第04节数列的综合应用一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的.）1.在等比数列中，若，则的最小值为（）A．B．4C．8D．16【答案】B【解析】因为，所以由基本不等式可得，，故选B.2．将正偶数集合{2,4,6，…}从小到大按第n组有2n个偶数进行分组：{2,4}，{6,8,10,12}，{14,16,18,20,22,24}，….则2018位于第( )组．A.30B.31C.32D.33【答案】C3．【2022届陕西省黄陵中学高三（重点班）下考前模拟一】若数列满足且，则使的的值为()A.B.C.D.【答案】C【解析】因为，所以是等差数列，且公差，则，所以由题设可得，则，应选答案C.4．已知函数的图象过点，令（），记数列的前项和为，则（）A.B.C.D.15\n【答案】B【解析】由题意得，所以，从而，即，选B.5．已知正项数列的前项和为，当时，，且，设，则等于（）A．B．C．D．【答案】A6．设各项均为正数的数列的前项和为，且满足．则数列的通项公式是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由满足．因式分解可得：，∵数列的各项均为正数，∴，当时，，解得．当时，，当时，上式成立．∴．故选：A．7.【河南省天一大联考2022届高三阶段性测试（五）（B卷）】设是等差数列，是等比数列，且15\n，，则下列结论正确的是（）A.B.C.，，D.，，使得【答案】C8.【2022届河南省林州市第一中学高三8月】已知数列的前项和为，且，，若对任意的，恒成立，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】由数列的递推公式可得：，则数列是首项为，公比为的等比数列，，分组求和可得：，题中的不等式即恒成立，结合恒成立的条件可得实数的取值范围为本题选择B选项.9.已知，已知数列满足，且，则()A．有最大值6030B.有最小值6030C.有最大值6027D.有最小值602715\n【答案】A10．【2022届河南省天一大联考高三上10月联考】已知数列an满足a1=-1，an+1=1-an+2an+1，其前n项和为Sn，则下列说法正确的个数为（）①数列an是等差数列；②an=3n-2；③Sn=3n-1-32.A.0B.1C.2D.3【答案】B【解析】a2=1-a1+2a1+1=1,所以当n≥2时，an≥1,因此an+1=3an，故①②错；当n≥2时，Sn=-1+1-3n-11-3=3n-1-32当n≥2时，Sn=-1，因此③对，选B.11．【2022届河北省定州中学高三上第二次月考】定义np1+p2+⋯+pn为n个正数p1,p2,⋯,pn的“均倒数”，若已知数列an的前n项的“均倒数”为12n+1，又bn=an+14，则1b1b2+1b2b3+⋯+1b2022b2022=（）A.20222022B.20222022C.20222022D.12022【答案】C15\n据此可得：1bnbn+1=1nn+1=1n-1n+1，1b1b2+1b2b3+⋯+1b2022b2022=1-12+12+13+⋯+12022-12022=1-12022=20222022.本题选择C选项.12.已知数列{an}（n∈N*）是各项均为正数且公比不等于1的等比数列，对于函数y=f（x），若数列{1nf（an）}为等差数列，则称函数f（x）为“保比差数列函数”．现有定义在（0，+∞）上的三个函数：①f（x）=；②f（x）=ex③f（x）=，则为“保比差数列函数”的是（）A.①②B.②③C.①③D.①②③【答案】C【解析】试题分析：设数列{an}的公比为q（q≠1），利用保比差数列函数的定义，验证数列{lnf（an）}为等差数列，即可得到结论．解：设数列{an}的公比为q（q≠1）①由题意，lnf（an）=ln，∴lnf（an+1）﹣lnf（an）=ln﹣ln=ln=﹣lnq是常数，∴数列{lnf（an）}为等差数列，满足题意；②由题意，lnf（an）=ln，∴lnf（an+1）﹣lnf（an）=ln﹣ln=an+1﹣an不是常数，∴数列{lnf（an）}不为等差数列，不满足题意；15\n③由题意，lnf（an）=ln，∴lnf（an+1）﹣lnf（an）=ln﹣ln=lnq是常数，∴数列{lnf（an）}为等差数列，满足题意；综上，为“保比差数列函数”的所有序号为①③故选C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.）13.)，,则数列中最大项的值是__________．【答案】14.【2022届江苏省南京师范大学附属中学高三模拟一】设数列的前项的和为，且，若对于任意的都有恒成立，则实数的取值范围是_________.【答案】【解析】由题设可得，则，不等式可化为，即，则问题转化为求的最大值和最小值.由于，所以的最大值和最小值分别为和，则，即，应填答案.15\n15．【2022届湖北孝感市高三上第一次统考】设为数列的前项和，且满足，则；.【答案】.16.【2022届江苏泰州中学高三上期中】设数列首项,前项和为，且满足，则满足的所有的和为_________.【答案】【解析】因,故代入已知可得,即,也即,故数列是公比为的等比数列,所以,即.所以,则,由此可解得,故应填答案.