专题3.2导数的运算【考纲解读】考点考纲内容5年统计分析预测导数的运算会用基本初等函数的导数公式表和导数的四则运算法则求函数的导数，并能求简单的复合函数的导数（限于形如)的导数）.2022浙江理科8,22；文科8，21；2022浙江理科22；文科21；2022浙江卷7,20.1.导数的运算将依然以工具的形式考查；3.单独考查导数的运算题目极少.3.备考重点：熟练掌握基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则.【知识清单】基本初等函数的导数公式及导数的运算法则1.基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xn(n∈Q*)f′(x)＝nxn－1f(x)＝sinxf′(x)＝cosxf(x)＝cosxf′(x)＝－sinxf(x)＝axf′(x)＝axlnaf(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logaxf′(x)＝f(x)＝lnxf′(x)＝2．导数的运算法则（1）[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；（2）[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；（3）(g(x)≠0)．(4)复合函数的导数7\n复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．对点练习：分别求下列函数的导数：(1)y＝ex·cosx；(2)y＝x；(3)y＝x－sincos；(4)y＝ln.【答案】(1)excosx－exsinx.(2)3x2－.(3)1－cosx.(4).【考点深度剖析】高考对导数的运算的考查，主要通过考查导数的几何意义、导数的应用来体现，近5年来，没有独立考查导数的运算的题目.【重点难点突破】考点1运用导数公式进行计算【1-1】求下列函数的导数.7\n【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）=.(2)根据题意把函数的解析式整理变形可得：(3)根据求导法则进行求导可得：.(4)根据题意利用除法的求导法则进行求导可得：7\n(5)设μ=3-2x，则y=(3-2x)5是由y=μ5与μ=3-2x复合而成，所以y′=f′μ·μ′x=(μ5)′·(3-2x)′=5μ4·(-2)=-10μ4=【领悟技法】1.求函数导数的一般原则如下：(1)遇到连乘积的形式，先展开化为多项式形式，再求导；(2)遇到根式形式，先化为分数指数幂，再求导；(3)遇到复杂分式，先将分式化简，再求导.2.复合函数的求导方法,求复合函数的导数，一般是运用复合函数的求导法则，将问题转化为求基本函数的导数解决.①分析清楚复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成的，适当选定中间变量；②分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中特别要注意的是中间变量；③根据基本函数的导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数；④复合函数的求导熟练以后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合过程.【触类旁通】【变式一】求下列函数的导数：(1)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；(2)y＝3xex－2x＋e；【答案】(1)3x2＋12x＋11.(2)(ln3＋1)(3e)x－2xln2.【解析】＝3x2＋12x＋11.(2)y′＝(3xex)′－(2x)′＋e′＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′7\n＝3xexln3＋3xex－2xln2＝(ln3＋1)(3e)x－2xln2.考点2导数运算的灵活应用【2-1】已知函数的导函数为，且满足，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵，∴．令,得,解得，-1．故选B．【2-2】数列为等比数列，其中，，为函数的导函数，则＝A、B、C、D、【答案】D【领悟技法】(1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量．(2)复合函数求导时，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元.【触类旁通】【变式一】已知f1(x)＝sinx＋cosx，fn＋1(x)是fn(x)的导函数，即f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f′2(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N*，则f2017(x)等于( )A.－sinx－cosxB.sinx－cosxC.－sinx＋cosxD.sinx＋cosx【答案】D【解析】∵f1(x)＝sinx＋cosx，∴f2(x)＝f1′(x)＝cosx－sinx，∴f3(x)＝f2′(x)＝－sinx－cosx，7\n∴f4(x)＝f3′(x)＝－cosx＋sinx，∴f5(x)＝f4′(x)＝sinx＋cosx，∴fn(x)是以4为周期的函数，∴f2017(x)＝f1(x)＝sinx＋cosx，故选D.【变式二】已知函数为的导函数，则（）A．0B．2022C．2022D．8【答案】D【解析】【易错试题常警惕】易错典例1：(1)若函数f(x)＝2x3＋a2，则f′(x)＝________．(2)函数y＝的导函数为________．易错分析：f′(x)＝6x2＋2a.没弄清函数中的变量是x，而a只是一个字母常量，其导数为0.正确解析：(1)6x2 ；(2)y′＝＝.温馨提醒：对函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误.【学科素养提升之思想方法篇】————近似与精确、有限与无限——无限逼近的极限思想1.由可以知道，函数的导数是函数的瞬时变化率，函数的瞬时变化率是平均变化率的极限，充分说明极限是人们从近似中认识精确的数学方法.极限的实质就是无限近似的量，向着有7\n限的目标无限逼近而产生量变导致质变的结果，这是极限的实质与精髓，也是导数的思想及其内涵.2.曲线的切线定义，充分体现了运动变化及无限逼近的思想：“两个不同的公共点→两公共点无限接近→两公共点重合(切点)”“割线→切线”.(1)在求曲线的切线方程时，注意两个“说法”：求曲线在点P处的切线方程和求曲线过点P的切线方程，在点P处的切线，一定是以点P为切点，过点P的切线，不论点P在不在曲线上，点P不一定是切点．【典例】设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.(1)求f(x)的解析式；(2)曲线f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值.【答案】(1)f(x)＝x－.(2)6.【解析】(1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3，当x＝2时，y＝.又f′(x)＝a＋，于是解得故f(x)＝x－.所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为S＝|2x0|＝6.故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为定值，且此定值为6.7
