【答案】44.【2022届江苏省如东高级中学高三2月摸底】已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an-2(n∈N*)（1）求数列{an}的通项公式；（2）若数列{bn}满足1an=b12+1-b222+1+b323+1-⋯+(-1)n+1bn2n+1，求数列{bn}的通项公式；（3）在（2）的条件下，设cn=2n+λbn，问是否存在实数λ使得数列{cn}(n∈N*)是单调递增数列？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】⑴an=2n；⑵-12835<λ<3219,.10\n当n=1时,a1=b12+1,b1=32.所以bn={32,(n=1)(-1)n(12n+1).(n≥2,n∈N*)（3）因为cn=2n+λbn,所以当n≥3时,cn=2n+(-1)n(12n+1)λ,cn-1=2n-1+(-1)n-1(12n-1+1)λ.依据题意,有cn-cn-1=2n-1+(-1)nλ(2+32n)>0,即(-1)nλ>-2n-132n+2.分类讨论，n为奇数或偶数，分离参数即可求出λ的取值范围是-12835<λ<3219,试题解析：⑴由Sn=2an-2,得Sn+1=2an+1-2．两式相减,得an+1=2an+1-2a,所以an+1=2an,由又S1=2a1-2,得a1=2a1-2,a1=2,所以数列{an}为等比数列，且首项为2，公比q=2，所以an=2n．⑵由⑴知1an=12n(n∈N*)．由12n=b12+1-b222+1+b323+1-⋯+(-1)n+1bn2n+1(n∈N*),得12n-1=b12+1-b222+1+b323+1-⋯+(-1)nbn-12n-1+1(n≥2)．故12n-12n-1=(-1)n+1bn2n+1,即bn=(-1)n(12n+1)(n≥2)．当n=1时,a1=b12+1,b1=32．所以bn={32,(n=1)(-1)n(12n+1)．(n≥2,n∈N*)⑶因为cn=2n+λbn,所以当n≥3时,cn=2n+(-1)n(12n+1)λ,cn-1=2n-1+(-1)n-1(12n-1+1)λ．依据题意,有cn-cn-1=2n-1+(-1)nλ(2+32n)>0,即(-1)nλ>-2n-132n+2．①当n为大于或等于4的偶数时,有λ>-2n-132n+2恒成立．又2n-132n+2=-1322n-1+12n-2随n增大而增大,10\n则当且仅当n=4时,(2n-132n+2)min=12835,故λ的取值范围为λ>-12835;②当n为大于或等于3的奇数时,有λ<2n-132n+2恒成立,且仅当n=3时,(2n-132n+2)min=3219,故λ的取值范围为λ<3219;又当n=2时,由cn-cn-1=c2-c1=(22+54λ)-(2+32λ)>0,得λ<8．综上可得,所求λ的取值范围是-12835<λ<3219,5．【2022届北京市朝阳区高三二模】各项均为非负整数的数列同时满足下列条件：①；②；③是的因数（）．（Ⅰ）当时，写出数列的前五项；（Ⅱ）若数列的前三项互不相等，且时，为常数，求的值；（Ⅲ）求证：对任意正整数，存在正整数，使得时，为常数．【答案】（1）5，1，0，2，2.（2）的值为.（3）见解析试题解析：解：（Ⅰ）5，1，0，2，2.（Ⅱ）因为，所以，又数列的前3项互不相等，（1）当时，若，则，且对，都为整数，所以；10\n若，则，且对，都为整数，所以；（2）当时，若，则，且对，都为整数，所以，不符合题意；若，则，且对，都为整数，所以；综上，的值为.（Ⅲ）对于，令，则.又对每一个，都为正整数，所以，其中“”至多出现个.故存在正整数，当时，必有成立.当时，则.从而.由题设知，又及均为整数，所以，故常数.从而常数.故存在正整数，使得时，为常数.10