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.【2022届浙江省ZDB联盟高三一模】已知数列满足，，数列的前项和为，证明：当时，15\n（1）；（2）；（3）.【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析试题解析：证明：（1）由于，则.若，则，与矛盾，从而，，又，与同号，又，则，即.（2）由于，则.即，，当时，15\n从而当时，，从而.（3），叠加：.18．【2022届浙江省杭州高级中学高三2月模拟】数列定义为，，，（1）若，求的值；（2）当时，定义数列，，，是否存在正整数，使得.如果存在，求出一组，如果不存在，说明理由.【答案】(1)2；(2)答案见解析试题解析：(1)所以故15\n所以（2）由得，两边平方所以当时，由知又，数列递增，所以类似地，又所以存在正整数，存在一组19.【2022届浙江省温州市高三二模】设数列{an}满足an+1=an2-an+1(n∈N*)，Sn为{an}的前n项和.证明：对任意n∈N*，（1）当0≤a1≤1时，0≤an≤1；（2）当a1>1时，an>(a1-1)a1n-1；（3）当a1=12时，n-2n<Sn<n.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析.15\n(2)从而an+1-1=(an2+an+1)-1=an2-an=an(an-1)，即an+1-1an-1=an≥a1，于是an-1≥(a1-1)a1n-1，即an>(a1-1)a1n-1(n∈N*)；（3）当a1=12时，由（Ⅰ），0<an<1(n∈N*)，故Sn>n.令bn=1-an(n∈N*)，由（1）（2），bn>bn+1>0(n∈N*).由an+1=an2-an+1，可得bn2=bn-bn+1.从而b12+b22+⋅⋅⋅+bn2=(b1-b2)+(b2-b3)+⋅⋅⋅+(bn-bn+1)=b1-bn+1<b1=12，又b12+b22+⋅⋅⋅+bn2≥nbn2，故nbn2<12，即bn<12n(n∈N*).注意到bn<12n=22n<2n+n-1=2(n-n-1)，故b1+b2+⋅⋅⋅+bn<2[(1-0)+(2-1)+⋅⋅⋅+(n-n-1)]=2n，即n-Sn<2n，亦即Sn>n-2n.所以当a1=12时，n-2n<Sn<n.20．【2022届浙江省台州市高三上期末】已知数列{an}满足：a1=12,an+1=an22022+an(n∈N*).(Ⅰ)求证：an+1>an；（Ⅱ）求证：a2022<1；（Ⅲ）若an>1,求正整数k的最小值.【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ)2022.15\n因此an+1-an=an22022>0,所以an+1>an.(Ⅱ)证明:由已知得1an+1=2022an(an+2022)=1an-1an+2022,所以1an+2022=1an-1an+1,由1a1+2022=1a1-1a2,1a2+2022=1a2-1a3,⋯⋯⋯1an-1+2022=1an-1-1an,累加可得1a1-1an=1a1+2022+1a2+2022+⋯+1an-1+2022.当k=2022时,由(Ⅰ)得12=a1<a2<a3<⋯<a2022,所以1a1-1a2022=1a1+2022+1a2+2022+⋯+1a2022+2022<2022×1a1+2022<1.所以a2022<1.(Ⅲ)解:由(Ⅱ)得12=a1<a2<a3<⋯<a2022<1所以1a1-1a2022=1a1+2022+1a2+2022+⋯+1a2022+2022>2022×11+2022>1.所以a2022<1<a2022,又因为an+1>an,所以k的最小值为2022.21．【2022届浙江省台州市高三4月调研】已知数列{an}满足：an>0,an+1+1an<2(n∈N*).（1）求证：an+2<an+1<2(n∈N*)；（2）求证：an>1(n∈N*).15\n【答案】(1)见解析;(2)见解析.（2）假设存在aN≤1(N≥1,N∈N*)，由（1）可得当n>N时，an≤aN+1<1，根据an+1-1<1-1an=an-1an<0，而an<1，所以1an+1-1>anan-1=1+1an-1.于是1aN+2-1>1+1aN+1-1，……1aN+n-1>1+1aN+n-1-1.累加可得1aN+n-1>n-1+1aN+1-1（*）由（1）可得aN+n-1<0，而当n>-1aN+1-1+1时，显然有n-1+1aN+1-1>0，因此有1aN+n-1<n-1+1aN+1-1，这显然与（*）矛盾，所以an>1(n∈N*).22．【2022届浙江省杭州市高三4月二模】已知数列的各项均为非负数，其前项和为，且对任意的，都有.（1）若，，求的最大值；（2）若对任意，都有，求证：.【答案】（1）见解析（2）见解析15\n，便可求出的最大值；（2）首先假设，根据已知条件得，于是通过证明对于固定的值，存在，由此得出与矛盾，所以得到，再设，则根据可得，接下来通过放缩，可以得到，于是可以得出要证的结论.试题解析：（1）由题意知，设，则，且，，所以，.（2）若存在，使得，则由，得，因此，从项开始，数列严格递增，故，对于固定的，当足够大时，必有，与题设矛盾，所以不可能递增，即只能.令，，由，得，，故，15\n，所以，综上，对一切，都有.15
